Tipos de matrices. matrices

Este manual le ayudará a aprender cómo realizar operaciones con matrices: suma (resta) de matrices, transposición de una matriz, multiplicación de matrices, búsqueda de la matriz inversa. Todo el material se presenta de forma sencilla y accesible, se dan ejemplos relevantes, para que incluso una persona que no esté preparada pueda aprender a realizar acciones con matrices. Para el autocontrol y la autocomprobación, puede descargar una calculadora matricial de forma gratuita >>>.

Intentaré minimizar los cálculos teóricos; en algunos lugares son posibles explicaciones "con los dedos" y el uso de términos no científicos. Amantes de la teoría sólida, por favor no hagan críticas, nuestra tarea es aprender a realizar operaciones con matrices.

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Una matriz es una tabla rectangular de algunos elementos. Como elementos Consideraremos números, es decir, matrices numéricas. ELEMENTO es un término. Es recomendable recordar el término, aparecerá con frecuencia, no es casualidad que usé negrita para resaltarlo.

Designación: Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

Ejemplo: Considere una matriz de dos por tres:

Esta matriz consta de seis elementos:

Todos los números (elementos) dentro de la matriz existen por sí solos, es decir, no se trata de ninguna resta:

¡Es solo una tabla (conjunto) de números!

También estaremos de acuerdo no reorganizar números, a menos que se indique lo contrario en las explicaciones. ¡Cada número tiene su propia ubicación y no se puede mezclar!

La matriz en cuestión tiene dos filas:

y tres columnas:

ESTÁNDAR: cuando se habla de tamaños de matrices, entonces en primer lugar indique el número de filas, y solo entonces el número de columnas. Acabamos de descomponer la matriz de dos por tres.

Si el número de filas y columnas de una matriz es el mismo, entonces la matriz se llama cuadrado, Por ejemplo: – una matriz de tres por tres.

Si una matriz tiene una columna o una fila, entonces dichas matrices también se denominan vectores.

De hecho, conocemos el concepto de matriz desde la escuela; consideremos, por ejemplo, un punto con coordenadas “x” e “y”: . Básicamente, las coordenadas de un punto se escriben en una matriz de uno por dos. Por cierto, aquí tienes un ejemplo de por qué es importante el orden de los números: y son dos puntos completamente diferentes en el plano.

Ahora pasemos a estudiar. operaciones con matrices:

1) Primer acto. Eliminar un menos de la matriz (introducir un menos en la matriz).

Volvamos a nuestra matriz. . Como probablemente habrás notado, hay demasiados números negativos en esta matriz. Esto es muy inconveniente desde el punto de vista de realizar varias acciones con la matriz, es inconveniente escribir tantas desventajas y simplemente se ve feo en el diseño.

Muevamos el menos fuera de la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz.:

En cero, como comprenderéis, el signo no cambia; cero también es cero en África.

Ejemplo inverso: . Parece feo.

Introduzcamos un menos en la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz.:

Bueno, resultó mucho mejor. Y, lo más importante, será MÁS FÁCIL realizar cualquier acción con la matriz. Porque existe un signo popular tan matemático: Cuantos más inconvenientes, más confusión y errores..

2) Segundo acto. Multiplicar una matriz por un número.

Ejemplo:

Es simple, para multiplicar una matriz por un número, necesitas cada elemento de la matriz multiplicado por un número dado. En este caso, un tres.

Otro ejemplo útil:

– multiplicar una matriz por una fracción

Primero veamos qué hacer. NO HAY NECESIDAD:

NO ES NECESARIO ingresar una fracción en la matriz; en primer lugar, solo complica acciones adicionales con la matriz y, en segundo lugar, dificulta que el maestro verifique la solución (especialmente si – respuesta final de la tarea).

Y especialmente, NO HAY NECESIDAD divide cada elemento de la matriz por menos siete:

Del artículo Matemáticas para tontos o por dónde empezar, recordamos que en matemáticas superiores se intenta de todas las formas posibles evitar las fracciones decimales con comas.

La unica cosa es preferiblemente Lo que hacer en este ejemplo es agregar un menos a la matriz:

Pero si solo TODO los elementos de la matriz se dividieron por 7 sin dejar rastro, entonces sería posible (¡y necesario!) dividir.

Ejemplo:

En este caso, puedes NECESITAR multiplica todos los elementos de la matriz por , ya que todos los números de la matriz son divisibles por 2 sin dejar rastro.

