Kataloga informācija
Nosaukums
Elementāra lineārā algebra.
(Kredīta stundas: lekciju stundas: laboratorijas stundas)
Piedāvāja
Priekšnoteikums
Minimālie mācību rezultāti
Pabeidzot šo kursu, sekmīgais students varēs:
- Izmantojiet Gausa elimināciju, lai veiktu visas šīs darbības: atrisinātu lineāru sistēmu ar samazinātu rindas ešelonu formu, atrisinātu lineāru sistēmu ar rindas ešelona formu un atpakaļejošu aizstāšanu, atrastu dotās matricas apgriezto vērtību un atrastu dotās matricas determinantu.
- Parādiet matricas algebras prasmi. Matricas reizināšanai parādiet izpratni par asociatīvo likumu, apgrieztās secības likumu apgrieztām un transponētām versijām, kā arī komutatīvā likuma un atcelšanas likuma neveiksmi.
- Izmantojiet Krāmera likumu, lai atrisinātu lineāro sistēmu.
- Izmantojiet kofaktorus, lai atrastu dotās matricas apgriezto vērtību un dotās matricas determinantu.
- Nosakiet, vai kopa ar doto saskaitīšanas un skalārās reizināšanas jēdzienu ir vektora telpa. Šeit un tālāk norādītajos skaitļos iepazīstieties gan ar ierobežotu, gan bezgalīgu dimensiju piemēriem.
- Nosakiet, vai vektoru telpas noteiktā apakškopa ir apakštelpa.
- Nosakiet, vai dotā vektoru kopa ir lineāri neatkarīga, aptver vai ir bāze.
- Nosakiet dotās vektortelpas vai dotās apakštelpas dimensiju.
- Atrodiet pamatus dotās matricas nulles telpai, rindu telpai un kolonnu telpai un nosakiet tās rangu.
- Parādiet izpratni par ranga-nullitātes teorēmu un tās pielietojumu.
- Dots lineārās transformācijas apraksts, atrodiet tās matricas attēlojumu attiecībā pret dotajām bāzēm.
- Parādiet izpratni par saistību starp līdzību un pamata maiņu.
- Atrodiet vektora normu un leņķi starp diviem vektoriem iekšējā produkta telpā.
- Izmantojiet iekšējo reizinājumu, lai izteiktu vektoru iekšējā produkta telpā kā lineāru kombināciju no ortogonālas vektoru kopas.
- Atrodiet dotās apakštelpas ortogonālo papildinājumu.
- Parādiet izpratni par matricas rindas telpas, kolonnu telpas un nulles (un tās transponēšanas) attiecībām, izmantojot ortogonālos papildinājumus.
- Parādiet izpratni par Košī-Švarca nevienlīdzību un tās pielietojumu.
- Nosakiet, vai vektortelpa ar (seskvilīnu) formu ir iekšējā produkta telpa.
- Izmantojiet Grama-Šmita procesu, lai atrastu ortonormālu iekšējās produkta telpas pamatu. Esiet spējīgs to izdarīt abos gadījumos R n un funkciju telpās, kas ir iekšējās produktu telpas.
- Izmantojiet mazākos kvadrātus, lai ietilptu rindā ( y = cirvis + b) uz datu tabulu, uzzīmējiet līniju un datu punktus un izskaidrojiet mazāko kvadrātu nozīmi ortogonālās projekcijas izteiksmē.
- Izmantojiet mazāko kvadrātu ideju, lai atrastu ortogonālas projekcijas uz apakštelpām un polinoma līknes pielāgošanai.
- Atrodiet (reālās un kompleksās) 2 × 2 vai 3 × 3 matricu īpašvērtības un īpašvektorus.
- Nosakiet, vai dotā matrica ir diagonalizējama. Ja tā, atrodiet matricu, kas to diagonalizē, izmantojot līdzību.
- Parādiet izpratni par saikni starp kvadrātveida matricas īpatnējām vērtībām un tās determinantu, tās izsekojamību un tās invertējamību/singularitāti.
- Identificējiet simetriskas matricas un ortogonālās matricas.
- Atrodiet matricu, kas ortogonāli diagonalizē doto simetrisko matricu.
- Zināt un prast pielietot spektrālo teorēmu simetriskām matricām.
- Zināt un prast pielietot Singular Value Decomposition.
- Pareizi definējiet terminus un sniedziet piemērus saistībā ar iepriekšminētajiem jēdzieniem.
- Pierādiet pamatteorēmas par iepriekšminētajiem jēdzieniem.
- Pierādīt vai atspēkot apgalvojumus, kas attiecas uz iepriekš minētajiem jēdzieniem.
- Esiet prasmīgi aprēķinot rindu samazināšanu, matricas inversiju un līdzīgas problēmas; arī izmantojiet MATLAB vai līdzīgu programmu lineārās algebras problēmām.
Lesija M. Ohnivčuka
Abstrakts
Rakstā apskatīts veids, kā paplašināt LMS Moodle funkcionalitāti, veidojot e-studiju kursus matemātikas zinātnēm, īpaši e-studiju kursus "Elementārā matemātika", izmantojot zibatmiņas tehnoloģiju un Java sīklietotnes. Kursā "Elementārā matemātika" ir zibatmiņas aplikāciju un Java sīklietotņu izmantošanas piemēri.
Atslēgvārdi
LMS Moodle; e-mācību kursi; tehnoloģiju zibspuldze; Java sīklietotne, GeoGebra
Atsauces
Brandão, L. O., "iGeom: bezmaksas programmatūra dinamiskai ģeometrijai tīmeklī", Starptautiskā zinātnes un matemātikas izglītības konference, Riodežaneiro, Brazīlija, 2002.
Brandão, L. O. un Eisnmann, A. L. K. “Work in Progress: iComb Project — matemātisks logrīks kombinatorikas mācīšanai un apguvei, izmantojot vingrinājumus” Proceedings of the 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G_1–2
Kamiya, R. H un Brandão, L. O. “iVProg – sistēma ievadprogrammēšanai, izmantojot vizuālo modeli internetā. Proceedings of XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (portugāļu valodā).
