é dado, ou seja, conhecido, se para cada valor do número possível de argumentos se puder descobrir o valor correspondente da função. Os três mais comuns maneira de especificar uma função: tabular, gráfico, analítico, existem também métodos verbais e recursivos.
1. Método tabular o mais utilizado (tabelas de logaritmos, raízes quadradas), sua principal vantagem é a possibilidade de obter o valor numérico de uma função, as desvantagens são que a tabela pode ser difícil de ler e às vezes não contém valores intermediários do argumento.
Por exemplo:
|
x |
||||
|
sim |
Argumento X pega os valores especificados na tabela, e noé determinado de acordo com este argumento X.
2. Método gráfico consiste em traçar uma linha (gráfico) em que as abcissas representam os valores do argumento e as ordenadas representam os valores correspondentes da função. Freqüentemente, para maior clareza, as escalas nos eixos são consideradas diferentes.
Por exemplo: encontrar dentro do cronograma no, que corresponde a x = 2,5é necessário traçar uma perpendicular ao eixo X na marca 2,5 . A marca pode ser feita com bastante precisão usando uma régua. Então descobriremos que em X = 2,5 noé igual a 7,5 , no entanto, se precisarmos encontrar o valor no no X igual 2,76 , então o método gráfico de especificação da função não será preciso o suficiente, porque A régua não permite medições tão precisas.
As vantagens deste método de especificação de funções são a facilidade e integridade da percepção, a continuidade das mudanças no argumento; a desvantagem é o reduzido grau de precisão e a dificuldade de obtenção de valores precisos.
3. Método Analítico consiste em especificar uma função por uma ou mais fórmulas. A principal vantagem deste método é a alta precisão na determinação da função do argumento de interesse, mas a desvantagem é o tempo necessário para realizar operações matemáticas adicionais.
Por exemplo:
A função pode ser especificada usando uma fórmula matemática e =x2, então se Xé igual a 2 , Que noé igual a 4, estamos construindo X em um quadrado.
4. Método verbal consiste em especificar uma função em linguagem comum, ou seja, palavras. Neste caso, é necessário fornecer os valores de entrada, saída e a correspondência entre eles.
Por exemplo:
Você pode especificar verbalmente uma função (tarefa) que é aceita como argumento natural X com o valor correspondente da soma dos dígitos que compõem o valor no. Esclareçamos: se Xé igual a 4 , Que noé igual a 4 , e se Xé igual a 358 , Que no igual à soma 3 + 5 + 8 , ou seja 16 . Mais semelhante.
5. Maneira recursiva consiste em especificar uma função através de si mesmo, enquanto valores de função são determinados através de seus outros valores. Este método de especificação de uma função é usado na especificação de conjuntos e séries.
Por exemplo:
Durante a decomposição Números de Euleré dado pela função:
Sua abreviatura é dada abaixo:
Ao calcular diretamente, ocorre uma recursão infinita, mas pode-se provar que o valor f(n) com o aumento n tende à unidade (portanto, apesar do infinito da série, o valor Números de Euler Certamente). Para um cálculo aproximado do valor e basta limitar artificialmente a profundidade da recursão a um determinado número previamente dado e, ao alcançá-lo, utilizá-lo f(n) unidade.
