Este material didático é apenas para referência e está relacionado a uma ampla variedade de tópicos. O artigo fornece uma visão geral dos gráficos de funções elementares básicas e considera a questão mais importante - como construir um gráfico corretamente e RAPIDAMENTE. No decorrer do estudo de matemática superior sem conhecimento dos gráficos das funções elementares básicas, será difícil, por isso é muito importante lembrar como são os gráficos de uma parábola, hipérbole, seno, cosseno, etc. dos significados das funções. Falaremos também sobre algumas propriedades das funções principais.

Não reivindico a completude e o rigor científico dos materiais; a ênfase será colocada, em primeiro lugar, na prática - aquelas coisas com as quais encontramos literalmente a cada passo, em qualquer tópico de matemática superior. Gráficos para manequins? Alguém poderia dizer isso.

Devido a inúmeros pedidos de leitores índice clicável:

Além disso, há uma sinopse ultracurta sobre o tema
– domine 16 tipos de gráficos estudando SEIS páginas!

Sério, seis, até eu fiquei surpreso. Este resumo contém gráficos aprimorados e está disponível por uma taxa nominal; uma versão demo pode ser visualizada. É conveniente imprimir o arquivo para que os gráficos estejam sempre à mão. Obrigado por apoiar o projeto!

E vamos começar imediatamente:

Como construir eixos coordenados corretamente?

Na prática, as provas quase sempre são realizadas pelos alunos em cadernos separados, alinhados em um quadrado. Por que você precisa de marcações xadrez? Afinal, o trabalho, a princípio, pode ser feito em folhas A4. E a gaiola é necessária apenas para projetos de desenhos precisos e de alta qualidade.

Qualquer desenho de um gráfico de função começa com eixos coordenados.

Os desenhos podem ser bidimensionais ou tridimensionais.

Vamos primeiro considerar o caso bidimensional Sistema de coordenadas retangulares cartesianas:

1) Desenhe eixos coordenados. O eixo é chamado eixo x , e o eixo é eixo y . Nós sempre tentamos desenhá-los limpo e não torto. As flechas também não devem se parecer com a barba do Papa Carlo.

2) Assinamos os eixos com letras grandes “X” e “Y”. Não se esqueça de rotular os eixos.

3) Defina a escala ao longo dos eixos: desenhe um zero e dois uns. Ao fazer um desenho, a escala mais conveniente e frequentemente utilizada é: 1 unidade = 2 células (desenho à esquerda) - se possível, siga-a. Porém, de vez em quando acontece que o desenho não cabe na folha do caderno - então reduzimos a escala: 1 unidade = 1 célula (desenho à direita). É raro, mas acontece que a escala do desenho tem que ser reduzida (ou aumentada) ainda mais

NÃO HÁ NECESSIDADE de “metralhadora”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Pois o plano coordenado não é um monumento a Descartes, e o aluno não é uma pomba. Nós colocamos zero E duas unidades ao longo dos eixos. Às vezes em vez de unidades, é conveniente “marcar” outros valores, por exemplo, “dois” no eixo das abcissas e “três” no eixo das ordenadas - e este sistema (0, 2 e 3) também definirá de forma única a grade de coordenadas.

É melhor estimar as dimensões estimadas do desenho ANTES de construir o desenho. Assim, por exemplo, se a tarefa requer desenhar um triângulo com vértices , , , então é completamente claro que a escala popular de 1 unidade = 2 células não funcionará. Por que? Vejamos a questão - aqui você terá que medir quinze centímetros para baixo e, obviamente, o desenho não caberá (ou mal caberá) em uma folha de caderno. Portanto, selecionamos imediatamente uma escala menor: 1 unidade = 1 célula.

Aliás, cerca de centímetros e células de notebook. É verdade que 30 células de notebook contêm 15 centímetros? Para se divertir, meça 15 centímetros em seu caderno com uma régua. Na URSS isso pode ter sido verdade... É interessante notar que se você medir esses mesmos centímetros na horizontal e na vertical, os resultados (nas células) serão diferentes! A rigor, os notebooks modernos não são xadrez, mas sim retangulares. Isso pode parecer um absurdo, mas desenhar, por exemplo, um círculo com um compasso em tais situações é muito inconveniente. Para ser sincero, nesses momentos você começa a pensar na correção do camarada Stalin, que foi enviado a campos para hackear a produção, sem falar na indústria automobilística nacional, na queda de aviões ou na explosão de usinas de energia.

