Ιστορία
Ορισμός 1
Ο Leonhard Euler τέθηκε στην ερώτηση: είναι δυνατόν, ενώ περπατάτε γύρω από το Königsberg, να περιηγηθείτε σε όλες τις γέφυρες της πόλης χωρίς να περάσετε από καμία από αυτές δύο φορές. Περιλαμβάνεται σχέδιο πόλης με επτά γέφυρες.
Σε ένα γράμμα σε έναν Ιταλό μαθηματικό που γνώριζε, ο Euler έδωσε μια σύντομη και όμορφη λύση στο πρόβλημα των γεφυρών Königsberg: με μια τέτοια διάταξη το πρόβλημα είναι άλυτο. Παράλληλα, έδειξε ότι η ερώτηση του φάνηκε ενδιαφέρουσα, γιατί... «Ούτε η γεωμετρία ούτε η άλγεβρα αρκούν για να το λύσουν…».
Όταν έλυνε πολλά προβλήματα, ο L. Euler απεικόνιζε σύνολα χρησιμοποιώντας κύκλους, γι' αυτό και πήραν το όνομα "Οι κύκλοι του Euler". Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε προηγουμένως από τον Γερμανό φιλόσοφο και μαθηματικό Gottfried Leibniz, ο οποίος τη χρησιμοποίησε για να εξηγήσει γεωμετρικά τις λογικές συνδέσεις μεταξύ των εννοιών, αλλά πιο συχνά χρησιμοποιούσε γραμμικά διαγράμματα. Ο Euler ανέπτυξε τη μέθοδο αρκετά διεξοδικά. Οι γραφικές μέθοδοι έγιναν ιδιαίτερα διάσημες χάρη στον Άγγλο λογικό και φιλόσοφο John Venn, ο οποίος εισήγαγε τα διαγράμματα Venn και παρόμοια διαγράμματα ονομάζονται συχνά Διαγράμματα Euler-Venn. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς, για παράδειγμα, στη θεωρία συνόλων, τη θεωρία πιθανοτήτων, τη λογική, τη στατιστική και την επιστήμη των υπολογιστών.
Αρχή του διαγράμματος
Μέχρι τώρα, τα διαγράμματα Euler-Venn χρησιμοποιούνται ευρέως για να απεικονίσουν σχηματικά όλες τις πιθανές διασταυρώσεις πολλών συνόλων. Τα διαγράμματα δείχνουν όλους τους συνδυασμούς $2^n$ n ιδιοτήτων. Για παράδειγμα, όταν $n=3$ το διάγραμμα δείχνει τρεις κύκλους με κέντρα στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου και την ίδια ακτίνα, η οποία είναι περίπου ίση με το μήκος της πλευράς του τριγώνου.
Οι λογικές πράξεις ορίζουν πίνακες αλήθειας. Το διάγραμμα δείχνει έναν κύκλο με το όνομα του συνόλου που αντιπροσωπεύει, για παράδειγμα $A$. Η περιοχή στη μέση του κύκλου $A$ θα αντιπροσωπεύει την αλήθεια της έκφρασης $A$ και η περιοχή έξω από τον κύκλο θα υποδεικνύει ψευδή. Για να εμφανιστεί μια λογική πράξη, σκιάζονται μόνο εκείνες οι περιοχές στις οποίες οι τιμές της λογικής λειτουργίας για τα σύνολα $A$ και $B$ είναι αληθείς.
Για παράδειγμα, ο συνδυασμός δύο συνόλων $A$ και $B$ είναι αληθής μόνο εάν και τα δύο σύνολα είναι αληθή. Σε αυτήν την περίπτωση, στο διάγραμμα, το αποτέλεσμα της σύνδεσης των $A$ και $B$ θα είναι η περιοχή στη μέση των κύκλων, η οποία ανήκει ταυτόχρονα στο σύνολο $A$ και στο σύνολο $B$ (η τομή των σετ).