Moodle.org: atvērtā pirmkoda kopienas rīki mācībām [elektroniskais resurss]. – Piekļuves režīms: http://www.moodle.org.
MoodleDocs [Elektroniskais resurss]. – Piekļuves režīms: http://docs.moodle.org.
Interaktīvās tehnoloģijas: teorija, prakse, pierādījumi: metodiskais ceļvedis autoinstalācijai: O. Pometuns, L. Piroženko. – K.: APN; 2004. – 136 lpp.
Dmitrijs Pupiņins. Jautājuma veids: Flash [Elektroniskais resurss]. – Piekļuves režīms: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26.02.14.
Andreev A.V., Gerasimenko P.S.. Flash un SCORM izmantošana gala kontroles uzdevumu izveidei [Elektroniskais resurss]. – Piekļuves režīms: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 –02.26.14.
GeoGebra. Materiāli [Elektroniskais resurss]. – Piekļuves režīms: http://tube.geogebra.org.
Hohenvator M. Ievads GeoGebra / M. Hohenvator / trans. T. S. Rjabova. – 2012. – 153 lpp.
ATSAUKSMES (TULKOTĀS UN TRANSLITERĒTĀS)
Brandão, L. O. "iGeom: bezmaksas programmatūra dinamiskai ģeometrijai tīmeklī", Starptautiskā zinātnes un matemātikas izglītības konference, Riodežaneiro, Brazīlija, 2002 (angļu valodā).
Brandão, L. O. un Eisnmann, A. L. K. “Work in Progress: iComb Project – matemātisks logrīks kombinatorikas mācīšanai un mācīšanai caur vingrinājumiem” Proceedings of the 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G_1–2 (angļu valodā).
Kamiya, R. H un Brandão, L. O. “iVProg – sistēma ievadprogrammēšanai, izmantojot vizuālo modeli internetā. Proceedings of the XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (angļu valodā).
Moodle.org: atvērtā pirmkoda kopienas rīki mācībām. – Pieejams no: http://www.moodle.org (angļu valodā).
MoodleDocs. – Pieejams no: http://docs.moodle.org (angļu valodā).
Pometuns O. I., Piroženko L. V. Mūsdienu nodarbība, Kijeva, ASK Publ., 2004, 192 lpp. (ukraiņu valodā).
Dmitrijs Pupiņins. Jautājuma veids: Flash . – Pieejams no: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 02/26/14 (angļu valodā).
Andrejevs A., Gerasimenko R. Flash un SCORM izmantošana uzdevumu galīgās kontroles izveidei. – Pieejams no: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 02.26.14 (krievu valodā).
GeoGebra Wiki. – Pieejams no: http://www.geogebra.org (angļu valodā).
Hohenvarters M. Ievads GeoGebra / M. Hohenvarters. – 2012. – 153 s. (angliski).
DOI: https://doi.org/10.33407/itlt.v48i4.1249
Autortiesības (c) 2015 Lesia M. Ohnivchuk
Ceļojošā pārdevēja uzdevumā, lai izveidotu optimālu maršrutu ap n pilsētām, jāizvēlas labākais no (n-1)! iespējas, pamatojoties uz laiku, izmaksām vai maršruta garumu. Šī problēma ietver minimālā garuma Hamiltona cikla noteikšanu. Šādos gadījumos visu iespējamo risinājumu kopa ir jāattēlo koka veidā - savienots grafiks, kas nesatur ciklus vai cilpas. Koka sakne apvieno visu opciju kopu, un koka galotnes ir daļēji sakārtotu risinājumu opciju apakškopas.
Pakalpojuma mērķis. Izmantojot pakalpojumu, jūs varat pārbaudīt savu risinājumu vai iegūt jaunu risinājumu ceļojošā pārdevēja problēmai, izmantojot divas metodes: filiāles un saistīšanas metodi un ungāru metodi.
Ceļojošā pārdevēja problēmas matemātiskais modelis
Formulētā problēma ir vesela skaitļa problēma. Lai x ij =1, ja ceļotājs pārvietojas no i-tās pilsētas uz j-to un x ij =0, ja tas tā nav.Formāli mēs ieviešam (n+1) pilsētu, kas atrodas tajā pašā vietā, kur pirmā pilsēta, t.i. attālumi no (n+1) pilsētām līdz jebkurai citai pilsētai, izņemot pirmo, ir vienādi ar attālumiem no pirmās pilsētas. Turklāt, ja jūs varat atstāt tikai pirmo pilsētu, jūs varat ierasties tikai (n+1) pilsētā.
Ieviesīsim papildu veselus mainīgos, kas vienādi ar šīs pilsētas apmeklējumu skaitu ceļā. u 1 =0, u n +1 =n. Lai izvairītos no slēgtiem ceļiem, atstājiet pirmo pilsētu un atgriezieties pie (n+1), mēs ieviešam papildu ierobežojumus, kas savieno mainīgos x ij un mainīgos u i (u i ir nenegatīvi veseli skaitļi).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, ar i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n
Ceļojošā pārdevēja problēmas risināšanas metodes
- zaru un saistīšanas metode (Lila algoritms vai apakšcikla eliminācija). Atzarojuma un iesieta risinājuma piemērs;
- Ungāru metode. Risinājuma piemērs, izmantojot ungāru metodi.
Litāla algoritms vai apakšcikla likvidēšana
- Redukcijas darbība pa rindām: katrā matricas rindā tiek atrasts minimālais elements d min un atņemts no visiem atbilstošās rindas elementiem. Apakšējā robeža: H=∑d min.
- Samazināšanas darbība pa kolonnām: katrā matricas kolonnā atlasiet minimālo elementu d min un atņemiet to no visiem atbilstošās kolonnas elementiem. Apakšējā robeža: H=H+∑d min .
- Samazinājuma konstante H ir visu pieļaujamo Hamiltona kontūru kopas apakšējā robeža.