Nota: en la teoría de las matemáticas de la escuela superior no existe el concepto de "división". En lugar de decir "esto dividido por aquello", siempre puedes decir "esto multiplicado por una fracción". Es decir, la división es un caso especial de multiplicación.

3) Tercer acto. Transposición de matriz.

Para transponer una matriz, es necesario escribir sus filas en las columnas de la matriz transpuesta.

Ejemplo:

Transponer matriz

Aquí solo hay una línea y, según la regla, debe escribirse en una columna:

– matriz transpuesta.

Una matriz transpuesta generalmente se indica mediante un superíndice o un número primo en la parte superior derecha.

Ejemplo paso a paso:

Transponer matriz

Primero reescribimos la primera fila en la primera columna:

Luego reescribimos la segunda línea en la segunda columna:

Y finalmente, reescribimos la tercera fila en la tercera columna:

Listo. En términos generales, transponer significa girar la matriz de lado.

4) Cuarto acto. Suma (diferencia) de matrices.

La suma de matrices es una operación sencilla.
NO TODAS LAS MATRICES SE PUEDEN DOBLAR. Para realizar sumas (restas) de matrices, es necesario que sean del MISMO TAMAÑO.

Por ejemplo, si se da una matriz de dos por dos, entonces solo se puede sumar con una matriz de dos por dos y ¡ninguna otra!

Ejemplo:

Agregar matrices Y

Para sumar matrices, es necesario sumar sus elementos correspondientes.:

Para la diferencia de matrices la regla es similar, es necesario encontrar la diferencia de los elementos correspondientes.

Ejemplo:

encontrar diferencia matricial ,

¿Cómo puedes resolver este ejemplo más fácilmente, para no confundirte? Es aconsejable deshacerse de las desventajas innecesarias, para hacer esto, agregue un menos a la matriz:

Nota: en la teoría de las matemáticas de la escuela superior no existe el concepto de "resta". En lugar de decir "resta esto de esto", siempre puedes decir "suma un número negativo a esto". Es decir, la resta es un caso especial de suma.

5) Acto quinto. Multiplicación de matrices.

¿Qué matrices se pueden multiplicar?

Para que una matriz se pueda multiplicar por una matriz, es necesario de modo que el número de columnas de la matriz sea igual al número de filas de la matriz.

Ejemplo:
¿Es posible multiplicar una matriz por una matriz?

Esto significa que los datos matriciales se pueden multiplicar.

Pero si se reorganizan las matrices, entonces, en este caso, ¡la multiplicación ya no es posible!

Por tanto, la multiplicación no es posible:

No es tan raro encontrar tareas con un truco, cuando se le pide al estudiante que multiplique matrices, cuya multiplicación es obviamente imposible.

Cabe señalar que en algunos casos es posible multiplicar matrices de ambas formas.
Por ejemplo, para matrices, y tanto la multiplicación como la multiplicación son posibles.

Este tema cubrirá operaciones como sumar y restar matrices, multiplicar una matriz por un número, multiplicar una matriz por una matriz y transponer una matriz. Todos los símbolos utilizados en esta página están tomados del tema anterior.

Suma y resta de matrices.

La suma de $A+B$ de las matrices $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se llama matriz $C_(m \times n) =(c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline( 1,n)$.

Se introduce una definición similar para la diferencia de matrices:

La diferencia entre las matrices $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times n)=( c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1, norte)$.

Explicación de la entrada $i=\overline(1,m)$: show\hide

La notación "$i=\overline(1,m)$" significa que el parámetro $i$ varía de 1 a m. Por ejemplo, la notación $i=\overline(1,5)$ indica que el parámetro $i$ toma los valores 1, 2, 3, 4, 5.

Vale la pena señalar que las operaciones de suma y resta se definen solo para matrices del mismo tamaño. En general, la suma y resta de matrices son operaciones que son claras intuitivamente, porque esencialmente significan solo la suma o resta de los elementos correspondientes.

Ejemplo No. 1

Se dan tres matrices:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 y 0 \\ -5 y 4 \end(array) \right). $$

¿Es posible encontrar la matriz $A+F$? Encuentre las matrices $C$ y $D$ si $C=A+B$ y $D=A-B$.

La matriz $A$ contiene 2 filas y 3 columnas (en otras palabras, el tamaño de la matriz $A$ es $2\times 3$), y la matriz $F$ contiene 2 filas y 2 columnas. Los tamaños de las matrices $A$ y $F$ no coinciden, por lo que no podemos sumarlos, es decir la operación $A+F$ no está definida para estas matrices.