Εικόνα 1. Σύνδεση των συνόλων $A$ και $B$
Χρήση διαγραμμάτων Euler-Venn για την απόδειξη λογικών ισοτήτων
Ας δούμε πώς χρησιμοποιείται η μέθοδος κατασκευής διαγραμμάτων Euler-Venn για την απόδειξη λογικών ισοτήτων.
Ας αποδείξουμε τον νόμο του De Morgan, ο οποίος περιγράφεται από την ισότητα:
Απόδειξη:
Εικόνα 4. Αντιστροφή του $A$
Εικόνα 5. Αντιστροφή $B$
Εικόνα 6. Σύνδεση αντιστροφών $A$ και $B$
Αφού συγκρίνουμε το εμβαδόν για την εμφάνιση του αριστερού και του δεξιού μέρους, βλέπουμε ότι είναι ίσα. Από αυτό προκύπτει η εγκυρότητα της λογικής ισότητας. Ο νόμος του De Morgan αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn.
Επίλυση του προβλήματος της αναζήτησης πληροφοριών στο Διαδίκτυο με χρήση διαγραμμάτων Euler-Venn
Για να αναζητήσετε πληροφορίες στο Διαδίκτυο, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε ερωτήματα αναζήτησης με λογικές συνδέσεις, παρόμοια σε σημασία με τους συνδέσμους "και", "ή" στη ρωσική γλώσσα. Η έννοια των λογικών συνδέσεων γίνεται πιο ξεκάθαρη εάν απεικονίζονται χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn.
Παράδειγμα 1
Ο πίνακας δείχνει παραδείγματα ερωτημάτων στον διακομιστή αναζήτησης. Κάθε αίτημα έχει τον δικό του κωδικό - ένα γράμμα από $A$ έως $B$. Πρέπει να τακτοποιήσετε τους κωδικούς αιτημάτων σε φθίνουσα σειρά του αριθμού των σελίδων που βρέθηκαν για κάθε αίτημα.
Εικόνα 7.
Λύση:
Ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα Euler-Venn για κάθε αίτημα:
Εικόνα 8.
Απάντηση: BVA.
Επίλυση ενός λογικού ουσιαστικού προβλήματος χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn
Παράδειγμα 2
Κατά τη διάρκεια των χειμερινών διακοπών, από τα $36$ μαθητές της τάξης των $2$ δεν πήγαν σινεμά, θέατρο ή τσίρκο. $25$ οι άνθρωποι πήγαν σινεμά, $11$ οι άνθρωποι πήγαν στο θέατρο, $17$ οι άνθρωποι πήγαν στο τσίρκο. τόσο στον κινηματογράφο όσο και στο θέατρο - $6 $. τόσο στον κινηματογράφο όσο και στο τσίρκο - $10 $. και στο θέατρο και στο τσίρκο - 4$.
Πόσοι άνθρωποι έχουν πάει στον κινηματογράφο, στο θέατρο και στο τσίρκο;
Λύση:
Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των παιδιών που έχουν πάει στον κινηματογράφο, το θέατρο και το τσίρκο ως $x$.
Ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα και ας μάθουμε τον αριθμό των ανδρών σε κάθε περιοχή:
Εικόνα 9.
Δεν έχω πάει στο θέατρο, τον κινηματογράφο ή το τσίρκο - 2 $ ανά άτομο.
Έτσι, $36 - 2 = $34 άτομα. παρακολούθησαν εκδηλώσεις.
$6$ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο και στο θέατρο, που σημαίνει μόνο στον κινηματογράφο και στο θέατρο ($6 - x)$ άτομα.
$10 $ άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο και στο τσίρκο, που σημαίνει μόνο στον κινηματογράφο και στο τσίρκο ($10 - x $) άνθρωποι.
$4 $ άτομα πήγαν στο θέατρο και στο τσίρκο, που σημαίνει μόνο $4 - x $ άτομα πήγαν στο θέατρο και στο τσίρκο.
$25$ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο, που σημαίνει ότι $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ πήγαν μόνοι τους στον κινηματογράφο.
Ομοίως, μόνο ($1+x$) άτομα πήγαν στο θέατρο.