- Nuļļu pakāpju atrašana matricai, kas norādīta ar rindām un kolonnām. Lai to izdarītu, uz laiku nomainiet nulles matricā ar zīmi “∞” un atrodiet šai nullei atbilstošo rindas un kolonnas minimālo elementu summu.
- Izvēlieties loku (i,j), kuram nulles elementa pakāpe sasniedz maksimālo vērtību.
- Visu Hamiltona kontūru kopa ir sadalīta divās apakškopās: Hamiltona kontūru apakškopā, kas satur loku (i,j) un tajās, kas to nesatur (i*,j*). Lai iegūtu kontūru matricu, kas ietver loku (i, j), izsvītrojiet rindu i un kolonnu j matricā. Lai novērstu ne-Hamiltona kontūras veidošanos, simetrisko elementu (j,i) aizstāj ar zīmi “∞”. Loka likvidēšana tiek panākta, aizvietojot elementu matricā ar ∞.
- Hamiltona kontūru matrica tiek reducēta, meklējot reducēšanas konstantes H(i,j) un H(i*,j*) .
- Salīdzinātas Hamiltona kontūru apakškopas H(i,j) un H(i*,j*) apakšējās robežas. Ja H(i,j)
- Ja sazarošanas rezultātā tiek iegūta (2x2) matrica, tad tiek noteikta sazarojuma rezultātā iegūtā Hamiltona kontūra un tās garums.
- Hamiltona kontūras garums tiek salīdzināts ar nokareno zaru apakšējām robežām. Ja kontūras garums nepārsniedz to apakšējās robežas, tad problēma ir atrisināta. Pretējā gadījumā apakškopu zari, kuru apakšējā robeža ir mazāka par iegūto kontūru, tiek izstrādātas, līdz tiek iegūts maršruts ar īsāku garumu.
Piemērs. Atrisiniet ceļojošā pārdevēja problēmu ar matricu, izmantojot Litla algoritmu
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Risinājums. Ņemsim par patvaļīgu maršrutu: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Tad F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Lai noteiktu kopas apakšējo robežu, mēs izmantojam samazināšanas darbība vai matricas reducēšana pēc rindas, kurai jāatrod minimālais elements katrā matricas D rindā: d i = min(j) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
d j = min(i) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Matricas d ij elementi atbilst attālumam no punkta i līdz punktam j.
Tā kā matricā ir n pilsētas, tad D ir nxn matrica ar nenegatīviem elementiem d ij ≥ 0
Katrs derīgais maršruts ir cikls, kurā ceļojošais pārdevējs apmeklē pilsētu tikai vienu reizi un atgriežas sākotnējā pilsētā.
Maršruta garumu nosaka izteiksme: F(M k) = ∑d ij
Turklāt katra rinda un kolonna tiek iekļauta maršrutā tikai vienu reizi ar elementu d ij .
1. darbība.
Atzarojuma malas noteikšana
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Malai (5,2) lielākā redukcijas konstantu summa ir (0 + 6) = 6, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (5,2) un (5*,2*).
Malu izslēgšana(5.2) tiek veikta, aizvietojot elementu d 52 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (5*,2*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Malas iespējošana(5.2) tiek veikta, likvidējot visus 5. rindas un 2. kolonnas elementus, kuros elements d 25 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Apakškopas (5,2) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Tā kā šīs apakškopas (5,2) apakšējā robeža ir mazāka par apakškopu (5*,2*), mēs iekļaujam malu (5,2) maršrutā ar jaunu robežu H = 35
2. darbība.
Atzarojuma malas noteikšana un sadaliet visu maršrutu kopu attiecībā pret šo malu divās apakškopās (i,j) un (i*,j*).
Šim nolūkam visām matricas šūnām ar nulles elementiem nulles pa vienai aizstājam ar M (bezgalību) un nosaka tām iegūto samazinājuma konstantu summu, tās dotas iekavās.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Malai (4,3) lielākā redukcijas konstantu summa ir (0 + 9) = 9, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (4,3) un (4*,3*).
Malu izslēgšana(4.3) tiek veikta, aizvietojot elementu d 43 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (4*,3*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Malas iespējošana(4.3) tiek veikta, likvidējot visus 4. rindas un 3. kolonnas elementus, kuros elements d 34 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
Pēc samazināšanas darbības reducētā matrica izskatīsies šādi:
| i j | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| d j | 0 | 2 | 0 | 7 |
Apakškopas (4,3) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Tā kā 42 > 41, mēs izslēdzam apakškopu (5,2) turpmākai sazarošanai.
Atgriežamies pie iepriekšējā plāna X 1.
Plāns X 1.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Atzarojuma malas noteikšana un sadaliet visu maršrutu kopu attiecībā pret šo malu divās apakškopās (i,j) un (i*,j*).
Šim nolūkam visām matricas šūnām ar nulles elementiem nulles pa vienai aizstājam ar M (bezgalību) un nosaka tām iegūto samazinājuma konstantu summu, tās dotas iekavās.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Malai (4,2) lielākā redukcijas konstantu summa ir (0 + 6) = 6, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (4,2) un (4*,2*).
Malu izslēgšana(4.2) tiek veikta, aizvietojot elementu d 42 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (4*,2*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Malas iespējošana(4.2) tiek veikta, likvidējot visus 4. rindas un 2. kolonnas elementus, kuros elements d 24 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
Rezultāts ir vēl viena samazināta matrica (4 x 4), kas tiek pakļauta samazināšanas darbībai.
Pēc samazināšanas darbības reducētā matrica izskatīsies šādi:
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Apakškopas (4,2) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Tā kā šīs apakškopas (4,2) apakšējā robeža ir mazāka par apakškopu (4*,2*), mēs iekļaujam malu (4,2) maršrutā ar jaunu robežu H = 41.
2. darbība.
Atzarojuma malas noteikšana un sadaliet visu maršrutu kopu attiecībā pret šo malu divās apakškopās (i,j) un (i*,j*).