Conceito de função Métodos de especificação de uma função Exemplos de funções Definição analítica de uma função Método gráfico de especificação de uma função Limite de uma função em um ponto Método tabular de especificação de uma função teorema sobre limites exclusividade de um limite limitação de uma função tendo um limite transição para um limite em uma desigualdade Limite de uma função no infinito Funções infinitesimais Propriedades de funções infinitesimais
O conceito de função é básico e inicial, assim como o conceito de conjunto. Seja X algum conjunto de números reais x. Se cada x € X, de acordo com alguma lei, está associado a um certo número real y, então dizem que uma função é dada no conjunto X e escrevem A função assim introduzida é chamada numérica. Neste caso, o conjunto X é chamado de domínio de definição da função, e a variável independente x é chamada de argumento. Para indicar uma função, às vezes usam apenas o símbolo que denota a lei da correspondência, ou seja, em vez de f(x) n e bobo simplesmente /. Assim, uma função é especificada se 1) o domínio de definição 2) a regra / for especificada, que atribui a cada valor a: € X um certo número y = /(x) - o valor da função correspondente a este valor de o argumento x. As funções / e g são chamadas iguais se seus domínios coincidem e a igualdade f(x) = g(x) é verdadeira para qualquer valor do argumento x de seu domínio comum de definição. Assim, as funções y não são iguais; eles são iguais apenas no intervalo [O, I]. Exemplos de funções. 1. A sequência (o„) é função de um argumento inteiro, definido no conjunto dos números naturais, tal que /(n) = an (n = 1,2,...). 2. Função y=n? (leia-se “en-fatorial”). Dado no conjunto dos números naturais: cada número natural n está associado ao produto de todos os números naturais de 1 a n inclusive: e por convenção assumimos 0! = 1. O sinal de designação vem da palavra latina signum - sinal. Esta função é definida em toda a reta numérica; seu conjunto de valores consiste em três números -1,0, I (Fig. 1). y = |x), onde (x) denota a parte inteira do número real x, ou seja, [x| - o maior inteiro não superior a Read: -y é igual a antie x” (francês entier). Esta função é especificada em toda a reta numérica, e o conjunto de todos os seus valores consiste em inteiros (Fig. 2). Métodos de especificação de uma função Especificação analítica de uma função Uma função y = f(x) é considerada especificada analiticamente se for determinada usando uma fórmula que indica quais ações devem ser executadas em cada valor de x para obter o valor correspondente de y . Por exemplo, uma função é especificada analiticamente. Neste caso, o domínio de definição de uma função (se não for especificado antecipadamente) é entendido como o conjunto de todos os valores reais do argumento x para o qual a expressão analítica que define a função assume apenas valores reais e finitos. Nesse sentido, o domínio de definição de uma função também é chamado de domínio de existência. Para uma função, o domínio de definição é o segmento. Para a função y - sen x, o domínio de definição é todo o eixo numérico. Observe que nem toda fórmula define uma função. Por exemplo, a fórmula não define nenhuma função, uma vez que não existe um único valor real de x para o qual ambas as raízes escritas acima teriam valores reais. A tarefa analítica de uma função pode parecer bastante complicada. Em particular, uma função pode ser definida por diferentes fórmulas em diferentes partes do seu domínio de definição. Por exemplo, uma função poderia ser definida assim: 1.2. Método gráfico de especificação de uma função Diz-se que a função y = f(x) é especificada graficamente se seu gráfico for dado, ou seja, um conjunto de pontos (xy/(x)) no plano xOy, cujas abcissas pertencem ao domínio de definição da função, e as ordenadas são iguais aos valores correspondentes da função (Fig. 4). Nem para toda função seu gráfico pode ser representado em uma figura. Por exemplo, a função de Dirichlet se x é racional, se x é irracional, ZX \o, não permite tal imagem. A função R(x) é especificada em toda a reta numérica, e o conjunto de seus valores consiste em dois números 0 e 1. 