Falando em qualidade, ou uma breve recomendação sobre papelaria. Hoje, a maioria dos notebooks à venda são, para dizer o mínimo, uma porcaria completa. Porque ficam molhados, e não só com canetas de gel, mas também com canetas esferográficas! Eles economizam dinheiro no papel. Para realizar os testes, recomendo usar cadernos da Fábrica de Papel e Celulose de Arkhangelsk (18 folhas, quadradas) ou “Pyaterochka”, embora seja mais caro. É aconselhável escolher uma caneta de gel; mesmo o refil de gel chinês mais barato é muito melhor do que uma caneta esferográfica, que mancha ou rasga o papel. A única caneta esferográfica “competitiva” de que me lembro é a Erich Krause. Ela escreve de forma clara, bonita e consistente – seja com o núcleo cheio ou quase vazio.

Adicionalmente: A visão de um sistema de coordenadas retangulares através dos olhos da geometria analítica é abordada no artigo (não) dependência linear de vetores. Base de vetores, informações detalhadas sobre os trimestres de coordenadas podem ser encontradas no segundo parágrafo da lição Desigualdades lineares.

Caso 3D

É quase a mesma coisa aqui.

1) Desenhe eixos coordenados. Padrão: eixo aplicado – direcionado para cima, eixo – direcionado para a direita, eixo – direcionado para baixo para a esquerda estritamente em um ângulo de 45 graus.

2) Rotule os eixos.

3) Defina a escala ao longo dos eixos. A escala ao longo do eixo é duas vezes menor que a escala ao longo dos outros eixos. Observe também que no desenho à direita usei um "entalhe" não padrão ao longo do eixo (esta possibilidade já foi mencionada acima). Do meu ponto de vista, isso é mais preciso, rápido e esteticamente mais agradável - não há necessidade de procurar o meio da célula no microscópio e “esculpir” uma unidade próxima à origem das coordenadas.

Ao fazer um desenho 3D, novamente, dê prioridade à escala
1 unidade = 2 células (desenho à esquerda).

Para que servem todas essas regras? Regras são feitas para serem quebradas. Isso é o que farei agora. O fato é que os desenhos subsequentes do artigo serão feitos por mim no Excel, e os eixos coordenados parecerão incorretos do ponto de vista do desenho correto. Eu poderia desenhar todos os gráficos à mão, mas na verdade é assustador desenhá-los, pois o Excel reluta em desenhá-los com muito mais precisão.

Gráficos e propriedades básicas de funções elementares

Uma função linear é dada pela equação. O gráfico de funções lineares é direto. Para construir uma linha reta basta conhecer dois pontos.

Exemplo 1

Construa um gráfico da função. Vamos encontrar dois pontos. É vantajoso escolher zero como um dos pontos.

Se então

Tomemos outro ponto, por exemplo, 1.

Se então

Ao completar tarefas, as coordenadas dos pontos geralmente são resumidas em uma tabela:

E os próprios valores são calculados oralmente ou em um rascunho, uma calculadora.

Foram encontrados dois pontos, vamos fazer o desenho:

Na hora de preparar um desenho sempre assinamos os gráficos.

Seria útil recordar casos especiais de uma função linear:

Observe como coloquei as assinaturas, as assinaturas não devem permitir discrepâncias ao estudar o desenho. Nesse caso, era extremamente indesejável colocar uma assinatura próximo ao ponto de intersecção das linhas, ou no canto inferior direito entre os gráficos.

1) Uma função linear da forma () é chamada de proporcionalidade direta. Por exemplo, . Um gráfico de proporcionalidade direta sempre passa pela origem. Assim, construir uma linha reta fica simplificado - basta encontrar apenas um ponto.

2) Uma equação da forma especifica uma linha reta paralela ao eixo, em particular, o próprio eixo é dado pela equação. O gráfico da função é traçado imediatamente, sem encontrar nenhum ponto. Ou seja, o verbete deve ser entendido da seguinte forma: “o y é sempre igual a –4, para qualquer valor de x”.

3) Uma equação da forma especifica uma linha reta paralela ao eixo, em particular, o próprio eixo é dado pela equação. O gráfico da função também é traçado imediatamente. A entrada deve ser entendida da seguinte forma: “x é sempre, para qualquer valor de y, igual a 1”.