Μόνο (3$+x$) άτομα πήγαν στο τσίρκο.
Έτσι, πήγαμε στο θέατρο, τον κινηματογράφο και το τσίρκο:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = $34;
Εκείνοι. μόνο ένα άτομο πήγε στο θέατρο, τον κινηματογράφο και το τσίρκο.
Τα ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ VENN είναι ένας γραφικός τρόπος προσδιορισμού και ανάλυσης των λογικομαθηματικών θεωριών και των τύπων τους. Κατασκευάζονται με διαίρεση μέρους του επιπέδου σε κελιά (υποσύνολα) με κλειστά περιγράμματα (καμπύλες Ιορδανίας). Τα κελιά παρουσιάζουν πληροφορίες που χαρακτηρίζουν τη θεωρία ή τον τύπο που εξετάζεται. Ο σκοπός της κατασκευής διαγραμμάτων δεν είναι μόνο ενδεικτική, αλλά και λειτουργική - αλγοριθμική επεξεργασία πληροφοριών. Η συσκευή διαγράμματος Venn χρησιμοποιείται συνήθως σε συνδυασμό με την αναλυτική.
Η μέθοδος κατάτμησης, ο αριθμός των κελιών, καθώς και τα προβλήματα καταγραφής πληροφοριών σε αυτά εξαρτώνται από τη θεωρία που εξετάζεται, η οποία μπορεί επίσης να εισαχθεί (περιγραφεί) γραφικά - από ορισμένα διαγράμματα Venn, που αρχικά προσδιορίστηκαν, ειδικότερα, μαζί με αλγόριθμοι για τους μετασχηματισμούς τους, όταν ορισμένα διαγράμματα μπορούν να λειτουργήσουν ως τελεστές , ενεργώντας σε άλλα διαγράμματα. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του κλασικού προτασιακή λογική για τύπους που αποτελούνται από n διαφορετικές προτασιακές μεταβλητές, μέρος του επιπέδου (σύμπαν) χωρίζεται σε κελιά 2" που αντιστοιχούν στα συστατικά (σε συνδετική ή διαζευκτική μορφή). Το διάγραμμα Venn κάθε τύπου θεωρείται ότι είναι ένα τέτοιο επίπεδο στα κελιά του οποίου τοποθετείται αστερίσκος (ή όχι) * Άρα, ο τύπος
(¬ α& ¬ β&γ) V (α&¬ β&γ) V (¬ α&β&¬ γ)
με τρεις προτασιακές μεταβλητές a, b και c καθορίζεται από το διάγραμμα που φαίνεται στο σχήμα, όπου οι αστερίσκοι στα κελιά αντιστοιχούν στα συνδετικά συστατικά αυτού του τέλειου κανονικού διαχωριστικού τύπου. Εάν δεν υπάρχουν κελιά σημειωμένα με αστερίσκους, τότε το διάγραμμα Venn συσχετίζεται, για παράδειγμα, με έναν πανομοιότυπο ψευδή τύπο, ας πούμε (a&¬a).
Η επαγωγική μέθοδος διαίρεσης ενός επιπέδου σε κελιά 2" ανάγεται στα έργα του Άγγλου λογικού J. Venn, ονομάζεται μέθοδος Venn και αποτελείται από τα εξής:
1. Για n = 1, 2, 3, οι κύκλοι χρησιμοποιούνται με προφανή τρόπο. (Στο σχήμα που φαίνεται, n = 3.)
2. Ας υποθέσουμε ότι για n = k (k ≥ 3), η διάταξη των k σχημάτων καθορίζεται έτσι ώστε το επίπεδο να διαιρείται σε 2k κελιά.