1.3. Método tabular de especificação de uma função Uma função é chamada tabular se for fornecida uma tabela na qual os valores numéricos da função são indicados para alguns valores de argumento. Ao especificar uma função em uma tabela, seu domínio de definição consiste apenas nos valores x\t x2i..., xn listados na tabela. §2. Limite de uma função num ponto O conceito de limite de uma função é central para a análise matemática. Seja a função f(x) definida em alguma vizinhança Q do ponto xq, exceto, talvez, no ponto de redefinição (Cauchy). Um número A é chamado de limite da função f(x) no ponto xo se para qualquer número e > 0, que pode ser arbitrariamente pequeno, existe um número<5 > 0, tal que para todo iGH.i^ x0 que satisfaça a condição a desigualdade é verdadeira Conceito de uma função Métodos de especificação de uma função Exemplos de funções Configuração analítica de uma função Método gráfico de especificação de uma função Limite de uma função em um ponto Método tabular de especificar um teorema de função sobre limites exclusividade de um limite limitação de uma função tendo um limite de transição para o limite na desigualdade Limite de uma função no infinito Funções infinitesimais Propriedades de funções infinitesimais Notação: Usando símbolos lógicos, esta definição é expressa como segue Exemplos . 1. Usando a definição do limite de uma função em um ponto, mostre que a Função é definida em todos os lugares, incluindo o ponto zo = 1: /(1) = 5. Pegue qualquer. Para que a desigualdade |(2x + 3) - 5| ocorreu, as seguintes desigualdades devem ser satisfeitas. Portanto, se tomarmos, temos. Isso significa que o número 5 é o limite da função: no ponto 2. Usando a definição do limite de uma função, mostre que a Função não está definida no ponto xo = 2. Considere /(x) em alguma vizinhança de o ponto Xq = 2, por exemplo, no intervalo ( 1, 5), não contendo o ponto x = 0, no qual a função /(x) também é indefinida. Vamos pegar um número arbitrário com > 0 e transformar a expressão |/(x) - 2| para x φ 2 como segue Para x b (1, 5) obtemos a desigualdade. É claro que se considerarmos 6 = c, então para todos x € (1,5) sujeitos à condição a desigualdade será verdadeira. o número A - 2 é o limite de uma determinada função em um ponto. Vamos dar uma explicação geométrica do conceito de limite de uma função em um ponto consultando seu gráfico (Fig. 5). Para x, os valores da função /(x) são determinados pelas ordenadas dos pontos da curva M\M, e para x > xo - pelas ordenadas dos pontos da curva MM2. O valor /(x0) é determinado pela ordenada do ponto N. O gráfico desta função é obtido se tomarmos uma curva “boa” M\MMg e substituirmos o ponto M(x0, A) na curva pelo ponto jV. Mostremos que no ponto xo a função f(x) tem limite igual ao número A (a ordenada do ponto M). Tome qualquer número (tão pequeno quanto desejado) e > 0. Marque no eixo Oy os pontos com ordenadas A, A - e, A + e. Denotemos por P e Q os pontos de intersecção do gráfico da função y. = /(x) com as retas y = A- epy = A + e Sejam as abcissas desses pontos x0 - Al x0 + hi, respectivamente (ht > 0, /12 > 0). Fica claro na figura que para qualquer x Ф x0 do intervalo (x0 - h\, x0 + hi) o valor da função /(x) está contido entre. para todo x ^ xo que satisfaça a condição, a desigualdade é verdadeira. Colocamos Então o intervalo estará contido no intervalo e, portanto, a desigualdade ou, que é a mesma, será satisfeita para todo x que satisfaça a condição. que Assim, a função y = /(x) tem um limite A no ponto x0 se, não importa quão estreita seja a faixa e entre as linhas retas y = A - eny = A + e, existe um 5 > 0 tal que para todo x da