Alguns perguntarão, por que lembrar da 6ª série?! É assim, talvez seja assim, mas ao longo dos anos de prática conheci uma boa dúzia de estudantes que ficaram perplexos com a tarefa de construir um gráfico como ou.

Construir uma linha reta é a ação mais comum na hora de fazer desenhos.

A reta é discutida detalhadamente no curso de geometria analítica, e os interessados ​​​​podem consultar o artigo Equação de uma linha reta em um plano.

Gráfico de uma função quadrática cúbica, gráfico de um polinômio

Parábola. Gráfico de uma função quadrática () representa uma parábola. Considere o famoso caso:

Vamos relembrar algumas propriedades da função.

Então, a solução da nossa equação: – é neste ponto que se localiza o vértice da parábola. Por que isso acontece pode ser aprendido no artigo teórico sobre a derivada e na lição sobre os extremos da função. Enquanto isso, vamos calcular o valor “Y” correspondente:

Assim, o vértice está no ponto

Agora encontramos outros pontos, usando descaradamente a simetria da parábola. Deve-se notar que a função – não é mesmo, mas, mesmo assim, ninguém cancelou a simetria da parábola.

Em que ordem encontrar os pontos restantes, acho que ficará claro na mesa final:

Este algoritmo de construção pode ser chamado figurativamente de “lançador” ou princípio de “ida e volta” com Anfisa Chekhova.

Vamos fazer o desenho:

Dos gráficos examinados, outro recurso útil vem à mente:

Para uma função quadrática () o seguinte é verdadeiro:

Se , então os ramos da parábola são direcionados para cima.

Se , então os ramos da parábola são direcionados para baixo.

Conhecimento aprofundado sobre a curva pode ser obtido na lição Hipérbole e parábola.

Uma parábola cúbica é dada pela função. Aqui está um desenho familiar da escola:

Vamos listar as principais propriedades da função

Gráfico de uma função

Representa um dos ramos de uma parábola. Vamos fazer o desenho:

Principais propriedades da função:

Neste caso, o eixo é assíntota vertical para o gráfico de uma hipérbole em .

Seria um erro GROSSEIRO se, ao traçar um desenho, você permitisse descuidadamente que o gráfico se cruzasse com uma assíntota.

Além disso, os limites unilaterais nos dizem que a hipérbole não limitado de cima E não limitado por baixo.

Vamos examinar a função no infinito: , ou seja, se começarmos a nos mover ao longo do eixo para a esquerda (ou para a direita) até o infinito, então os “jogos” ocorrerão em um passo ordenado infinitamente perto se aproxima de zero e, consequentemente, os ramos da hipérbole infinitamente perto aproximar-se do eixo.

Então o eixo é assíntota horizontal para o gráfico de uma função, se “x” tende para mais ou menos infinito.

A função é chance, e, portanto, a hipérbole é simétrica em relação à origem. Este fato fica evidente no desenho, além disso, é facilmente verificado analiticamente: .

O gráfico de uma função da forma () representa dois ramos de uma hipérbole.

Se , então a hipérbole está localizada no primeiro e terceiro trimestres de coordenadas(veja a imagem acima).

Se , então a hipérbole está localizada no segundo e quarto trimestres de coordenadas.

O padrão indicado de residência da hipérbole é fácil de analisar do ponto de vista das transformações geométricas dos gráficos.

Exemplo 3

Construa o ramo direito da hipérbole

Usamos o método de construção pontual, e é vantajoso selecionar os valores para que sejam divisíveis por um todo:

Vamos fazer o desenho:

Não será difícil construir o ramo esquerdo da hipérbole; a estranheza da função ajudará aqui. Grosso modo, na tabela de construção pontual, adicionamos mentalmente um sinal de menos a cada número, colocamos os pontos correspondentes e desenhamos o segundo ramo.

Informações geométricas detalhadas sobre a reta considerada podem ser encontradas no artigo Hipérbole e parábola.

Gráfico de uma função exponencial

Nesta seção considerarei imediatamente a função exponencial, pois em problemas de matemática superior em 95% dos casos é a exponencial que aparece.

Deixe-me lembrar que este é um número irracional: , isso será necessário na construção de um gráfico, que, na verdade, construirei sem cerimônia. Três pontos provavelmente são suficientes:

Vamos deixar o gráfico da função de lado por enquanto, falaremos mais sobre isso mais tarde.

Principais propriedades da função:

Gráficos de funções, etc., parecem fundamentalmente iguais.