Στη συνέχεια, για να εντοπίσουμε στοιχεία k+1 σε αυτό το επίπεδο, αρκεί, πρώτον, να επιλέξετε μια ανοιχτή καμπύλη (βλ. χωρίς σημεία αυτοτομής, δηλ. μια ανοιχτή καμπύλη Jordan που ανήκει στα όρια όλων των κελιών 2k και έχει μόνο ένα κοινό κομμάτι με καθένα από αυτά τα όρια Δεύτερον, κυκλώστε φ κλειστή καμπύλη Jordan Ψ k+1 έτσι ώστε η καμπύλη Ψ Το k+1 πέρασε από όλα τα 2k κελιά και πέρασε τα όρια κάθε κελιού μόνο δύο φορές. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα μια διάταξη n= k+1 ψηφίων έτσι ώστε το επίπεδο να χωρίζεται σε 2k+1 κελιά.
Η μέθοδος του διαγράμματος Venn επεκτείνεται για να αναπαραστήσει άλλες λογικομαθηματικές θεωρίες. Η ίδια η θεωρία είναι γραμμένη με τέτοιο τρόπο ώστε να αναδεικνύει τα στοιχεία της γλώσσας της σε μια μορφή κατάλληλη για γραφική αναπαράσταση. Για παράδειγμα, οι ατομικοί τύποι της κλασικής λογικής κατηγορήματος γράφονται ως λέξεις της μορφής P(Y1..Yr), όπου το P είναι κατηγόρημα και οι Y1,..., Yr είναι μεταβλητές θέματος, όχι απαραίτητα διαφορετικές. η λέξη Y1,..., Yr είναι ένα επίθεμα θέματος. Η προφανής φύση της θεωρίας συνόλων των διαγραμμάτων Venn επιτρέπει σε κάποιον να αναπαραστήσει και να μελετήσει με τη βοήθειά τους, ειδικότερα, τους λογισμούς της θεωρίας συνόλων, για παράδειγμα, τον λογισμό ZF της θεωρίας συνόλων Zermelo-Fraenkel. Οι γραφικές μέθοδοι στη λογική και στα μαθηματικά έχουν αναπτυχθεί εδώ και πολύ καιρό. Αυτά είναι, συγκεκριμένα, το λογικό τετράγωνο, οι κύκλοι του Euler και τα αρχικά διαγράμματα του L. Carroll. Ωστόσο, η μέθοδος του διαγράμματος Venn διαφέρει σημαντικά από τη γνωστή μέθοδο κύκλου Euler που χρησιμοποιείται στην παραδοσιακή συλλογιστική. Τα διαγράμματα Venn βασίζονται στην ιδέα της αποσύνθεσης μιας συνάρτησης Boole σε συστατικά στοιχεία - κεντρικά στην άλγεβρα της λογικής, η οποία καθορίζει τη λειτουργική τους φύση. Ο Venn χρησιμοποίησε τα διαγράμματα του κυρίως για να λύσει προβλήματα ταξικής λογικής. Τα διαγράμματά του μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν αποτελεσματικά για την επίλυση προβλημάτων προτασιακής και κατηγορηματικής λογικής, επισκόπησης συνεπειών από υποθέσεις, επίλυσης λογικών εξισώσεων, καθώς και άλλων ζητημάτων, μέχρι το πρόβλημα της επιλυσιμότητας. Η συσκευή του διαγράμματος Venn χρησιμοποιείται σε εφαρμογές της μαθηματικής λογικής και της θεωρίας των αυτομάτων, ιδιαίτερα στην επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με νευρωνικά κυκλώματα και το πρόβλημα της σύνθεσης αξιόπιστων κυκλωμάτων από σχετικά ασθενώς αξιόπιστα στοιχεία.
A. S. Kuzichev
Νέα φιλοσοφική εγκυκλοπαίδεια. Σε τέσσερις τόμους. / Ινστιτούτο Φιλοσοφίας ΡΑΣ. Επιστημονική επιμ. συμβουλή: V.S. Stepin, Α.Α. Guseinov, G.Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, τομ. I, A - D, p. 645.
Βιβλιογραφία:
Venn J. Συμβολική λογική. L., 1881. Εκδ. 2, αναθ. L., 1894;
Διαγράμματα Kuzichev A. S. Venn. Ιστορία και εφαρμογές. Μ., 1968;
Αυτός είναι. Επίλυση μερικών προβλημάτων μαθηματικής λογικής χρησιμοποιώντας διαγράμματα Venn. - Στο βιβλίο: Μελέτη λογικών συστημάτων. Μ., 1970.