Šim nolūkam visām matricas šūnām ar nulles elementiem nulles pa vienai aizstājam ar M (bezgalību) un nosaka tām iegūto samazinājuma konstantu summu, tās dotas iekavās.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Malai (1,5) lielākā redukcijas konstantu summa ir (4 + 5) = 9, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (1,5) un (1*,5*).
Malu izslēgšana(1.5) tiek veikta, aizvietojot elementu d 15 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (1*,5*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Malas iespējošana(1.5) tiek veikta, likvidējot visus 1. rindas un 5. kolonnas elementus, kuros elements d 51 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
Rezultātā mēs iegūstam vēl vienu reducētu matricu (3 x 3), kas ir pakļauta samazināšanas darbībai.
Pēc samazināšanas darbības reducētā matrica izskatīsies šādi:
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 |
Apakškopas (1,5) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Tā kā šīs apakškopas (1,5) apakšējā robeža ir mazāka par apakškopu (1*,5*), mēs iekļaujam malu (1,5) maršrutā ar jaunu robežu H = 41.
3. darbība.
Atzarojuma malas noteikšana un sadaliet visu maršrutu kopu attiecībā pret šo malu divās apakškopās (i,j) un (i*,j*).
Šim nolūkam visām matricas šūnām ar nulles elementiem nulles pa vienai aizstājam ar M (bezgalību) un nosaka tām iegūto samazinājuma konstantu summu, tās dotas iekavās.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| d j | 6 | 9 | 0 | 0 |
Malai (2,1) lielākā redukcijas konstantu summa ir (9 + 6) = 15, tāpēc kopa tiek sadalīta divās apakškopās (2,1) un (2*,1*).
Malu izslēgšana(2.1) tiek veikta, aizvietojot elementu d 21 = 0 ar M, pēc kā veicam nākamo attāluma matricas samazināšanu iegūtajai apakškopai (2*,1*), kā rezultātā iegūstam reducētu matricu.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 6 | 0 | 0 | 15 |
Malas iespējošana(2.1) tiek veikta, likvidējot visus 2. rindas un 1. kolonnas elementus, kuros elements d 12 ir aizstāts ar M, lai novērstu ne-Hamiltona cikla veidošanos.
Rezultātā iegūstam vēl vienu reducētu matricu (2 x 2), uz kuru attiecas samazināšanas darbība.
Pēc samazināšanas darbības reducētā matrica izskatīsies šādi:
| i j | 3 | 4 | d i |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
Apakškopas (2,1) apakšējā robeža ir vienāda ar: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Tā kā šīs apakškopas (2,1) apakšējā robeža ir mazāka par apakškopu (2*,1*), mēs iekļaujam malu (2,1) maršrutā ar jaunu robežu H = 41.
Saskaņā ar šo matricu mēs Hamiltona maršrutā iekļaujam malas (3,4) un (5,3).
Rezultātā gar Hamiltona cikla zarojošo koku veidojas malas:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Maršruta garums ir F(Mk) = 41
Lēmumu koks.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), H=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), H=47 | (4,2) | (4*,3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SAT matemātikas tests aptver virkni matemātisku metožu, liekot uzsvaru uz problēmu risināšanu, matemātiskiem modeļiem un matemātisko zināšanu stratēģisku izmantošanu.
SAT matemātikas tests: tāpat kā reālajā pasaulē
Tā vietā, lai pārbaudītu jūs par katru matemātikas tēmu, jaunais SAT pārbauda jūsu spēju izmantot matemātiku, uz kuru paļausiesit visbiežāk un dažādās situācijās. Matemātikas testa jautājumi ir izstrādāti, lai atspoguļotu problēmu risināšanu un modeļus, ar kuriem jums būs jāsadarbojas
Augstskolas studijas, tieši apgūstot matemātiku, kā arī dabas un sociālās zinātnes;
- Jūsu ikdienas profesionālā darbība;
- Tava ikdiena.
Piemēram, lai atbildētu uz dažiem jautājumiem, būs jāizmanto vairākas darbības – jo reālajā pasaulē situācijas, kad risinājuma atrašanai pietiek ar vienu vienkāršu soli, ir ārkārtīgi reti.
SAT matemātikas formāts
SAT matemātikas tests: pamata fakti
SAT matemātikas sadaļa koncentrējas uz trim matemātikas jomām, kurām ir vadošā loma lielākajā daļā akadēmisko priekšmetu augstākās izglītības un profesionālajā karjerā:
- Algebras sirds: Algebras pamati, kas vērsta uz lineāru vienādojumu un sistēmu risināšanu;
- Problēmu risināšana un datu analīze: problēmu risināšana un datu analīze, kas ir būtiska vispārējai matemātikas pratībai;
- Pase progresīvajai matemātikai: progresīvās matemātikas pamati, kas uzdod jautājumus, kas prasa manipulēt ar sarežģītiem vienādojumiem.
Matemātikas testā tiek izmantotas arī papildu tēmas matemātikā, tostarp ģeometrija un trigonometrija, kas ir vissvarīgākās studijām universitātē un profesionālajā karjerā.
SAT matemātikas tests: video
Algebras pamati
Algebras sirds
Šī SAT Math sadaļa koncentrējas uz algebru un galvenajiem jēdzieniem, kas ir vissvarīgākie panākumiem koledžā un karjerā. Tas novērtē studentu spēju brīvi analizēt, risināt un konstruēt lineāros vienādojumus un nevienādības. Studentiem būs arī jāanalizē un tekoši jāatrisina vienādojumus un vienādojumu sistēmas, izmantojot vairākas metodes.Lai pilnībā novērtētu zināšanas par šo materiālu, problēmas būtiski atšķirsies pēc veida un satura. Tie var būt diezgan vienkārši vai prasa stratēģisku domāšanu un izpratni, piemēram, grafisko un algebrisko izteiksmju mijiedarbības interpretāciju vai risinājuma prezentēšanu kā argumentācijas procesu. Pārbaudes dalībniekiem ir jāparāda ne tikai zināšanas par risinājumu metodēm, bet arī dziļāka izpratne par jēdzieniem, kas ir lineāro vienādojumu un funkciju pamatā. SAT algebras matemātikas pamati tiek vērtēti skalā no 1 līdz 15.