Los tamaños de las matrices $A$ y $B$ son iguales, es decir Los datos de la matriz contienen el mismo número de filas y columnas, por lo que la operación de suma es aplicable a ellas.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 y 9 y -22 \end(array) \right) $$

Encontremos la matriz $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 y -25 y 98 \\ 3 y 0 y -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 y -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 y 9 y 6 \end(array) \right) $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 y 23 y -97 \\ 2 y 9 y 6 \end(array) \right)$.

Multiplicar una matriz por un número.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por el número $\alpha$ es la matriz $B_(m\times n)=(b_(ij))$, donde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1,n)$.

En pocas palabras, multiplicar una matriz por un número determinado significa multiplicar cada elemento de una matriz determinada por ese número.

Ejemplo No. 2

La matriz está dada: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Encuentre las matrices $3\cdot A$, $-5\cdot A$ y $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matriz) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matriz) \right) =\left(\begin(matriz) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 y 10 y -35 \\ -20 y -45 y 0 \end(array) \right). $$

La notación $-A$ es una notación abreviada de $-1\cdot A$. Es decir, para encontrar $-A$ necesitas multiplicar todos los elementos de la matriz $A$ por (-1). Básicamente, esto significa que el signo de todos los elementos de la matriz $A$ cambiará al contrario:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ izquierda(\begin(array) (ccc) 1 y 2 y -7 \\ -4 y -9 y 0 \end(array) \right) $$

Respuesta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Producto de dos matrices.

La definición de esta operación es engorrosa y, a primera vista, poco clara. Por tanto, primero indicaré una definición general, y luego analizaremos en detalle qué significa y cómo trabajar con ella.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por la matriz $B_(n\times k)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times k )=(c_( ij))$, para lo cual cada elemento $c_(ij)$ es igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes de la i-ésima fila de la matriz $A$ por los elementos de la j -ésima columna de la matriz $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Veamos la multiplicación de matrices paso a paso usando un ejemplo. Sin embargo, debes tener en cuenta de inmediato que no todas las matrices se pueden multiplicar. Si queremos multiplicar la matriz $A$ por la matriz $B$, primero debemos asegurarnos de que el número de columnas de la matriz $A$ sea igual al número de filas de la matriz $B$ (tales matrices a menudo se llaman acordado). Por ejemplo, la matriz $A_(5\times 4)$ (la matriz contiene 5 filas y 4 columnas) no se puede multiplicar por la matriz $F_(9\times 8)$ (9 filas y 8 columnas), ya que el número de columnas de la matriz $A $ no es igual al número de filas de la matriz $F$, es decir $4\neq 9$. Pero puedes multiplicar la matriz $A_(5\times 4)$ por la matriz $B_(4\times 9)$, ya que el número de columnas de la matriz $A$ es igual al número de filas de la matriz $ B$. En este caso, el resultado de multiplicar las matrices $A_(5\times 4)$ y $B_(4\times 9)$ será la matriz $C_(5\times 9)$, que contiene 5 filas y 9 columnas:

Ejemplo No. 3

Matrices dadas: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matriz) \right)$ y $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Encuentra la matriz $C=A\cdot B$.

Primero, determinemos inmediatamente el tamaño de la matriz $C$. Dado que la matriz $A$ tiene un tamaño $3\times 4$, y la matriz $B$ tiene un tamaño $4\times 2$, entonces el tamaño de la matriz $C$ es: $3\times 2$:

Entonces, como resultado del producto de las matrices $A$ y $B$, debemos obtener una matriz $C$, que consta de tres filas y dos columnas: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Si la designación de elementos plantea dudas, entonces puede consultar el tema anterior: "Matrices. Tipos de matrices. Términos básicos", al comienzo del cual se explica la designación de elementos matriciales. Nuestro objetivo: encontrar los valores de todos los elementos de la matriz $C$.

Comencemos con el elemento $c_(11)$. Para obtener el elemento $c_(11)$, necesitas encontrar la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

Para encontrar el elemento $c_(11)$, es necesario multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la primera columna de la matriz $B$, es decir el primer elemento al primero, el segundo al segundo, el tercero al tercero, el cuarto al cuarto. Resumimos los resultados obtenidos:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Continuamos con la solución y encontramos $c_(12)$. Para hacer esto, tendrás que multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la segunda columna de la matriz $B$:

Similar al anterior, tenemos:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Se han encontrado todos los elementos de la primera fila de la matriz $C$. Pasemos a la segunda línea, que comienza con el elemento $c_(21)$. Para encontrarlo, tendrás que multiplicar los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Encontramos el siguiente elemento $c_(22)$ multiplicando los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Para encontrar $c_(31)$, multiplica los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos de la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Y finalmente, para encontrar el elemento $c_(32)$, tendrás que multiplicar los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Se han encontrado todos los elementos de la matriz $C$, solo queda escribir que $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matriz) \derecha)$ . O, para escribir completo:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 y 3 \\ 6 y 20 \\ 7 y 0 \\ 12 y -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right). $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right)$.