Ένα διάγραμμα Venn είναι ένα διάγραμμα με επικαλυπτόμενους κύκλους που δείχνει πόσα κοινά έχουν διαφορετικά σύνολα. Για την κατασκευή ενός διαγράμματος Venn, επιλέγονται πολλές ομάδες αντικειμένων και τοποθετούνται σε ξεχωριστούς κύκλους, ενώ η περιοχή τομής των κύκλων περιλαμβάνει αντικείμενα που συνδυάζουν τις ιδιότητες αυτών των συνόλων.
Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο ομάδες αντικειμένων - συσκευές φωτισμού (θα τις συμβολίσουμε στον πρώτο κύκλο) και τεχνολογίες εξοικονόμησης ενέργειας (θα τις συμβολίσουμε στον δεύτερο κύκλο). Σε αυτή την περίπτωση, η περιοχή τομής των κύκλων θα καλύπτει αντικείμενα που μπορούν να ταξινομηθούν τόσο στην πρώτη όσο και στη δεύτερη ομάδα, δηλαδή συσκευές φωτισμού εξοικονόμησης ενέργειας.
Τα διαγράμματα Venn χρησιμοποιούνται με επιτυχία στα μαθηματικά, τη λογική, τη διαχείριση και άλλα εφαρμοσμένα πεδία για τη σύγκριση συνόλων και τη δημιουργία σχέσεων μεταξύ τους.
Το μόνο μειονέκτημα τέτοιων διαγραμμάτων είναι ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο για τον προσδιορισμό των γενικών ποιοτήτων των υπό εξέταση αντικειμένων και δεν παρέχουν πληροφορίες σχετικά με τον αριθμό των αντικειμένων.
Διαγράμματα Venn: σε τι χρησιμεύουν;
Τα διαγράμματα Venn χρησιμοποιούνται για τη σύγκριση δεδομένων πηγής σε δύο περιπτώσεις:
- τα δεδομένα είναι πολύ περίπλοκα για να κατανοηθούν.
- Υπάρχουν προβλήματα στον προσδιορισμό των σχέσεων μεταξύ αυτών των δεδομένων.
Χάρη στην οπτική μορφή παρουσίασης πληροφοριών και την ευκολία αποκρυπτογράφησης, τα διαγράμματα Venn διευκολύνουν σημαντικά τη διαδικασία κατανόησης και ανάλυσης των αντικειμένων που συγκρίνονται. Γι' αυτό χρησιμοποιούνται ευρέως κατά την πραγματοποίηση παρουσιάσεων.
Η σχεδίαση ενός διαγράμματος Venn δεν είναι καθόλου περίπλοκη διαδικασία, η οποία περιλαμβάνει μόνο τέσσερα βήματα:
- Μετρήστε τις ομάδες αντικειμένων που πρέπει να συγκρίνετε - ο αριθμός τους πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των κύκλων στο διάγραμμά σας.
- Βγαίνοντας λίγο πίσω από το κέντρο, σχεδιάστε τον πρώτο κύκλο. Λαμβάνοντας υπόψη ότι κάθε κύκλος θα περιέχει πληροφορίες σχετικά με τα χαρακτηριστικά του εν λόγω αντικειμένου, προσώπου, θέσης κ.λπ., θα πρέπει να είναι αρκετά μεγάλος.
- Σχεδιάστε έναν δεύτερο κύκλο έτσι ώστε να επικαλύπτει εν μέρει τον πρώτο κύκλο. Σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο κύκλοι πρέπει να έχουν το ίδιο μέγεθος. Βεβαιωθείτε ότι υπάρχει επίσης αρκετός χώρος μέσα στην περιοχή διασταύρωσης - εδώ θα σημειώσετε αντικείμενα που αποκαλύπτουν ομοιότητες μεταξύ των ομάδων.