Šajā sadaļā būs uzdevumi, uz kuriem atbilde ir sniegta ar atbilžu variantiem vai studenta patstāvīgi aprēķināta. Dažkārt ir atļauts izmantot kalkulatoru, taču ne vienmēr tas ir nepieciešams vai ieteicams.
1. Konstruējiet, atrisiniet vai interpretējiet lineāru izteiksmi vai vienādojumu ar vienu mainīgo, dažu īpašu nosacījumu kontekstā. Izteiksmei vai vienādojumam var būt racionāli koeficienti, un, lai vienkāršotu izteiksmi vai atrisinātu vienādojumu, var būt nepieciešami vairāki soļi.
2. Konstruēt, atrisināt vai interpretēt lineāras nevienādības ar vienu mainīgo, dažu specifisku nosacījumu kontekstā. Nevienlīdzībai var būt racionāli koeficienti, un tās vienkāršošanai vai risināšanai var būt nepieciešami vairāki soļi.
3. Konstruējiet lineāru funkciju, kas modelē lineāru attiecību starp diviem lielumiem. Pārbaudes veicējam jāapraksta lineāra sakarība, kas izsaka noteiktus nosacījumus, izmantojot vienādojumu ar diviem mainīgajiem vai funkciju. Vienādojumam vai funkcijai būs racionāli koeficienti, un, lai izveidotu un vienkāršotu vienādojumu vai funkciju, var būt nepieciešamas vairākas darbības.
4. Konstruēt, atrisināt un interpretēt lineāro nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem. Eksaminējamais analizēs vienu vai vairākus nosacījumus, kas pastāv starp diviem mainīgajiem, konstruējot, atrisinot vai interpretējot divu mainīgo nevienādību vai divu mainīgo nevienādību sistēmu noteiktos noteiktos apstākļos. Lai izveidotu nevienlīdzību vai nevienlīdzību sistēmu, var būt nepieciešami vairāki soļi vai definīcijas.
5. Konstruēt, atrisināt un interpretēt divu lineāru vienādojumu sistēmas divos mainīgajos. Eksaminējamais analizēs vienu vai vairākus nosacījumus, kas pastāv starp diviem mainīgajiem, konstruējot, atrisinot vai analizējot lineāru vienādojumu sistēmu noteiktos noteiktos apstākļos. Vienādojumiem būs racionāli koeficienti, un, lai vienkāršotu vai atrisinātu sistēmu, var būt nepieciešami vairāki soļi.
6. Atrisiniet lineāros vienādojumus (vai nevienādības) ar vienu mainīgo. Vienādojumam (vai nevienādībai) būs racionāli koeficienti, un tā atrisināšanai var būt nepieciešami vairāki soļi. Vienādojumiem var nebūt risinājuma, var būt viens risinājums vai bezgalīgs skaits risinājumu. Eksaminējamajam var arī lūgt noteikt tāda vienādojuma vērtību vai koeficientu, kuram nav atrisinājuma vai kuram ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.
7. Atrisiniet divu lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem. Vienādojumiem būs racionāli koeficienti, un sistēmai var nebūt risinājuma, viena atrisinājuma vai bezgalīgs skaits risinājumu. Eksaminējamajam var arī lūgt noteikt tāda vienādojuma vērtību vai koeficientu, kurā sistēmai var nebūt atrisinājuma, viens risinājums vai bezgalīgs skaits risinājumu.
8. Izskaidrot attiecības starp algebriskām un grafiskām izteiksmēm. Identificējiet grafiku, kas aprakstīts ar doto lineāro vienādojumu vai lineāro vienādojumu, kas apraksta doto grafiku, nosakiet līnijas vienādojumu, kas dots, verbāli aprakstot tās grafiku, identificējiet lineārās funkcijas grafika galvenās iezīmes no tā vienādojuma, nosakiet, kā grafiks var ietekmēt tā vienādojuma maiņa.
Problēmu risināšana un datu analīze
Problēmu risināšana un datu analīze
Šī SAT matemātikas sadaļa atspoguļo pētījumus, kas noskaidrojuši, kas ir svarīgi panākumiem koledžā vai universitātē. Pārbaudēs nepieciešama problēmu risināšana un datu analīze: spēja matemātiski aprakstīt noteiktu situāciju, ņemot vērā iesaistītos elementus, zināt un izmantot dažādas matemātisko darbību un skaitļu īpašības. Šīs kategorijas problēmām būs nepieciešama ievērojama pieredze loģiskā spriešanā.
Eksāmeniem būs jāzina rādītāju vidējo vērtību aprēķins, vispārīgie modeļi un novirzes no vispārējā attēla un sadalījums komplektos.
Visi problēmu risināšanas un datu analīzes jautājumi pārbauda eksaminējamo spēju izmantot savu matemātisko izpratni un prasmes, lai atrisinātu problēmas, ar kurām viņi var saskarties reālajā pasaulē. Daudzi no šiem jautājumiem tiek uzdoti akadēmiskā un profesionālā kontekstā, un tie, visticamāk, ir saistīti ar zinātni un socioloģiju.
Problēmu risināšana un datu analīze ir viena no trim SAT Math apakšnodaļām, kas tiek vērtētas no 1 līdz 15.
Šajā sadaļā būs jautājumi ar atbilžu variantiem vai paša aprēķinātām atbildēm. Kalkulatora izmantošana šeit ir atļauta vienmēr, bet ne vienmēr nepieciešama vai ieteicama.
Šajā SAT Math daļā jūs varat saskarties ar šādiem jautājumiem:
1. Izmantojiet attiecības, likmes, proporcijas un mēroga rasējumus, lai atrisinātu viena un vairāku soļu problēmas. Testa dalībnieki izmantos proporcionālu attiecību starp diviem mainīgajiem, lai atrisinātu daudzpakāpju problēmu, lai noteiktu attiecību vai likmi; Aprēķiniet attiecību vai likmi un pēc tam atrisiniet daudzpakāpju problēmu, izmantojot doto attiecību vai attiecību, lai atrisinātu daudzpakāpju problēmu.