Devo dizer que o segundo caso ocorre com menos frequência na prática, mas ocorre, por isso considerei necessário incluí-lo neste artigo.

Gráfico de uma função logarítmica

Considere uma função com logaritmo natural.
Vamos fazer um desenho ponto a ponto:

Se você esqueceu o que é um logaritmo, consulte os livros escolares.

Principais propriedades da função:

Domínio:

Faixa de valores: .

A função não é limitada por cima: , embora lentamente, mas o ramo do logaritmo sobe até o infinito.
Vamos examinar o comportamento da função perto de zero à direita: . Então o eixo é assíntota vertical para o gráfico de uma função como “x” tende a zero à direita.

É imperativo conhecer e lembrar o valor típico do logaritmo: .

Em princípio, o gráfico do logaritmo na base parece o mesmo: , , (logaritmo decimal na base 10), etc. Além disso, quanto maior a base, mais plano será o gráfico.

Não consideraremos o caso; não me lembro da última vez que construí um gráfico com tal base. E o logaritmo parece ser um convidado muito raro em problemas de matemática superior.

No final deste parágrafo direi mais um fato: Função exponencial e função logarítmica– estas são duas funções mutuamente inversas. Se você olhar atentamente para o gráfico do logaritmo, verá que este é o mesmo expoente, apenas está localizado de forma um pouco diferente.

Gráficos de funções trigonométricas

Onde começa o tormento trigonométrico na escola? Certo. Do seno

Vamos traçar a função

Esta linha é chamada sinusóide.

Deixe-me lembrá-lo de que “pi” é um número irracional: e em trigonometria faz seus olhos deslumbrarem.

Principais propriedades da função:

Esta função é periódico com ponto final. O que isso significa? Vejamos o segmento. À esquerda e à direita, exatamente a mesma parte do gráfico é repetida indefinidamente.

Domínio: , ou seja, para qualquer valor de “x” existe um valor seno.

Faixa de valores: . A função é limitado: , ou seja, todos os “jogos” ficam estritamente no segmento .
Isso não acontece: ou, mais precisamente, acontece, mas essas equações não têm solução.

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Funções elementares e seus gráficos

Direto proporcionalidade. Função linear.

Proporcionalidade inversa. Hipérbole.

Função quadrática. Parábola quadrada.

Função liga-desliga. Função exponencial.

Função logarítmica. Funções trigonométricas.

Funções trigonométricas inversas.

1.	Quantidades proporcionais. Se as variáveis sim E x diretamente proporcional, então a relação funcional entre eles é expressa pela equação: sim = k x, Onde k- valor constante ( fator de proporcionalidade). Agendar direto proporcionalidade– uma linha reta que passa pela origem das coordenadas e forma uma linha com o eixo Xângulo cuja tangente é igual a k: bronzeado = k(Fig. 8). Portanto, o coeficiente de proporcionalidade também é chamado declive. A Figura 8 mostra três gráficos para k = 1/3, k= 1 e k = 3 .
2.	Função linear. Se as variáveis sim E x estão relacionados pela equação do 1º grau: A x + B y = C , onde pelo menos um dos números A ou B não é igual a zero, então o gráfico desta dependência funcional é linha reta. Se C= 0, então passa pela origem, caso contrário não passa. Gráficos de funções lineares para várias combinações A,B,C são mostrados na Fig.9.
3.	Reverter proporcionalidade. Se as variáveis sim E x voltar proporcional, então a relação funcional entre eles é expressa pela equação: sim = k / x, Onde k- valor constante. Gráfico proporcional inverso – hipérbole (Fig. 10). Esta curva tem dois ramos. As hipérboles são obtidas quando um cone circular intercepta um plano (para seções cônicas, consulte a seção “Cone” no capítulo “Estereometria”). Conforme mostrado na Fig. 10, o produto das coordenadas dos pontos da hipérbole é um valor constante, no nosso exemplo igual a 1. No caso geral, este valor é igual a k, que segue da equação da hipérbole: xy = k. Principais características e propriedades de uma hipérbole: Escopo da função: x 0, intervalo: sim 0 ; A função é monotônica (decrescente) em x< 0 e em x> 0, mas não geral monotônico devido ao ponto de interrupção x= 0 (pense por quê?); Função ilimitada, descontínua em um ponto x= 0, ímpar, não periódico; - A função não tem zeros.
4.	Função quadrática. Esta é a função: sim = machado 2 + bx + c, Onde a, b, c- permanente, a 0. No caso mais simples temos: b=c= 0 e sim = machado 2. Gráfico desta função parábola quadrada - uma curva que passa pela origem das coordenadas (Fig. 11). Toda parábola tem um eixo de simetria OI, que é chamado o eixo da parábola. Ponto Ó a intersecção de uma parábola com seu eixo é chamada o vértice da parábola. Gráfico de uma função sim = machado 2 + bx + c- também uma parábola quadrada do mesmo tipo que sim = machado 2, mas seu vértice não está na origem, mas em um ponto com coordenadas: A forma e a localização de uma parábola quadrada no sistema de coordenadas dependem inteiramente de dois parâmetros: o coeficiente a no x 2 e discriminante D:D = b 2 – 4ac. Estas propriedades decorrem da análise das raízes de uma equação quadrática (ver a seção correspondente no capítulo “Álgebra”). Todos os diferentes casos possíveis para uma parábola quadrada são mostrados na Fig.