vizinhança perfurada do ponto x0 os pontos do gráfico da função y = /(x) encontram-se dentro da e-strip especificada. Observação 1. O valor de b depende de e: 6 = 6(e). Observação 2. Ao determinar o limite de uma função no ponto Xq, o próprio ponto xo é excluído da consideração. Assim, o valor da função no ponto Ho ns afeta o limite da função neste ponto. Além disso, a função pode nem mesmo ser definida no ponto Xq. Portanto, duas funções iguais na vizinhança do ponto Xq, excluindo, talvez, o próprio ponto xo (no qual podem ter valores diferentes, uma delas ou ambas juntas não podem ser definidas), têm o mesmo limite para x - Xq ou ambos não têm limite. Daqui, em particular, segue-se que para encontrar o limite de uma fração no ponto xo, é lícito reduzir esta fração em expressões iguais que desaparecem em x = Xq. Exemplo 1. Encontre A função /(x) = j para todo x Ф 0 é igual a um, mas no ponto x = 0 não está definido. Substituindo /(x) pela função d(x) = 1 igual a x 0, obtemos o Conceito de uma função Métodos de especificação de uma função Exemplos de funções Configuração analítica de uma função Método gráfico de especificação de uma função O limite de uma função em um ponto Método tabular para especificar uma função teorema sobre limites a unicidade de um limite a limitação de uma função, tendo um limite, transição para o limite na desigualdade Limite de uma função no infinito Funções infinitesimais Propriedades de funções infinitesimais Exemplo 2 . Encontre lim /(x), onde Função coincide com a função /(x) em todos os lugares, excluindo o ponto x = 0, e tem no ponto x = 0 limite igual a zero: lim d(x) = 0 (mostre-o). !). Portanto lim /(x) = 0. Problema. Formule usando desigualdades (na linguagem e -6), o que significa Deixe a função /(i) ser definida em alguma vizinhança Π do ponto x0, exceto, talvez, o próprio ponto x0. Definição (Heine). O número A é chamado de limite da função /(x) no ponto x0 se para qualquer sequência (xn) de valores do argumento x 6 P, z„ /x0) convergindo para o ponto x0, a sequência correspondente de valores da função (f(x„)) converge para o número A. A definição acima é conveniente para usar quando é necessário estabelecer que a função /(x) não tem limite no ponto x0. Para isso, basta encontrar alguma sequência (f(xn)) que não tenha limite, ou indicar duas sequências (f(xn)) e (f(xn)) com limites diferentes. , que a função ii /(x) = sin j (Fig. 7), definida EM TODOS OS LUGARES, exceto para o PONTO X = O, Fig. 7 não tem limite no ponto x = 0. Considere duas sequências (convergindo para o ponto x = 0. Os valores das sequências correspondentes da função /(x) convergem para limites diferentes: a sequência (sinnTr) converge para zero, e a sequência (sin(5 + - para um. Isso significa que a função /(x) = sin j no ponto x = 0 não tem limite. Comente. Ambas as definições do limite de uma função num ponto (a definição de Cauchy e a definição de Heine) são equivalentes. §3. Teoremas sobre limites Teorema 1 (unicidade do limite). Se a função f(x) tem um limite no ponto xo, então esse limite é único. A Seja lim /(x) = A. Mostremos que nenhum número B φ A pode ser o limite x-x0 da função /(x) no ponto x0. O fato de que lim /(x) φ Usando os símbolos lógicos XO é formulado da seguinte forma: Usando a desigualdade que obtemos, tome e = > 0. Como lim /(x) = A, para o e > 0 escolhido há 6 > 0 tal que Da relação (1) para os valores indicados de x temos Assim, descobriu-se que por menores que sejam x Φ xQ tais que e ao mesmo tempo ^ e. Diz-se que uma função /(x) é limitada em uma vizinhança do ponto x0> se existem números M > 0 e 6 > 0 tais que o Teorema 2 (limitação de uma função tendo um limite). Se uma função f(x) é definida na vizinhança de um ponto x0 e tem um limite finito no ponto x0, então ela é limitada em uma certa vizinhança deste ponto. m Seja então para qualquer, por exemplo, para e = 1, existe 6 > O tal que para todo x Φ x0 que