2. Atrisiniet viena un vairāku soļu uzdevumus ar procentiem. Eksaminējamais atrisinās daudzlīmeņu uzdevumu, lai noteiktu procentuālo daļu. Aprēķiniet skaitļa procentuālo daļu un pēc tam atrisiniet daudzlīmeņu uzdevumu. Izmantojot noteiktu procentuālo daļu, atrisiniet daudzlīmeņu problēmu.
3. Atrisiniet vienpakāpju un daudzpakāpju aprēķinu uzdevumus. Eksaminējamais atrisinās daudzlīmeņu uzdevumu, lai noteiktu likmes vienību; Aprēķiniet mērvienību un pēc tam atrisiniet daudzpakāpju uzdevumu; Atrisiniet daudzlīmeņu problēmu, lai pabeigtu vienību pārveidošanu; Atrisināt daudzpakāpju blīvuma aprēķina uzdevumu; Vai arī izmantojiet blīvuma jēdzienu, lai atrisinātu daudzpakāpju problēmu.
4. Izmantojot izkliedes diagrammas, atrisiniet lineāros, kvadrātiskos vai eksponenciālos modeļus, lai aprakstītu mainīgo saistību. Ņemot vērā izkliedes diagrammu, atlasiet līnijas vai atbilstības līknes vienādojumu; Interpretējiet līniju situācijas kontekstā; Vai arī izmantojiet līniju vai līkni, kas vislabāk atbilst prognozei.
5. Izmantojot attiecības starp diviem mainīgajiem, izpētiet grafika galvenās funkcijas. Eksaminējamais izveidos savienojumus starp datu grafisko izteiksmi un grafika īpašībām, izvēloties grafiku, kas attēlo aprakstītās īpašības, vai izmantojot grafiku, lai noteiktu vērtības vai vērtību kopas.
6. Salīdziniet lineāro pieaugumu ar eksponenciālo pieaugumu. Eksaminējamajam būs jāsaskaņo divi mainīgie, lai noteiktu, kurš modeļa veids ir optimāls.
7. Izmantojot tabulas, aprēķiniet datus dažādām lielumu kategorijām, relatīvajām frekvencēm un nosacītajām varbūtībām. Eksaminējamais izmanto datus no dažādām kategorijām, lai aprēķinātu nosacīto biežumu, nosacītās varbūtības, mainīgo saistību vai notikumu neatkarību.
8. Pamatojoties uz izlases datiem, izdarīt secinājumus par populācijas parametriem. Eksaminējamais novērtē populācijas parametru, ņemot vērā izlases izlases rezultātus. Statistikas paraugi var nodrošināt ticamības intervālus un mērījumu kļūdas, kas studentam ir jāsaprot un jāizmanto bez nepieciešamības tos aprēķināt.
9. Izmantojiet statistikas metodes vidējo un sadalījumu aprēķināšanai. Pārbaudes dalībnieki aprēķinās vidējo vērtību un/vai sadalījumu noteiktai datu kopai vai izmantos statistiku, lai salīdzinātu divas atsevišķas datu kopas.
10. Izvērtēt ziņojumus, izdarīt secinājumus, pamatot secinājumus un noteikt datu vākšanas metožu piemērotību. Pārskati var sastāvēt no tabulām, grafikiem vai teksta kopsavilkumiem.
Augstākās matemātikas pamati
Pase progresīvajai matemātikai
Šajā SAT matemātikas sadaļā ir iekļautas tēmas, kuras studentiem ir īpaši svarīgi apgūt, pirms pāriet uz progresīvo matemātiku. Galvenais šeit ir izprast izteicienu struktūru un spēju analizēt, manipulēt un vienkāršot šīs izteiksmes. Tas ietver arī spēju analizēt sarežģītākus vienādojumus un funkcijas.
Tāpat kā iepriekšējās divas SAT Math sadaļas, šeit uzdotie jautājumi tiek vērtēti no 1 līdz 15.
Šajā sadaļā būs jautājumi ar atbilžu variantiem vai paša aprēķinātām atbildēm. Dažkārt ir atļauts izmantot kalkulatoru, taču tas ne vienmēr ir nepieciešams vai ieteicams.
Šajā SAT Math daļā jūs varat saskarties ar šādiem jautājumiem:
1. Izveidojiet kvadrātisku vai eksponenciālu funkciju vai vienādojumu, kas modelē dotos nosacījumus. Vienādojumam būs racionāli koeficienti, un, lai to vienkāršotu vai atrisinātu, var būt nepieciešami vairāki soļi.
2. Nosakiet vispiemērotāko izteiksmes vai vienādojuma veidu, lai identificētu konkrētu atribūtu, ņemot vērā dotos nosacījumus.
3. Izveidojiet līdzvērtīgas izteiksmes, kas ietver racionālus eksponentus un radikāļus, ieskaitot vienkāršošanu vai pārveidošanu citā formā.
4. Konstruējiet algebriskās izteiksmes ekvivalentu formu.
5. Atrisiniet kvadrātvienādojumu, kuram ir racionālie koeficienti. Vienādojumu var attēlot dažādās formās.
6. Saskaitiet, atņemiet un reiziniet polinomus un vienkāršojiet rezultātu. Izteiksmēm būs racionālie koeficienti.
7. Atrisiniet vienādojumu vienā mainīgajā, kas satur radikāļus vai satur mainīgo frakcijas saucējā. Vienādojumam būs racionālie koeficienti.
8. Atrisiniet lineāro vai kvadrātvienādojumu sistēmu. Vienādojumiem būs racionālie koeficienti.
9. Vienkāršojiet vienkāršas racionālas izteiksmes. Pārbaudes dalībnieki saskaitīs, atņems, reizinās vai dala divas racionālas izteiksmes vai sadalīs divus polinomus un vienkāršos tos. Izteiksmēm būs racionālie koeficienti.