- Δώστε σε κάθε ομάδα στοιχείων ένα όνομα και επισημάνετε τους κύκλους.
Για να απεικονίσετε καλύτερα ένα σύνολο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα σχέδιο που ονομάζεται διάγραμμα Euler_Venn Αυτή είναι μια κλειστή γραμμή, μέσα στην οποία βρίσκονται τα στοιχεία ενός δεδομένου συνόλου, και στο εξωτερικό - στοιχεία που δεν ανήκουν στο σύνολο.
Κατεβάστε:
Προεπισκόπηση:
Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφάνειας:
Διάγραμμα Venn Σημάδια ∈ και ∉ Μαθηματικά Γ' τάξης Peterson L.G.
Οποιοδήποτε σύνολο Α μπορεί να απεικονιστεί γραφικά ως κλειστή γραμμή. Πιστεύεται ότι τα στοιχεία του συνόλου (Α) βρίσκονται μέσα σε αυτή τη γραμμή, και όλα τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο σύνολο (Α) είναι έξω. Αυτό το διάγραμμα ονομάζεται διάγραμμα Venn. a 2 m Για παράδειγμα, ένα διάγραμμα του συνόλου B = ( 2, m, ) μπορεί να σχεδιαστεί ως εξής: B
Σημεία ∈ και ∉ a 2 m Η πρόταση «Ο αριθμός 2 ανήκει στο σύνολο Β» μπορεί να γραφεί πιο σύντομη: 2 ∈ Β. Το σημείο ∈ διαβάζεται: «ανήκει» Η πρόταση «Το γράμμα α δεν ανήκει στο σύνολο Β. ” μπορεί να γραφεί και πιο σύντομη: a ∉ B. Το πρόσημο ∉ διαβάζεται : “δεν ανήκει” B
e 8 b A 4 Το σχήμα δείχνει ένα διάγραμμα του συνόλου Α. Ποια στοιχεία ανήκουν στο σύνολο Α και ποια δεν ανήκουν σε αυτό; b … A e … A … A 8 … A 4 … A … A ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ Διαβάστε ξανά τις σημειώσεις που λάβατε.
Σημειώστε τα στοιχεία, d, 10, 5 στο διάγραμμα του συνόλου C, αν είναι γνωστό ότι: ∈ C ∉ C C d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ C d 10 5
Υπάρχει ένα σύνολο M = (a, b, c, ). Ποιο σημάδι να βάλω: ∈ ή ∉; a … M … M c … M … M … M 8 … M ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉
Το D είναι ένα σύνολο διψήφιων αριθμών. Οι αριθμοί 26, 307, 8, 940, 15, 60 είναι στοιχεία του συνόλου D; 26 … D 8 … D 15 … D 307 … D 940 … D 60 … D ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ Ας σημειώσουμε αυτούς τους αριθμούς στο διάγραμμα. 26 307 8 940 15 60 Ονομάστε τον μικρότερο και μεγαλύτερο αριθμό του συνόλου D. D = ( 10 , …, …, … 99)
Το Α είναι πολλές πεταλούδες και το Β είναι πολλά τριαντάφυλλα. Πώς να κατασκευάσετε διαγράμματα των συνόλων Α και Β; Πόσες πεταλούδες ανήκουν στο σύνολο Α; Πόσα τριαντάφυλλα ανήκουν στο σύνολο Β; Πόσα κοινά στοιχεία έχουν τα σύνολα Α και Β;
Εργασία για το σπίτι. Σελίδα 12 Αρ. 11, 12
Διάγραμμα Euler-Venn - ένα οπτικό εργαλείο για την εργασία με σετ. Αυτά τα διαγράμματα απεικονίζουν όλες τις πιθανές διασταυρώσεις συνόλων. Ο αριθμός των τομών (περιοχών) n καθορίζεται από τον τύπο:
n=2N,
όπου Ν είναι ο αριθμός των συνόλων.