Por cierto, a menudo no hay razón para describir en detalle la ubicación de cada elemento de la matriz de resultados. Para matrices cuyo tamaño es pequeño, puedes hacer esto:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 y 3 \\ -17 y -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 y 9 \\ - 6 y 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) (cc) 6 y 324 \\ -56 y -333 \end(array) \right) $$

También vale la pena señalar que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Esto significa que en el caso general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Sólo para algunos tipos de matrices, que se denominan permutable(o desplazamientos), la igualdad $A\cdot B=B\cdot A$ es verdadera. Precisamente en base a la no conmutatividad de la multiplicación debemos indicar exactamente cómo multiplicamos la expresión por una matriz particular: a la derecha o a la izquierda. Por ejemplo, la frase “multiplica ambos lados de la igualdad $3E-F=Y$ por la matriz $A$ de la derecha” significa que quieres obtener la siguiente igualdad: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpuesta con respecto a la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ está la matriz $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, para elementos que $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

En pocas palabras, para obtener una matriz transpuesta $A^T$, es necesario reemplazar las columnas de la matriz original $A$ con las filas correspondientes de acuerdo con este principio: había una primera fila, habrá una primera columna. ; había una segunda fila; habrá una segunda columna; había una tercera fila; habrá una tercera columna y así sucesivamente. Por ejemplo, encontremos la matriz transpuesta a la matriz $A_(3\times 5)$:

En consecuencia, si la matriz original tenía un tamaño de $3\times 5$, entonces la matriz transpuesta tiene un tamaño de $5\times 3$.

Algunas propiedades de las operaciones sobre matrices.

Aquí se supone que $\alpha$, $\beta$ son algunos números y $A$, $B$, $C$ son matrices. Para las primeras cuatro propiedades indiqué nombres; el resto puede nombrarse por analogía con las primeras cuatro.

En este tema consideraremos el concepto de matriz, así como los tipos de matrices. Dado que hay muchos términos en este tema, agregaré un breve resumen para facilitar la navegación por el material.

Definición de matriz y su elemento. Notación.

Matriz es una tabla de $m$ filas y $n$ columnas. Los elementos de una matriz pueden ser objetos de naturaleza completamente diferente: números, variables o, por ejemplo, otras matrices. Por ejemplo, la matriz $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ contiene 3 filas y 2 columnas; sus elementos son números enteros. La matriz $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ contiene 2 filas y 4 columnas.

Diferentes formas de escribir matrices: mostrar\ocultar

La matriz se puede escribir no solo entre paréntesis redondos, sino también entre paréntesis cuadrados o dobles. A continuación se muestra la misma matriz en diferentes formas de notación:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 y 3 \\ 0 y -87 \\ 8 y 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 y 3 \\ 0 y -87 \\ 8 y 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 y 3 \\ 0 y -87 \\ 8 y 0 \end(array) \right \Vert $$

El producto $m\times n$ se llama tamaño de la matriz. Por ejemplo, si una matriz contiene 5 filas y 3 columnas, entonces hablamos de una matriz de tamaño $5\times 3$. La matriz $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ tiene un tamaño $3 \times 2$.

Normalmente, las matrices se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino: $A$, $B$, $C$, etc. Por ejemplo, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. La numeración de líneas va de arriba a abajo; columnas: de izquierda a derecha. Por ejemplo, la primera fila de la matriz $B$ contiene los elementos 5 y 3, y la segunda columna contiene los elementos 3, -87, 0.

Los elementos de las matrices suelen indicarse con letras minúsculas. Por ejemplo, los elementos de la matriz $A$ se denotan por $a_(ij)$. El doble índice $ij$ contiene información sobre la posición del elemento en la matriz. El número $i$ es el número de fila y el número $j$ es el número de columna, en cuya intersección está el elemento $a_(ij)$. Por ejemplo, en la intersección de la segunda fila y la quinta columna de la matriz $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elemento $a_(25)= $59:

De la misma forma, en la intersección de la primera fila y la primera columna tenemos el elemento $a_(11)=51$; en la intersección de la tercera fila y la segunda columna, el elemento $a_(32)=-15$ y así sucesivamente. Tenga en cuenta que la entrada $a_(32)$ dice "a tres dos", pero no "a treinta y dos".