satisfaça a condição a desigualdade será verdadeira. Observando que sempre obtemos Put. Então em cada ponto x do intervalo teremos Isto significa, de acordo com a definição, que a função /(x) é limitada em uma vizinhança. Pelo contrário, a partir da delimitação da função /(x) em uma vizinhança de. ponto x0, a existência de um limite da função /(x) no ponto x0 não se segue. Por exemplo, a função /(x) = sin é limitada na vizinhança de um ponto, mas não tem limite no ponto x = 0. Formulemos mais dois teoremas, cujo significado geométrico é bastante claro. Teorema 3 (passando ao limite na desigualdade). Se /(x) ^ ip(x) para todo x de alguma vizinhança do ponto x0, exceto, talvez, o próprio ponto x0, e cada uma das funções /(x) e ip(x) no ponto x0 tem um limite, então observe que uma desigualdade estrita para funções não implica necessariamente uma desigualdade estrita para seus limites. Se esses limites existirem, então só podemos afirmar que Então, por exemplo, a desigualdade enquanto é satisfeita para as funções do Teorema 4 (limite de uma função intermediária). Se para todo x em alguma vizinhança do ponto Xq, exceto, talvez, o próprio ponto x0 (Fig. 9), e as funções f(x) e ip(x) no ponto xo têm o mesmo limite A, então o função f (x) no ponto x0 tem limite igual ao mesmo valor A. § 4 Limite de uma função no infinito Deixe a função f(x) ser definida em toda a reta numérica, ou pelo menos para. todo x satisfazendo a condição jx| > K para algum K > 0. Definição. O número A é chamado de limite da função f(x) quando x tende ao infinito, e é escrito se para qualquer e > 0 existe um número jV > 0 tal que para todo x que satisfaça a condição |x| > lg, a desigualdade é verdadeira. Substituindo a condição nesta definição de acordo, obtemos as definições. A partir dessas definições segue-se que se e somente se simultaneamente Esse fato significa geometricamente o seguinte: não importa quão estreita seja a faixa e entre a reta. linhas y = A-eyu = A + e, existe uma linha reta x = N >0 tal que à direita o gráfico da função y = /(x) está inteiramente contido na faixa e indicada (Fig. 10 ). Neste caso, dizem que em x +oo o gráfico da função y = /(x) se aproxima assintoticamente da reta y = A. Exemplo, A função /(x) = jtjj- é definida em toda a reta numérica e é uma fração em que o numerador é constante e o denominador aumenta ilimitadamente à medida que |x| +oo. É natural esperar que lim /(x)=0. Vamos mostrar. M Tomemos qualquer e > 0, sujeito à condição Para que a relação ocorra, a desigualdade com ou, que é a mesma, daí Assim, deve ser satisfeita. se aceitarmos, teremos. Isso significa que o número é o limite de uma determinada função em Observe que a expressão radical é apenas para t ^ 1. No caso em que a desigualdade c é satisfeita automaticamente para todos O gráfico de uma função par y = - aproxima-se assintoticamente da reta problema de linha. Formule usando desigualdades o que §5 significa. Funções infinitesimais Seja a função a(x) definida em alguma vizinhança do ponto xo, exceto, talvez, o próprio ponto x0. Definição. A função a(x) é chamada de função infinitesimal (abreviada como função infinitesimal) com x tendendo a xo if Conceito de uma função Métodos de especificação de uma função Exemplos de funções Definição analítica de uma função Método gráfico de especificação de uma função Limite de uma função em um ponto O método tabular para especificar uma função teorema limita a unicidade do limite a limitação de uma função que tem um limite transição para o limite na desigualdade O limite de uma função no infinito Funções infinitesimais Propriedades de funções infinitesimais Por exemplo, a função uma(x) = x - 1 é b. m.f. em x 1, já que lim(x-l) = 0. O gráfico da função y = x-1 1-1 é mostrado na Fig. II. Em geral, a função a(x) = x-x0 é o exemplo mais simples de b. m.f. em x-»ho. Tendo em conta a definição do limite de uma função num ponto, definição