Έτσι, εάν το πρόβλημα χρησιμοποιεί δύο σύνολα, τότε n=2 2 =4, εάν υπάρχουν τρία σύνολα, τότε n=2 3 =8, εάν υπάρχουν τέσσερα σύνολα, τότε n=2 4 =16. Επομένως, τα διαγράμματα Euler-Venn χρησιμοποιούνται κυρίως για δύο ή τρία σετ.
Τα σύνολα απεικονίζονται ως κύκλοι (αν χρησιμοποιούνται 2-3 σετ) και ως ελλείψεις (αν χρησιμοποιούνται 4 σετ) τοποθετημένα σε ένα ορθογώνιο (σύμπαν).
Καθολικό σύνολο (σύμπαν) U (στο πλαίσιο ενός προβλήματος) - ένα σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του υπό εξέταση προβλήματος: στοιχεία όλων των συνόλων του προβλήματος και στοιχεία που δεν περιλαμβάνονται σε αυτά.
Κενό σετ Ø(στο πλαίσιο ενός προβλήματος) - ένα σύνολο που δεν περιέχει ούτε ένα στοιχείο του υπό εξέταση προβλήματος.
Τα τεμνόμενα σύνολα κατασκευάζονται στο διάγραμμα και περικλείονται σε ένα σύμπαν. Εντοπίζονται περιοχές, ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τον αριθμό των διασταυρώσεων.
Τα διαγράμματα Euler-Venn χρησιμοποιούνται επίσης για την οπτική αναπαράσταση λογικών πράξεων.
Ας δούμε παραδείγματα κατασκευής διαγραμμάτων Euler-Venn για δύο και τρία σύνολα.
Παράδειγμα 1
Σύμπαν U=(0,1,2,3,4,5,6)
Διαγράμματα Euler-Venn για δύο σετ Α και Β:
Παράδειγμα 2
Έστω ότι υπάρχουν τα ακόλουθα σύνολα αριθμών:
Σύμπαν U=(0,1,2,3,4,5,6,7)
Διαγράμματα Euler-Venn για τρία σετ A, B, C:
Ας ορίσουμε τις περιοχές και τους αριθμούς που τους ανήκουν:
| ΕΝΑ |
σι |
ντο |
Ονομασία περιοχή | Αριθμοί |
|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0) | 0 |
| 0 |
0 |
1 |
1) | 7 |
| 0 |
1 |
0 |
2) | 5 |
| 0 |
1 |
1 |
3) | 6 |
| 1 |
0 |
0 |
4) | 2 |
| 1 |
0 |
1 |
5) | 1 |
| 1 |
1 |
0 |
6) | 4 |
| 1 |
1 |
1 |
7) | 3 |
Παράδειγμα 3
Έστω ότι υπάρχουν τα ακόλουθα σύνολα αριθμών:
A=(0,1,2,3,4,5,6,7)
B=(3,4,5,7,8,9,10,13)
C=(0,2,3,7,8,10,11,12)
D=(0,3,4,6,9,10,11,14)
Σύμπαν U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
Διαγράμματα Euler-Venn για τέσσερα σύνολα A, B, C, D:
Ας ορίσουμε τις περιοχές και τους αριθμούς που τους ανήκουν:
| ΕΝΑ |
σι |
ντο |
ρε | Ονομασία περιοχή | Αριθμοί |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0 | 0) | 15 |
| 0 |
0 |
0 |
1 | 1) | 14 |
| 0 |
0 |
1 |
0 | 2) | 12 |
| 0 |
0 |
1 |
1 | 3) | 11 |
| 0 |
1 |
0 |
0 | 4) | 13 |
| 0 |
1 |
0 |
1 | 5) | 9 |
| 0 |
1 |
1 |
0 | 6) | 8 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 7) | 10 |
| 1 |
0 |
0 |
0 | 8) | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 9) | 6 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 10) | 2 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 11) | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 12) | 5 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 13) | 4 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 14) | 7 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 15) | 3 |
Εάν θέλετε να λύσετε τυπικά προβλήματα σε σετ, μεταβείτε στο άρθρο.