Para abreviar la matriz $A$, cuyo tamaño es $m\times n$, se utiliza la notación $A_(m\times n)$. A menudo se utiliza la siguiente notación:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Aquí $(a_(ij))$ indica la designación de los elementos de la matriz $A$, es decir dice que los elementos de la matriz $A$ se denotan como $a_(ij)$. En forma expandida, la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ se puede escribir de la siguiente manera:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Introduzcamos otro término: matrices iguales.

Dos matrices del mismo tamaño $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se llaman igual, si sus elementos correspondientes son iguales, es decir $a_(ij)=b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1,n)$.

Explicación de la entrada $i=\overline(1,m)$: show\hide

La notación "$i=\overline(1,m)$" significa que el parámetro $i$ varía de 1 a m. Por ejemplo, la notación $i=\overline(1,5)$ indica que el parámetro $i$ toma los valores 1, 2, 3, 4, 5.

Entonces, para que las matrices sean iguales se deben cumplir dos condiciones: coincidencia de tamaños e igualdad de los elementos correspondientes. Por ejemplo, la matriz $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ no es igual a la matriz $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ porque la matriz $A$ tiene un tamaño $3\times 2$ y la matriz $B$ tiene tamaño $2\veces $2. Además, la matriz $A$ no es igual a la matriz $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , ya que $a_( 21)\neq c_(21)$ (es decir, $0\neq 98$). Pero para la matriz $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ podemos escribir con seguridad $A= F$ porque tanto los tamaños como los elementos correspondientes de las matrices $A$ y $F$ coinciden.

Ejemplo No. 1

Determine el tamaño de la matriz $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Indique a qué son iguales los elementos $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Esta matriz contiene 5 filas y 3 columnas, por lo que su tamaño es $5\times 3$. También puedes usar la notación $A_(5\times 3)$ para esta matriz.

El elemento $a_(12)$ está en la intersección de la primera fila y la segunda columna, por lo que $a_(12)=-2$. El elemento $a_(33)$ está en la intersección de la tercera fila y la tercera columna, por lo que $a_(33)=23$. El elemento $a_(43)$ está en la intersección de la cuarta fila y la tercera columna, por lo que $a_(43)=-5$.

Respuesta: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Tipos de matrices según su tamaño. Diagonales principal y secundaria. Traza matricial.

Sea dada una determinada matriz $A_(m\times n)$. Si $m=1$ (la matriz consta de una fila), entonces la matriz dada se llama fila-matriz. Si $n=1$ (la matriz consta de una columna), entonces dicha matriz se llama columna-matriz. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ es una matriz de filas, y $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ es una matriz de columnas.

Si la matriz $A_(m\times n)$ satisface la condición $m\neq n$ (es decir, el número de filas no es igual al número de columnas), entonces se suele decir que $A$ es una matriz rectangular. matriz. Por ejemplo, la matriz $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ tiene tamaño $2\times 4 $, esos. contiene 2 filas y 4 columnas. Dado que el número de filas no es igual al número de columnas, esta matriz es rectangular.

Si la matriz $A_(m\times n)$ satisface la condición $m=n$ (es decir, el número de filas es igual al número de columnas), entonces se dice que $A$ es una matriz cuadrada de orden $ n$. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ es una matriz cuadrada de segundo orden; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ es una matriz cuadrada de tercer orden. En general, la matriz cuadrada $A_(n\times n)$ se puede escribir de la siguiente manera:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Se dice que los elementos $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ están en diagonal principal matrices $A_(n\times n)$. Estos elementos se llaman elementos diagonales principales(o simplemente elementos diagonales). Los elementos $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ están en diagonal lateral (menor); se les llama elementos diagonales laterales. Por ejemplo, para la matriz $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( matriz) \right)$ tenemos:

Los elementos $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ son los elementos diagonales principales; los elementos $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ son elementos diagonales laterales.

La suma de los elementos de la diagonal principal se llama seguido de la matriz y se denota por $\Tr A$ (o $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Por ejemplo, para la matriz $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ tenemos:

$$\TrC=2+9+4+6=21. $$

El concepto de elementos diagonales también se utiliza para matrices no cuadradas. Por ejemplo, para la matriz $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ los elementos de la diagonal principal serán $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Tipos de matrices en función de los valores de sus elementos.