b. m.f. pode ser formulado assim. Definição. Diz-se que uma função a(x) é infinitesimal para x -* xo se, para qualquer £ > 0, existe um "5 > 0 tal que para todo x que satisfaça a condição a seguinte desigualdade é verdadeira. Junto com o conceito de uma função infinitesimal para x x xo, o conceito de funções infinitesimais em Definição. A função a(x) é chamada de infinitesimal para x -» oo, se então a função a(x) é chamada de infinitesimal, respectivamente, para ou para Por exemplo, a função é infinitesimal para x -» oo, já que lim j = 0 . A função a(x ) = e~x é uma função infinitesimal para x -* +oo, pois a seguir consideraremos, via de regra, todos os conceitos e teoremas relacionados aos limites das funções apenas em relação ao. caso do limite de uma função em um ponto, cabendo ao leitor formular os próprios conceitos correspondentes e provar teoremas semelhantes da época nos casos em que Propriedades de funções infinitesimais Teorema 5. Se a(x) e P(x) - b. m.f. para x -* xo, então sua soma a(x) + P(x) também é b.m. f. para x -»xo. 4 Considere qualquer e > 0. Como a(x) é b.m.f. para x -* xo, então existe “51 > 0 tal que para todo x Φ xo satisfazendo a condição a desigualdade é verdadeira. Pela condição P(x) também b.m.f. para x xo, portanto existe tal que para todo x Φ xo satisfazendo a condição a desigualdade é verdadeira. Conjunto 6 = min(«5j, 62). Então, para todo x Ф xo que satisfaça a condição, as desigualdades (1) e (2) serão simultaneamente verdadeiras. Portanto, isso significa que a soma a(x) +/3(x) é b.m.f. em x xq. Comente. O teorema permanece válido para a soma de qualquer número finito de funções, b. m. em xzo. Teorema b (produto de bmf por uma função limitada). Se a função a(x) for b. m.f. para x -* x0, e a função f(x) é limitada em uma vizinhança do ponto Xo, então o produto a(x)/(x) é b. m.f. para x -» x0. Por condição, a função /(x) é limitada em uma vizinhança do ponto x0. Isso significa que existem números 0 e M > 0 tais que Tome qualquer e > 0. Visto que por condição, existe 62 > 0 tal que para todo x φ x0 satisfazendo a condição |x - xol , a desigualdade será verdadeira Coloque i de todos os x φ x0 que satisfazem a condição |x - x0|, as desigualdades serão simultaneamente verdadeiras. Portanto, isso significa que o produto a(x)/(x) é b. m.f. em Exemplo. A função y = xsin - (Fig. 12) pode ser considerada como o produto das funções a(ar) = x e f(x) = sin j. A função a(ag) é b. m.f. para x - 0, e a função f. E se estivéssemos falando em encontrar o domínio de definição de uma função dada analiticamente, então teríamos que, como fizemos no § 7, gastar tempo e esforço para resolver a desigualdade. É por isso que eles geralmente tentam trabalhar simultaneamente com ambos. métodos analíticos e gráficos de especificação de funções. Porém, depois de dois anos estudando álgebra na escola, você já se acostumou com isso.
Além de analítico e gráfico, na prática é utilizado um método tabular para especificar uma função. Com este método, é fornecida uma tabela que indica os valores da função (às vezes exatos, às vezes aproximados) para um conjunto finito de valores de argumentos. Exemplos de funções tabulares podem ser tabelas de quadrados de números, cubos de números, raízes quadradas, etc.
Em muitos casos, a especificação de tabela de uma função é conveniente. Ele permite que você encontre o valor de uma função para os valores dos argumentos disponíveis na tabela sem nenhum cálculo.
Analítico, gráfico, tabular - naitabular, mais simples e, portanto, as funções de tarefas verbais mais populares, esses métodos são suficientes para nossas necessidades. Na verdade, em matemática existem algumas maneiras diferentes de definir uma função, mas apresentaremos apenas mais um método, que é usado em situações muito peculiares. Estamos falando do método verbal, quando a regra para especificar uma função é descrita em palavras. Vamos dar exemplos.