10. Interpretējiet nelineāro izteiksmju daļas to terminu izteiksmē. Pārbaudes dalībniekiem ir jāsaista dotie nosacījumi ar nelineāru vienādojumu, kas modelē šos nosacījumus.
11. Izprast attiecību starp nullēm un faktoriem polinomos un izmantot šīs zināšanas, veidojot grafikus. Pārbaudes dalībnieki izmantos polinomu īpašības, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar nullēm, piemēram, lai noteiktu, vai izteiksme ir polinoma faktors, ņemot vērā sniegto informāciju.
12. Izprast attiecības starp diviem mainīgajiem, izveidojot savienojumus starp to algebriskajām un grafiskajām izteiksmēm. Eksaminējamajam jāspēj izvēlēties grafu, kas atbilst dotajam nelineārajam vienādojumam; interpretēt grafikus vienādojumu sistēmu risināšanas kontekstā; izvēlas dotajam grafikam atbilstošu nelineāru vienādojumu; nosaka līknes vienādojumu, ņemot vērā grafikas verbālo aprakstu; identificēt lineārās funkcijas grafika galvenās iezīmes no tās vienādojuma; nosaka valdošā vienādojuma maiņas ietekmi uz grafiku.
Ko pārbauda SAT matemātikas sadaļa?
Vispārējā disciplīnas meistarība
Matemātikas tests ir iespēja parādīt, ka:
Elastīgi, precīzi, efektīvi un izmantojot risinājumu stratēģijas veikt matemātiskos uzdevumus;
- Ātri atrisiniet problēmas, nosakot un izmantojot visefektīvākās risināšanas pieejas. Tas var ietvert problēmu risināšanu, izmantojot
veikt jūsu sniegtās informācijas aizstāšanu, saīsnes vai reorganizāciju;
Konceptuālā izpratne
Jūs parādīsit savu izpratni par matemātiskajiem jēdzieniem, operācijām un attiecībām. Piemēram, jums var lūgt izveidot savienojumus starp lineāro vienādojumu īpašībām, to grafikiem un terminiem, ko tie izsaka.
Priekšmeta zināšanu pielietojums
Daudzi SAT matemātikas jautājumi ir ņemti no reālās dzīves problēmām un liek jums analizēt problēmu, noteikt tās risināšanai nepieciešamos pamatelementus, matemātiski izteikt problēmu un atrast risinājumu.
Izmantojot kalkulatoru
Kalkulatori ir svarīgi rīki matemātisko aprēķinu veikšanai. Lai sekmīgi studētu augstskolā, ir jāzina, kā un kad tās izmantot. Pārbaudes daļā Matemātikas tests-kalkulators varēsiet koncentrēties uz risinājuma meklēšanu un pašu analīzi, jo jūsu kalkulators palīdzēs ietaupīt jūsu laiku.
Tomēr kalkulators, tāpat kā jebkurš rīks, ir tikai tik gudrs, cik gudrs to izmanto. Matemātikas testā ir daži jautājumi, kuros vislabāk ir neizmantot kalkulatoru, pat ja jums tas ir atļauts. Šādās situācijās pārbaudītāji, kuri spēj domāt un spriest, visticamāk nonāks pie atbildes pirms tiem, kuri akli izmanto kalkulatoru.
Daļa Matemātikas tests bez kalkulatora ļauj viegli novērtēt jūsu vispārējās zināšanas par priekšmetu un jūsu izpratni par noteiktiem matemātikas jēdzieniem. Tas arī pārbauda zināšanas par skaitļošanas metodēm un izpratni par skaitļu jēdzieniem.
Jautājumi ar atbildēm ievietoti tabulā
Lai gan lielākā daļa jautājumu matemātikas testā ir ar atbilžu variantiem, 22 procenti ir jautājumi, uz kuriem atbildes ir iegūtas no paša testa kārtotāja aprēķiniem — tos sauc par režģiem. Tā vietā, lai izvēlētos pareizo atbildi no saraksta, jums ir jāatrisina problēmas un jāievada atbildes uz atbilžu lapas norādītajos režģos.
Atbildes ievadītas tabulā
Nevienā kolonnā atzīmējiet ne vairāk kā vienu apli;
- tiks ieskaitītas tikai tās atbildes, kas norādītas, aizpildot apli (par visu, kas rakstīts augstāk esošajos laukos, punktus nesaņemsi
apļi).
- Nav svarīgi, kurā ailē sākat ievadīt atbildes; Svarīgi, lai atbildes būtu ierakstītas režģī, tad saņemsi punktus;
- Režģī var būt tikai četras zīmes aiz komata, un tajā var pieņemt tikai pozitīvus skaitļus un nulli.
- Ja uzdevumā nav norādīts citādi, atbildes var ievadīt režģī kā decimāldaļu vai daļskaitli;
- Frakcijas, piemēram, 3/24, nav jāsamazina līdz minimālajām vērtībām;
- Pirms ierakstīšanas režģī visi jauktie skaitļi ir jāpārvērš nepareizās daļskaitļos;
- Ja atbilde ir atkārtots decimālskaitlis, studentiem ir jānosaka visprecīzākās vērtības
apsvērt.
Tālāk ir sniegts instrukciju paraugs, ko testa dalībnieki redzēs SAT matemātikas eksāmenā.
Pamatskolas matemātikas programmai papildskolai vai mājskolai vajadzētu mācīt daudz vairāk nekā vienkāršas aritmētikas “kā to darīt”. Labā matemātikas mācību programmā ir jābūt elementārām matemātikas aktivitātēm, kas veido stabilu pamatu, kas ir gan dziļš, gan plašs, konceptuāls un “kā to darīt”.
Time4Learning māca visaptverošu matemātikas mācību programmu, kas atbilst valsts standartiem. Izmantojot multivides stundu, izdrukājamu darblapu un novērtējumu kombināciju, elementārās matemātikas aktivitātes ir paredzētas, lai izveidotu stabilu matemātikas pamatu. To var izmantot kā , , vai kā bagātināšanas līdzekli.