Si todos los elementos de la matriz $A_(m\times n)$ son iguales a cero, entonces dicha matriz se llama nulo y normalmente se indica con la letra $O$. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - matrices cero.

Consideremos alguna fila distinta de cero de la matriz $A$, es decir una cadena que contiene al menos un elemento distinto de cero. elemento protagonista de una cadena distinta de cero llamamos a su primer elemento distinto de cero (contando de izquierda a derecha). Por ejemplo, considere la siguiente matriz:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

En la segunda línea el elemento principal será el cuarto elemento, es decir $w_(24)=12$, y en la tercera línea el elemento principal será el segundo elemento, es decir $w_(32)=-9$.

La matriz $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ se llama pisó, si cumple dos condiciones:

1. Las filas nulas, si están presentes, se ubican debajo de todas las filas no nulas.
2. Los números de los elementos principales de las filas distintas de cero forman una secuencia estrictamente creciente, es decir si $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ son los elementos principales de filas distintas de cero de la matriz $A$, entonces $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt(k_r)$.

Ejemplos de matrices de pasos:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 y 0 y 2 y 0 y -4 y 1\\ 0 y 0 y 0 y 0 y -9 y 0\\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$

A modo de comparación: matriz $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ no es una matriz escalonada, ya que se viola la segunda condición en la definición de una matriz escalonada. Los elementos principales en la segunda y tercera filas $q_(24)=7$ y $q_(32)=10$ tienen números $k_2=4$ y $k_3=2$. Para una matriz escalonada, se debe cumplir la condición $k_2\lt(k_3)$, que en este caso se viola. Permítanme señalar que si intercambiamos la segunda y tercera filas, obtenemos una matriz por pasos: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 y 6 \\0 y 0 y 0 y 7 y 9\end(array)\right)$.

Una matriz de pasos se llama trapezoidal o trapezoidal, si los elementos principales $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ satisfacen las condiciones $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, es decir los principales son los elementos diagonales. En general, una matriz trapezoidal se puede escribir de la siguiente manera:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Ejemplos de matrices trapezoidales:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 y 0 y 2 y 0 y -4 y 1\\ 0 y -2 y 0 y 0 y -9 y 0\\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0\\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0\\ 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$

Demos algunas definiciones más para matrices cuadradas. Si todos los elementos de una matriz cuadrada ubicada debajo de la diagonal principal son iguales a cero, entonces dicha matriz se llama matriz triangular superior. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ es una matriz triangular superior. Tenga en cuenta que la definición de una matriz triangular superior no dice nada sobre los valores de los elementos ubicados encima de la diagonal principal o en la diagonal principal. Pueden ser cero o no, no importa. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ también es una matriz triangular superior.

Si todos los elementos de una matriz cuadrada ubicada encima de la diagonal principal son iguales a cero, entonces dicha matriz se llama matriz triangular inferior. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matriz triangular inferior. Tenga en cuenta que la definición de matriz triangular inferior no dice nada sobre los valores de los elementos ubicados debajo o sobre la diagonal principal. Pueden ser cero o no, no importa. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ y $\left(\ start (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ también son matrices triangulares inferiores.

La matriz cuadrada se llama diagonal, si todos los elementos de esta matriz que no se encuentran en la diagonal principal son iguales a cero. Ejemplo: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ fin(matriz)\derecha)$. Los elementos de la diagonal principal pueden ser cualquier cosa (igual a cero o no), no importa.

La matriz diagonal se llama soltero, si todos los elementos de esta matriz ubicados en la diagonal principal son iguales a 1. Por ejemplo, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matriz identidad de cuarto orden; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ es la matriz identidad de segundo orden.

Este es un concepto que generaliza todas las operaciones posibles realizadas con matrices. Matriz matemática - tabla de elementos. Sobre una mesa donde metro líneas y norte columnas, se dice que esta matriz tiene la dimensión metro en norte.

Vista general de la matriz:

Para soluciones matriciales es necesario entender qué es una matriz y conocer sus principales parámetros. Elementos principales de la matriz:

• La diagonal principal, formada por elementos. un 11, un 22…..un minuto.
• Diagonal lateral formada por elementos. un 1n , un 2n-1 .....un m1.