Exemplo 1.
A função y = f(x) é definida no conjunto de todos os números não negativos usando a seguinte regra: a cada número x > 0 é atribuída a primeira casa decimal na notação decimal do número x. Se, digamos, x = 2,534, então f(x) = 5 (a primeira casa decimal é o número 5); se x = 13,002, então f(x) = 0; se então, escrevendo 0,6666... como uma fração decimal infinita, encontramos f(x) = 6. Qual é o valor de f(15)? É igual a 0, pois 15 = 15.000..., e vemos que a primeira casa decimal após a vírgula é 0 (na verdade, a igualdade 15 = 14.999... também é verdadeira, mas os matemáticos concordaram em não considere frações decimais periódicas infinitas com período 9).
Qualquer número não negativo x pode ser escrito como uma fração decimal (finita ou infinita) e, portanto, para cada valor de x podemos encontrar um valor específico para a primeira casa decimal, portanto podemos falar de uma função, ainda que seja uma um tanto incomum. Esta função 
Exemplo 2.
A função y = f(x) é definida no conjunto de todos os números reais usando a seguinte regra: cada número x está associado ao maior de todos os inteiros que não excedem x. Em outras palavras, a função y = f(x) é determinada pelas seguintes condições:
a) f(x) - um número inteiro;
b)f(x)< х (поскольку f(х) не превосходит х);
c) f(x) + 1 > x (já que f(x) é o maior número inteiro que não excede x, o que significa que f(x) + 1 já é maior que r). Se, digamos, x = 2,534, então f(x) = 2, já que, em primeiro lugar, 2 é um número inteiro e, em segundo lugar, 2< 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....
Esta função possui (conjunto de inteiros).
A função discutida no exemplo 2 é chamada de parte inteira de um número; para a parte inteira do número x, use a notação [x]. Por exemplo, = 2, = 47, [-0,(23)] = -1. O gráfico da função y = [x] parece muito peculiar (Fig. 54).
Várias maneiras de especificar uma função Analítica, gráfica, tabular são as formas mais simples e, portanto, as mais populares de especificar uma função para nossas necessidades; esses métodos são suficientes; Analíticográficotabular Na verdade, em matemática existem várias formas diferentes de especificar uma função, e uma delas é a verbal, que é usada em situações muito peculiares.
Maneira verbal de especificar uma função Uma função também pode ser especificada verbalmente, ou seja, descritivamente. Por exemplo, a chamada função de Dirichlet é definida da seguinte forma: a função y é igual a 0 para todos os valores racionais e 1 para todos os valores irracionais do argumento x. Tal função não pode ser especificada por uma tabela, pois é definida em todo o eixo numérico e o conjunto de valores para seu argumento é infinito. Esta função também não pode ser especificada graficamente. No entanto, foi encontrada uma expressão analítica para esta função, mas é tão complexa que não tem significado prático. O método verbal dá uma definição breve e clara do mesmo.
Exemplo 1 A função y = f (x) é definida no conjunto de todos os números não negativos usando a seguinte regra: a cada número x 0 é atribuída a primeira casa decimal na notação decimal do número x. Se, digamos, x = 2,534, então f(x) = 5 (a primeira casa decimal é o número 5); se x = 13,002, então f(x) = 0; se x = 2/3, então, escrevendo 2/3 como uma fração decimal infinita 0,6666..., encontramos f(x) = 6. Qual é o valor de f(15)? É igual a 0, pois 15 = 15.000..., e vemos que a primeira casa decimal após a vírgula é 0 (em geral, a igualdade 15 = 14.999... é verdadeira, mas os matemáticos concordaram em não considerar frações decimais periódicas infinitas com período 9).