Time4Learning nav slēptu maksu, tā piedāvā 14 dienu naudas atdošanas garantiju pilnīgi jauniem dalībniekiem un ļauj dalībniekiem jebkurā laikā sākt, pārtraukt vai pārtraukt. Izmēģiniet interaktīvo vai apskatiet mūsu, lai redzētu, kas ir pieejams.
Pamata matemātikas stratēģiju mācīšana
Bērniem jāapgūst matemātikas prasmes, izmantojot elementāras matemātikas aktivitātes, kas māca mācību programmu atbilstošā secībā, lai izveidotu stabilu pamatu panākumiem. Sāksim ar to, kas šķiet vienkāršs matemātisks fakts: 3 + 5 = 8
Šķiet, ka šis fakts ir laba matemātikas stunda, ko mācīt, ja bērns prot rēķināt. Bet, lai novērtētu jēdzienu “3 + 5 = 8”, ir nepieciešama izpratne par šiem elementārajiem matemātikas jēdzieniem:
- Daudzums– apzinoties, ka priekšmetu skaitu var saskaitīt. Daudzums ir izplatīts jēdziens neatkarīgi no tā, vai mēs skaitam pirkstus, suņus vai kokus.
- Numuru atpazīšana– skaitļu zināšana pēc nosaukuma, cipariem, attēlu attēlojuma vai priekšmetu daudzuma.
- Skaitļa nozīme– neskaidrības starp skaitļiem, kas attiecas uz daudzumu vai pozīciju secībā (kardinālie pret kārtas skaitļi).
- Operācijas– Izpratne par to, ka daudzumus var pievienot un ka šo procesu var attēlot ar attēliem, vārdiem vai cipariem.
Lai radītu ekstrēmāku ainu, mēģinājums mācīt pievienošanu ar “pārnēsāšanu”, pirms tiek iegūta stabila izpratne par vietas vērtību, ir apjukuma recepte. Tikai pēc matemātikas pamatjēdzienu apguves bērnam vajadzētu izmēģināt sarežģītākas matemātikas darbības, piemēram, saskaitīšanu. Mēģinājums mācīt elementāras matemātikas stratēģijas pirms matemātikas pamatjēdzienu apgūšanas izraisa apjukumu, radot sajūtu, ka esat apmaldījies vai vājš matemātikas jomā. Sliktas matemātikas mācību programmas dēļ bērnam var rasties slikts paštēls vai negatīvs skatījums uz matemātiku.
Ir svarīgi ieviest pamatmatemātikas mācību programmu, kurā matemātiku māca secīgi, izmantojot elementāras matemātikas aktivitātes, kas ļauj bērniem pakāpeniski veidot izpratni, prasmes un pārliecību. Kvalitatīva mācīšana un mācību programma atbilst kvalitātes secībai.
Time4Learning māca personalizētu matemātikas pamatmācību programmu, kas pielāgota jūsu bērna pašreizējam prasmju līmenim. Tas palīdz nodrošināt, ka jūsu bērnam ir stabils matemātikas pamats, pirms sākat ieviest stingrākas, sarežģītākas matemātikas pamatstratēģijas. , kas iekļauts mācību programmā, nodrošina praksi pamatprasmju jomās, kas nepieciešamas panākumiem pamatskolas laikā. Norādiet savu bērnu uz pareizā ceļa, lai uzzinātu par Time4Learning stratēģijām pamatmatemātikas mācīšanai.
Time4Learning pamatmatemātikas mācību programma
Time4Learning matemātikas mācību programmā ir ietverts plašs elementāru matemātikas darbību klāsts, kas aptver ne tikai aritmētiku, matemātikas faktus un darbības. Mūsu matemātikas pamatprogrammā ir ietvertas šīs piecas matemātikas daļas.*
- Skaitļu sajūta un darbības– Zināšanas, kā attēlot skaitļus, atpazīt “cik daudz” ir grupā, un skaitļu izmantošana salīdzināšanai un attēlošanai paver ceļu skaitļu teorijas, vietvērtības un darbību nozīmes izpratnei un to savstarpējai saistībai.
- Algebra- Spēja kārtot un sakārtot objektus vai skaitļus, kā arī atpazīt un veidot vienkāršus modeļus ir piemēri, kā bērni sāk izjust algebru. Šī elementārā matemātikas koncepcija veido pamatu darbam ar algebriskajiem mainīgajiem, kad bērna matemātikas pieredze pieaug.
- Ģeometrija un telpiskā izjūta– Bērni izmanto savas zināšanas par pamatformām, lai identificētu sarežģītākas 2-D un 3D formas, zīmējot un šķirojot. Pēc tam viņi iemācās spriest telpiski, lasīt kartes, vizualizēt objektus telpā un izmantot ģeometrisko modelēšanu, lai atrisinātu problēmas. bērni varēs izmantot koordinātu ģeometriju, lai galu galā norādītu atrašanās vietas, sniegtu norādes un aprakstītu telpiskās attiecības.
- Mērīšana– Mācīšanās, kā mērīt un salīdzināt, ietver garuma, svara, temperatūras, ietilpības un naudas jēdzienus. Laika noteikšana un naudas izmantošana ir saistīta ar skaitļu sistēmas izpratni un ir svarīga dzīves prasme.
- Datu analīze un varbūtība– Kad bērni vāc informāciju par apkārtējo pasauli, viņiem būs noderīgi parādīt un atspoguļot savas zināšanas. Diagrammu, tabulu, grafiku izmantošana palīdzēs viņiem iemācīties koplietot un kārtot datus.
Pamata matemātikas mācību programmas, kas aptver tikai vienu vai divas no šīm piecām matemātikas jomām, ir šauras un noved pie vājas izpratnes par matemātiku. Palīdziet bērnam izveidot spēcīgu, plašu matemātikas pamatu.