Principales tipos de matrices:

• El cuadrado es una matriz donde el número de filas = el número de columnas ( m=n).
• Cero: donde todos los elementos de la matriz = 0.
• Matriz transpuesta - matriz EN, que se obtuvo de la matriz original A reemplazando filas con columnas.
• Unidad: todos los elementos de la diagonal principal = 1, todos los demás = 0.
• Una matriz inversa es una matriz que, multiplicada por la matriz original, da como resultado una matriz identidad.

La matriz puede ser simétrica con respecto a las diagonales principal y secundaria. Es decir, si un 12 = un 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. un m-1n = un mn-1, entonces la matriz es simétrica con respecto a la diagonal principal. Sólo las matrices cuadradas pueden ser simétricas.

Métodos de resolución de matrices.

Casi todos métodos de resolución de matrices consiste en encontrar su determinante norte-ésimo orden y la mayoría de ellos son bastante engorrosos. Para encontrar el determinante de segundo y tercer orden existen otros métodos más racionales.

Encontrar determinantes de segundo orden.

Para calcular el determinante de una matriz. A 2do orden, es necesario restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria del producto de los elementos de la diagonal principal:

Métodos para encontrar determinantes de tercer orden.

A continuación se muestran las reglas para encontrar el determinante de tercer orden.

Regla simplificada del triángulo como una de métodos de resolución de matrices, se puede representar de esta manera:

Es decir, el producto de elementos del primer determinante que están conectados por rectas se toma con signo “+”; Asimismo, para el 2º determinante se toman los productos correspondientes con el signo “-”, es decir, según el siguiente esquema:

En resolver matrices usando la regla de Sarrus, a la derecha del determinante se suman las 2 primeras columnas y se toman con signo “+” los productos de los elementos correspondientes en la diagonal principal y en las diagonales paralelas a ella; y los productos de los elementos correspondientes de la diagonal secundaria y las diagonales paralelas a ella, con el signo “-”:

Descomponer el determinante en una fila o columna al resolver matrices.

El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de la fila del determinante y sus complementos algebraicos. Normalmente se selecciona la fila/columna que contiene ceros. La fila o columna a lo largo de la cual se realiza la descomposición se indicará mediante una flecha.

Reducir el determinante a forma triangular al resolver matrices.

En resolviendo matrices método para reducir el determinante a una forma triangular, funcionan así: usando las transformaciones más simples en filas o columnas, el determinante adquiere una forma triangular y luego su valor, de acuerdo con las propiedades del determinante, será igual al producto de los elementos que están en la diagonal principal.

Teorema de Laplace para la resolución de matrices.

Al resolver matrices utilizando el teorema de Laplace, es necesario conocer el teorema en sí. Teorema de Laplace: Sea Δ - esto es un determinante norte-ésimo orden. Seleccionamos cualquier k filas (o columnas), proporcionadas k≤ norte - 1. En este caso, la suma de los productos de todos los menores. k-ésimo orden contenido en el seleccionado k filas (columnas), por sus complementos algebraicos serán iguales al determinante.

Resolviendo la matriz inversa.

Secuencia de acciones para soluciones de matriz inversa:

1. Determinar si una matriz dada es cuadrada. Si la respuesta es negativa, queda claro que no puede haber una matriz inversa para ello.
2. Calculamos complementos algebraicos.
3. Componemos una matriz de unión (mutua, adjunta) C.
4. La matriz inversa la componemos a partir de sumas algebraicas: todos los elementos de la matriz adjunta C dividir por el determinante de la matriz inicial. La matriz final será la matriz inversa requerida en relación con la dada.
5. Comprobamos el trabajo realizado: multiplicamos la matriz inicial y la matriz resultante, el resultado debe ser una matriz identidad.

Resolución de sistemas matriciales.

Para soluciones de sistemas matriciales El método gaussiano es el más utilizado.

El método de Gauss es un método estándar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) y consiste en eliminar variables secuencialmente, es decir, con la ayuda de cambios elementales, el sistema de ecuaciones se lleva a un sistema equivalente de ecuaciones triangulares. forma y a partir de ella, secuencialmente, a partir de este último (por número), encontrar cada elemento del sistema.

método de gauss es la mejor y más versátil herramienta para encontrar soluciones matriciales. Si un sistema tiene un número infinito de soluciones o el sistema es incompatible, entonces no se puede resolver utilizando la regla de Cramer y el método matricial.

El método de Gauss también implica movimientos directos (reducir la matriz extendida a una forma escalonada, es decir, obtener ceros debajo de la diagonal principal) e inversos (obtener ceros encima de la diagonal principal de la matriz extendida). El movimiento hacia adelante es el método de Gauss, el movimiento hacia atrás es el método de Gauss-Jordan. El método de Gauss-Jordan se diferencia del método de Gauss sólo en la secuencia de eliminación de variables.