Qualquer número não negativo x pode ser escrito como uma fração decimal (finita ou infinita) e, portanto, para cada valor de x podemos encontrar um certo número de valores da primeira casa decimal, para que possamos falar sobre uma função, embora um tanto incomum. D(f) = . = 2 [" title="Uma função que é definida pelas condições: f (x) é um número inteiro; f (x) x;x; f + 1 > x,x, a parte inteira de um número é chamada de parte inteira de um número D (f) = (-;+), E (f) = Z (conjunto de inteiros) Para a parte inteira do número x, use a notação [ x = 2 [ ]." class="link_thumb"> 7 !} Uma função que é determinada pelas seguintes condições: f (x) – número inteiro; f(x)x;x; f + 1 > x,x, a parte inteira de um número é chamada de parte inteira do número. D (f) = (-;+), E (f) = Z (conjunto de inteiros) Para a parte inteira do número x, use a notação [x]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1 x,x, a parte inteira de um número é chamada de parte inteira de um número. D (f) = (-;+), E (f) = Z (conjunto de inteiros) Para a parte inteira do número x, use a notação [x]. = 2 ["> x,x, a parte inteira de um número é chamada de parte inteira do número. D (f) = (-;+), E (f) = Z (conjunto de inteiros) Para a parte inteira do número x, a notação [ x ] é usada, a parte inteira de um número é chamada de parte inteira do número. D (f) = (-;+), E (f) = Z (conjunto de inteiros) Para a parte inteira do número x, use a notação [x]. = 2 [" title="Uma função que é definida pelas condições: f (x) é um número inteiro; f (x) x;x; f + 1 > x,x, a parte inteira de um número é chamada de parte inteira de um número D (f) = (-;+), E (f) = Z (conjunto de inteiros) Para a parte inteira do número x, use a notação [ x = 2 [ ]."> title="Uma função que é determinada pelas seguintes condições: f (x) – número inteiro; f(x)x;x; f + 1 > x,x, a parte inteira de um número é chamada de parte inteira do número. D (f) = (-;+), E (f) = Z (conjunto de inteiros) Para a parte inteira do número x, use a notação [x]. = 2 ["> !}
De todos os métodos indicados para especificar uma função, as maiores oportunidades de utilização do aparato de análise matemática são proporcionadas pelo método analítico, sendo o gráfico o de maior clareza. É por isso que a análise matemática se baseia numa síntese profunda de métodos analíticos e geométricos. O estudo das funções definidas analiticamente é muito mais fácil e fica mais claro se considerarmos simultaneamente os gráficos dessas funções.
X y=x
O grande matemático - Dirichlet B, professor em Berlim, e desde 1855 na Universidade de Göttingen. Principais trabalhos sobre teoria dos números e análise matemática. No campo da análise matemática, Dirichlet foi o primeiro a formular e estudar com precisão o conceito de convergência condicional de uma série, estabeleceu um teste para a convergência de uma série (o chamado teste de Dirichlet, 1862) e deu (1829) uma prova rigorosa da possibilidade de expandir uma função com um número finito de máximos e mínimos em uma série de Fourier. Os trabalhos significativos de Dirichlet são dedicados à mecânica e à física matemática (o princípio de Dirichlet na teoria das funções harmônicas). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () matemático alemão, membro correspondente estrangeiro. Academia de Ciências de Petersburgo (c), membro da Royal Society de Londres (1855), Academia de Ciências de Paris (1854), Academia de Ciências de Berlim. Dirichlet provou o teorema sobre a existência de um número infinitamente grande de números primos em qualquer progressão aritmética de inteiros, cujo primeiro termo e a diferença são números primos mutuamente, e estudou (1837) a lei de distribuição de números primos em progressões aritméticas e, portanto, introduziu séries funcionais de uma forma especial (as chamadas séries de Dirichlet).
(Definição: Sejam X e Y conjuntos numéricos. Se cada elemento x X de acordo com alguma regra f estiver associado a um único elemento y Y, então dizemos que a função y=f(x) está definida no conjunto X. x =D(f) – faixa de valores;