Por favor, desenhe uma parábola quadrada para o caso a > 0, D > 0 .

Principais características e propriedades de uma parábola quadrada:

Escopo da função:  < x+ (ou seja, x R ) e a área

valores: … (Por favor, responda você mesmo a esta pergunta!);

A função como um todo não é monotônica, mas à direita ou à esquerda do vértice

se comporta como monótono;

A função é ilimitada, contínua em todos os lugares, mesmo quando b = c = 0,

e não periódico;

- no D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Função liga-desliga. Esta é a função: y = machado n, Onde um– permanente. No n= 1 obtemos proporcionalidade direta: sim=machado; no n = 2 - parábola quadrada; no n = 1 - proporcionalidade inversa ou hipérbole. Assim, estas funções são casos especiais da função potência. Sabemos que a potência zero de qualquer número diferente de zero é 1, portanto, quando n= 0 a função de potência se transforma em um valor constante: sim= a, ou seja seu gráfico é uma reta paralela ao eixo X, excluindo a origem (explique por quê?). Todos estes casos (com a= 1) são mostrados na Fig. 13 ( n 0) e Figura 14 ( n < 0). Отрицательные значения x não são abordadas aqui, desde então algumas funções: Se n– inteiro, funções de potência fazem sentido mesmo quando x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n número par ou ímpar. A Figura 15 mostra duas dessas funções de potência: para n= 2 e n = 3. No n= 2 a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo S. No n= 3 a função é ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem. Função sim = x 3 é chamado parábola cúbica. A Figura 16 mostra a função. Esta função é o inverso da parábola quadrada sim = x 2, seu gráfico é obtido girando o gráfico de uma parábola quadrada em torno da bissetriz do 1º ângulo coordenadoEsta é uma forma de obter o gráfico de qualquer função inversa a partir do gráfico de sua função original. Vemos no gráfico que esta é uma função de dois valores (isso também é indicado pelo sinal  na frente da raiz quadrada). Tais funções não são estudadas na matemática elementar, portanto, como função, geralmente consideramos um de seus ramos: superior ou inferior.
6.	Indicativo função. Função sim = a x, Onde a- um número constante positivo é chamado função exponencial. Argumento x aceita quaisquer valores válidos; funções são consideradas como valores apenas números positivos, caso contrário, teremos uma função com vários valores. Sim, a função sim = 81 x tem em x= 1/4 quatro valores diferentes: sim = 3, sim = 3, sim = 3 eu E sim = 3 eu(Verifique, por favor!). Mas consideramos como valor da função apenas sim= 3. Gráficos da função exponencial para a= 2 e a= 1/2 são apresentados na Fig. Eles passam pelo ponto (0, 1). No a= 1 temos um gráfico de uma reta paralela ao eixo X, ou seja a função se transforma em um valor constante igual a 1. Quando a> 1 a função exponencial aumenta, e em 0< a < 1 – убывает. Principais características e propriedades da função exponencial:  < x+ (ou seja, x R ); faixa: sim> 0 ; A função é monotônica: aumenta com a> 1 e diminui em 0< a < 1; - A função não tem zeros.
7.	Função logarítmica. Função sim=registro a x, Onde a– um número positivo constante, diferente de 1 é chamado logarítmico. Esta função é o inverso da função exponencial; seu gráfico (Fig. 18) pode ser obtido girando o gráfico da função exponencial em torno da bissetriz do 1º ângulo coordenado. Principais características e propriedades da função logarítmica: Escopo da função: x> 0, e a faixa de valores:  < sim+ (ou seja, sim R ); Esta é uma função monotônica: ela aumenta à medida que a> 1 e diminui em 0< a < 1; A função é ilimitada, contínua em todos os lugares, não periódica; A função tem um zero: x = 1.
8.	Funções trigonométricas. Ao construir funções trigonométricas, usamos radiano medida de ângulos. Então a função sim= pecado xé representado por um gráfico (Fig. 19). Esta curva é chamada sinusóide. Gráfico de uma função sim=porque x apresentado na Figura 20; esta também é uma onda senoidal resultante do movimento do gráfico sim= pecado x ao longo do eixo X para a esquerda em 2 A partir desses gráficos, as características e propriedades dessas funções são óbvias: Domínio:  < x+  faixa de valores: -1 sim +1; Estas funções são periódicas: seu período é 2; Funções limitadas (| sim| , contínuo em todos os lugares, não monotônico, mas tendo o chamado intervalos monotonia, dentro do qual estão comportam-se como funções monotônicas (ver gráficos na Fig. 19 e Fig. 20); As funções têm um número infinito de zeros (para mais detalhes, consulte a seção "Equações trigonométricas"). Gráficos de funções sim= bronzeado x E sim=berço x são mostrados na Fig. 21 e Fig. 22, respectivamente. A partir dos gráficos fica claro que essas funções são: periódicas (seu período , ilimitado, geralmente não monotônico, mas tem intervalos de monotonicidade (quais?), descontínuos (quais pontos de descontinuidade essas funções possuem?). Região definições e intervalo de valores dessas funções:
9.	Funções trigonométricas inversas. Definições de inverso funções trigonométricas e suas principais propriedades são dadas em seção de mesmo nome no capítulo “Trigonometria”. Portanto, aqui nos limitaremos apenas breves comentários sobre seus gráficos recebidos girando os gráficos das funções trigonométricas em torno da bissetriz do primeiro ângulo coordenado.