Una matriz rectangular de tamaño mxn es una colección de números mxn dispuestos en forma de una tabla rectangular que contiene m filas yn columnas. Lo escribiremos en el formulario.

o abreviado como A = (a i j) (i = ; j = ), los números a i j se llaman sus elementos; El primer índice indica el número de fila, el segundo, el número de columna. A = (a i j) y B = (b i j) del mismo tamaño se llaman iguales si sus elementos que se encuentran en los mismos lugares son iguales por pares, es decir, A = B si a i j = b i j.

Una matriz que consta de una fila o una columna se denomina vector fila o vector columna, respectivamente. Los vectores de columna y los vectores de fila se denominan simplemente vectores.

Una matriz formada por un número se identifica con este número. A de tamaño mxn, cuyos elementos son iguales a cero, se denomina cero y se denota por 0. Los elementos con los mismos índices se denominan elementos de la diagonal principal. Si el número de filas es igual al número de columnas, es decir, m = n, entonces la matriz se llama matriz cuadrada de orden n. Las matrices cuadradas en las que sólo los elementos de la diagonal principal son distintos de cero se denominan diagonales y se escriben de la siguiente manera:

.

Si todos los elementos a i i de la diagonal son iguales a 1, entonces se llama unidad y se denota con la letra E:

.

Una matriz cuadrada se llama triangular si todos los elementos encima (o debajo) de la diagonal principal son iguales a cero. La transposición es una transformación en la que se intercambian filas y columnas manteniendo sus números. La transposición se indica con una T en la parte superior.

Si reorganizamos las filas y columnas en (4.1), obtenemos

,

que se transpondrá con respecto a A. En particular, al transponer un vector columna, se obtiene un vector fila y viceversa.

El producto de A y el número b es una matriz cuyos elementos se obtienen a partir de los elementos correspondientes de A multiplicando por el número b: b A = (b a i j).

La suma A = (a i j) y B = (b i j) del mismo tamaño se llama C = (c i j) del mismo tamaño, cuyos elementos están determinados por la fórmula c i j = a i j + b i j.

El producto AB se determina bajo el supuesto de que el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

El producto AB, donde A = (a i j) y B = (b j k), donde i = , j= , k= , dado en un cierto orden AB, se denomina C = (c i k), cuyos elementos están determinados por la siguiente regla:

c yo k = una yo 1 segundo 1 k + una yo 2 segundo 2 k +... + una yo metro b m k = una yo s segundo s k . (4.2)

En otras palabras, el elemento del producto AB se define de la siguiente manera: el elemento de la i-ésima fila y la k-ésima columna C es igual a la suma de los productos de los elementos de la i-ésima fila A y el elementos correspondientes de la k-ésima columna B.

Ejemplo 2.1. Encuentre el producto de AB y .

Solución. Tenemos: A de tamaño 2x3, B de tamaño 3x3, entonces existe el producto AB = C y los elementos de C son iguales

De 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, de 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, de 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, y el producto BA no existe.

Ejemplo 2.2. La tabla muestra el número de unidades de producto enviadas diariamente desde las lecherías 1 y 2 a las tiendas M 1, M 2 y M 3, y la entrega de una unidad de producto de cada lechería a la tienda M 1 cuesta 50 den. unidades, a la tienda M 2 - 70, y a M 3 - 130 den. unidades Calcule los costos diarios de transporte de cada planta.

planta lechera

Solución. Denotemos por A la matriz que se nos da en la condición, y por
B - matriz que caracteriza el costo de entregar una unidad de producto a las tiendas, es decir,

,

Entonces la matriz de costos de transporte quedará así:

Así, la primera planta gasta diariamente 4.750 deniers en transporte. unidades, el segundo - 3680 unidades monetarias.

Ejemplo 2.3. La empresa de costura produce abrigos de invierno, abrigos de entretiempo e impermeables. El resultado previsto para una década se caracteriza por el vector X = (10, 15, 23). Se utilizan cuatro tipos de tejidos: T 1, T 2, T 3, T 4. La tabla muestra las tasas de consumo de tela (en metros) para cada producto. El vector C = (40, 35, 24, 16) especifica el costo de un metro de tela de cada tipo, y el vector P = (5, 3, 2, 2) especifica el costo de transportar un metro de tela de cada tipo.

	Consumo de tela
Abrigo de invierno
Abrigo de entretiempo