Funções sim= Arcino x(Fig.23) e sim= Arcos x(Fig.24) multivalorado, ilimitado; seu domínio de definição e faixa de valores, respectivamente: 1 x+1 e  < sim+ . Como essas funções têm valores múltiplos, não

considerados na matemática elementar, seus principais valores são considerados como funções trigonométricas inversas: sim= arco seno x E sim= arcos x; seus gráficos estão destacados na Fig. 23 e Fig. 24 com linhas grossas.

Funções sim= arco seno x E sim= arcos x possuem as seguintes características e propriedades:

Ambas as funções têm o mesmo domínio de definição: 1 x +1 ;

seus intervalos: /2 sim/2 para sim= arco seno x e 0 sim Para sim= arcos x;

(sim= arco seno x– função crescente; sim= arcos x- diminuindo);

Cada função tem um zero ( x= 0 para função sim= arco seno x E

x= 1 para função sim= arcos x).

Funções sim= Arctano x(Fig.25) e sim= Arco x (Fig.26) - funções ilimitadas e de vários valores; seu domínio de definição:  x+ . Seus principais significados sim= arctano x E sim= arco x são consideradas funções trigonométricas inversas; seus gráficos estão destacados na Fig. 25 e Fig. 26 com ramificações em negrito.

Funções sim= arctano x E sim= arco x possuem as seguintes características e propriedades:

Ambas as funções têm o mesmo domínio de definição:  x + ;

seus intervalos: /2 <sim < /2 для sim= arctano x e 0< sim < для sim= arcos x;

As funções são limitadas, não periódicas, contínuas e monotônicas

(sim= arctano x– função crescente; sim= arco x- diminuindo);

Função apenas sim= arctano x tem um único zero ( x = 0);

função sim = arco x não tem zeros.

Conhecimento funções elementares básicas, suas propriedades e gráficos não menos importante do que conhecer a tabuada. Eles são como o alicerce, tudo se baseia neles, tudo se constrói a partir deles e tudo se resume a eles.

Neste artigo listaremos todas as principais funções elementares, forneceremos seus gráficos e daremos sem conclusão ou prova propriedades de funções elementares básicas de acordo com o esquema:

• comportamento de uma função nos limites do domínio de definição, assíntotas verticais (se necessário, ver o artigo classificação dos pontos de descontinuidade de uma função);
• par e impar;
• intervalos de convexidade (convexidade para cima) e concavidade (convexidade para baixo), pontos de inflexão (se necessário, ver o artigo convexidade de uma função, direção da convexidade, pontos de inflexão, condições de convexidade e inflexão);
• assíntotas oblíquas e horizontais;
• pontos singulares de funções;
• propriedades especiais de algumas funções (por exemplo, o menor período positivo de funções trigonométricas).

Se você estiver interessado em ou, poderá ir para estas seções da teoria.

Funções elementares básicas são: função constante (constante), raiz enésima, função potência, exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas e trigonométricas inversas.

Navegação na página.

Função permanente.

Uma função constante é definida no conjunto de todos os números reais pela fórmula, onde C é algum número real. Uma função constante associa cada valor real da variável independente x ao mesmo valor da variável dependente y - o valor C. Uma função constante também é chamada de constante.

O gráfico de uma função constante é uma linha reta paralela ao eixo x e passando pelo ponto com coordenadas (0,C). Como exemplo, mostraremos gráficos das funções constantes y=5, y=-2 e, que na figura abaixo correspondem às linhas preta, vermelha e azul, respectivamente.

Propriedades de uma função constante.

• Domínio: todo o conjunto dos números reais.
• A função constante é par.
• Faixa de valores: conjunto constituído pelo número singular C.
• Uma função constante não é crescente nem decrescente (é por isso que é constante).
• Não faz sentido falar em convexidade e concavidade de uma constante.
• Não existem assíntotas.
• A função passa pelo ponto (0,C) do plano de coordenadas.

Raiz do enésimo grau.

Consideremos a função elementar básica, que é dada pela fórmula , onde n é um número natural maior que um.

Raiz do enésimo grau, n é um número par.

Vamos começar com a enésima função raiz para valores pares do expoente raiz n.

Por exemplo, aqui está uma imagem com imagens de gráficos de funções e , correspondem às linhas pretas, vermelhas e azuis.

Os gráficos de funções raiz de graus pares têm uma aparência semelhante para outros valores do expoente.

Propriedades da enésima função raiz para n par.

A enésima raiz, n é um número ímpar.

A enésima função raiz com um expoente raiz ímpar n é definida em todo o conjunto de números reais. Por exemplo, aqui estão os gráficos de funções e , correspondem às curvas preta, vermelha e azul.

Para outros valores ímpares do expoente raiz, os gráficos das funções terão uma aparência semelhante.

Propriedades da enésima função raiz para n ímpar.

Função liga-desliga.

A função potência é dada por uma fórmula da forma.

Vamos considerar a forma dos gráficos de uma função potência e as propriedades de uma função potência dependendo do valor do expoente.

Vamos começar com uma função de potência com um expoente inteiro a. Neste caso, o aparecimento dos gráficos das funções de potência e as propriedades das funções dependem da paridade ou imparcialidade do expoente, bem como do seu sinal. Portanto, consideraremos primeiro funções de potência para valores positivos ímpares do expoente a, depois para expoentes positivos pares, depois para expoentes negativos ímpares e, finalmente, para a negativo par.

As propriedades das funções de potência com expoentes fracionários e irracionais (bem como o tipo de gráficos de tais funções de potência) dependem do valor do expoente a. Iremos considerá-los, em primeiro lugar, para a de zero a um, em segundo lugar, para um maior que um, em terceiro lugar, para a de menos um a zero, em quarto lugar, para um menor que menos um.

No final desta seção, para completar, descreveremos uma função de potência com expoente zero.

Função de potência com expoente positivo ímpar.

Vamos considerar uma função potência com expoente positivo ímpar, ou seja, com a = 1,3,5,....

A figura abaixo mostra gráficos de funções de potência – linha preta, – linha azul, – linha vermelha, – linha verde. Para a=1 temos Função linear y=x.

Propriedades de uma função potência com um expoente positivo ímpar.

Função de potência com expoente positivo par.

Vamos considerar uma função potência com expoente par positivo, ou seja, para a = 2,4,6,....

Como exemplo, damos gráficos de funções de potência – linha preta, – linha azul, – linha vermelha. Para a=2 temos uma função quadrática, cujo gráfico é parábola quadrática.

Propriedades de uma função de potência com um expoente positivo par.

Função de potência com expoente negativo ímpar.

Observe os gráficos da função potência para valores negativos ímpares do expoente, ou seja, para a = -1, -3, -5,....

A figura mostra gráficos de funções de potência como exemplos - linha preta, - linha azul, - linha vermelha, - linha verde. Para a=-1 temos proporcionalidade inversa, cujo gráfico é hipérbole.

Propriedades de uma função de potência com um expoente negativo ímpar.

Função de potência com expoente negativo par.

Vamos passar para a função de potência para a=-2,-4,-6,….

A figura mostra gráficos de funções de potência – linha preta, – linha azul, – linha vermelha.

Propriedades de uma função de potência com um expoente negativo par.

Uma função de potência com um expoente racional ou irracional cujo valor é maior que zero e menor que um.

Observação! Se a é uma fração positiva com denominador ímpar, então alguns autores consideram o domínio de definição da função potência como o intervalo. Estipula-se que o expoente a é uma fração irredutível. Agora, os autores de muitos livros didáticos sobre álgebra e princípios de análise NÃO DEFINEM funções de potência com um expoente na forma de uma fração com um denominador ímpar para valores negativos do argumento. Aderiremos justamente a esta visão, ou seja, consideraremos o conjunto como os domínios de definição de funções de potência com expoentes fracionários positivos. Recomendamos que os alunos conheçam a opinião do seu professor sobre este ponto sutil para evitar desentendimentos.

Vamos considerar uma função de potência com um expoente racional ou irracional a, e.

Vamos apresentar gráficos de funções de potência para a=11/12 (linha preta), a=5/7 (linha vermelha), (linha azul), a=2/5 (linha verde).

Uma função de potência com um expoente racional ou irracional não inteiro maior que um.

Vamos considerar uma função de potência com um expoente racional ou irracional não inteiro a, e.

Apresentamos gráficos de funções de potência dadas pelas fórmulas (linhas preta, vermelha, azul e verde respectivamente).

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Para outros valores do expoente a, os gráficos da função terão aparência semelhante.

Propriedades da função potência em .

Uma função de potência com um expoente real maior que menos um e menor que zero.

Observação! Se a é uma fração negativa com denominador ímpar, então alguns autores consideram o domínio de definição de uma função de potência como o intervalo . Estipula-se que o expoente a é uma fração irredutível. Agora, os autores de muitos livros didáticos sobre álgebra e princípios de análise NÃO DEFINEM funções de potência com um expoente na forma de uma fração com um denominador ímpar para valores negativos do argumento. Aderiremos justamente a esta visão, ou seja, consideraremos como um conjunto os domínios de definição de funções de potência com expoentes fracionários negativos fracionários, respectivamente. Recomendamos que os alunos conheçam a opinião do seu professor sobre este ponto sutil para evitar desentendimentos.

Vamos passar para a função de potência, kgod.

Para se ter uma boa ideia da forma dos gráficos de funções de potência para , damos exemplos de gráficos de funções (curvas preta, vermelha, azul e verde, respectivamente).

Propriedades de uma função de potência com expoente a, .

Uma função de potência com um expoente real não inteiro menor que menos um.

Vamos dar exemplos de gráficos de funções de potência para , eles são representados por linhas pretas, vermelhas, azuis e verdes, respectivamente.

Propriedades de uma função de potência com um expoente negativo não inteiro menor que menos um.

Quando a = 0, temos uma função - esta é uma linha reta da qual o ponto (0;1) é excluído (foi acordado não atribuir qualquer significado à expressão 0 0).

Função exponencial.

Uma das principais funções elementares é a função exponencial.

O gráfico da função exponencial, onde e assume diferentes formas dependendo do valor da base a. Vamos descobrir isso.

Primeiro, considere o caso em que a base da função exponencial assume um valor de zero a um, ou seja, .

Como exemplo, apresentamos gráficos da função exponencial para a = 1/2 – linha azul, a = 5/6 – linha vermelha. Os gráficos da função exponencial têm aparência semelhante para outros valores da base do intervalo.

Propriedades de uma função exponencial com base menor que um.

Passemos ao caso em que a base da função exponencial é maior que um, ou seja, .

A título de ilustração, apresentamos gráficos de funções exponenciais - linha azul e - linha vermelha. Para outros valores da base maiores que um, os gráficos da função exponencial terão aparência semelhante.

Propriedades de uma função exponencial com base maior que um.

Função logarítmica.

A próxima função elementar básica é a função logarítmica, onde , . A função logarítmica é definida apenas para valores positivos do argumento, ou seja, para .

O gráfico de uma função logarítmica assume diferentes formas dependendo do valor da base a.