Государственное бюджетное образовательное учреждение
Гимназия № 000
Проектная работа по геометрии.
Восемь способов построения касательной к окружности.
9 биолого-химический класс
Научный руководитель : ,
заместитель директора по учебной работе,
преподаватель математики.
Москва 2012
Вступление
Глава 1. ………………………………………………………………4
Вывод (заключение)
Вступление
Высшее проявление духа – это разум.
Высшее проявление разума – это геометрия.
Клетка геометрии – треугольник. Он так же
неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.
Познайте окружность, и вы не только познаете душу
геометрии, но и возвысите душу свою.
Клавдий Птолемей
Задача.
Построить касательную к окружности с центром О и радиусом R, проходящую через точку А, лежащую вне окружности
Глава 1.
Построения касательной к окружности, не требующие обоснования, опирающегося на теорию параллельных прямых.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.
Аналогично, АС – касательная к окружности.
Построение № 1 основывается на факте, который гласит, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Для прямой имеется лишь одна точка касания с окружностью.
Через данную на прямой точку можно провести лишь одну перпендикулярную прямую.
Построение №2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> АВО = 90°
5. ОВ – радиус, АВО = 90°, следовательно, АВ – касательная по признаку.
6. Аналогично в равнобедренном треугольнике AON АС – касательная (АСО = 90°, ОС – радиус)
7. Итак, АВ и АС – касательные
Построение № 3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ОРМ =ОВА= 90° (как соответствующие углы в равных треугольниках), следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.
4. Аналогично, АС – касательная
Построение №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Построение № 6.
Построение:
2. Проведу через точку А произвольную прямую, пересекающую окружность(О, r) в точках М и N.
6. АВ и ВС – искомые касательные.
Доказательство :
1. Т. к. треугольники PQN и PQM вписаны в окружность и сторона PQ является диаметром окружности, то эти треугольники прямоугольные.
2. В треугольнике PQL отрезки PM и QN – высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL – третья высота..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src=">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).
5. Сопоставляя (1) и (2) получу |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или
(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).
После раскрытия скобок и упрощений нахожу, что |OD|·|OA|=R².
5. Из соотношения |OD|·|OA|=R² следует, что |OD|:R=R: |OA|, то есть треугольники ODB и OBA подобны..gif" width="17" height="16">OBA=90°.Следовательно, прямая АВ – искомая касательная, что и требовалось доказать.
Построение № 6.
Построение:
1. Прострою окружность (A; |OA|).
2. Найду раствор циркуля, равный 2R, для чего выберу на окружности (О; R) точку S и отложу три дуги, содержащие по 60º: SP=PQ=QT=60°. Точки S и T диаметрально противоположны.
3. Строю окружность (О; ST), пересекающую w 1Что это за окружность? в точках М и N.
4. Теперь построю середину МО. Для этого строю окружности (O; OM) и (М; МО), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V.
6. Наконец, построю окружность (К; КМ) и (L; LM), пересекающиеся в искомой точке В – середине МО.
Доказательство:
Треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что КМ= 0,5МU, следует, что МВ=0,5МК=0,5R. Итак, точка В – искомая точка касания. Аналогично можно найти точку касания С.
Глава 3.
Построения касательной к окружности, основанные на свойствах секущих, биссектрис.
Построение № 7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src=">Построение № 8
Построение:
1. Построю окружность (А;АР), пресекающую прямую АР в точке D.
2. Построю окружность w на диаметре QD
3. Пересеку ее перпендикуляром к прямой АР в точке А и получу точки М и N.
Доказательство:
Очевидно, что АМ²=АN²=АD·AQ=AP·AQ. Тогда окружность (А;АМ) пересекает (О;R) в точках касания В и С. АВ и АС - искомые касательные.
Уроки по программе КОМПАС.
Урок №12. Построение окружностей в Компас 3D.
Окружности касательные к кривым, окружность по двум точкам.
В компас 3D имеется несколько способов построения касательных окружностей:
- окружность касательная к 1-ой кривой;
- окружность касательная к 2-ум кривым;
- окружность касательная к 3-м кривым;
Чтобы построить окружность касательную к кривой, нажимаем кнопку "Окружность касательная к 1 кривой" в компактной панели, или в верхнем меню последовательно нажимаем команды "Инструменты" - "Геометрия" - "Окружности" - "Окружность касательная к 1 кривой".
При помощи курсора указываем сначала кривую, через которую пройдет окружность, затем задаем 1-ю и 2-ю точку этой окружности (координаты точек можно вводить на панели свойств).
На экране отобразятся фантомы всех возможных вариантов окружностей. При помощи курсора выбираем те которые нам необходимы и фиксируем нажатием кнопки "Создать объект". Завершаем построение нажатием кнопки "Прервать команду".
Перед тем как задать вторую точку можно ввести значение радиуса или диаметра в соответствующее поле на панели свойств. Такая окружность будет построена не всегда. Это зависит от заданного радиуса или диаметра. О невозможности построения будет свидетельствовать исчезновение фантома после ввода значения радиуса.
Если известна точка центра окружности, её также можно задать на панели свойств.
Для построения окружности касательной к двум кривым нажимаем кнопку "Окружность касательная к 2 кривым" в компактной панели. Либо в верхнем меню последовательно нажимаем команды "Инструменты" - "Геометрия" - "Окружности" - "Окружность касательная к 2 кривым" .
При помощи курсора указываем объекты, которых должна касаться окружность. На экране отобразятся фантомы всех возможных вариантов построения.
Если известно положение точки принадлежащей окружности, то её необходимо задать при помощи курсора, либо ввести координаты в панели свойств. В панели свойств также можно вводить значения радиуса или диаметра. Для завершения построения выбираем нужный фантом и последовательно нажимаем кнопки "Создать объект" и "Прервать команду" .
Для построения окружности касательной к трем кривым нажимаем кнопку "Окружность касательная к 3 кривым" в компактной панели. Либо в верхнем меню последовательно нажимаем команды "Инструменты" - "Геометрия" - "Окружности" - "Окружность касательная к 3 кривым".
Построения аналогичны предыдущим, поэтому выполните их самостоятельно, результат приведен на рисунке ниже.
Прямая (MN ), имеющая с окружностью только одну общую точку (A ), называется касательной к окружности .
Общая точка называется в этом случае точкой касания.
Возможность существования касательной , и притом проведенной через любую точку окружности , как точку касания, доказывается следующей теоремой .
Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A . Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO , а из точки O , как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.
Проведя затем хорды OB и OС , соединим точку A с точками D и E , в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE - касательные к окружности O . Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС , равными диаметру круга O .
Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB , а E - середина OС , значит AD и AE - медианы , проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE , то они - касательные .
Следствие.
Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром .
Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE , имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной ” от данной точки до точки касания.
Геометрические построения
Построение касательных к окружностям
Рассмотрим задачу, лежащую в основе решения других задач на проведение касательных к окружностям.
Пусть из точки А (рис. 1) необходимо провести касательные к окружности с центром в точке О .
Для точного построения касательных необходимо определить точки касания прямых к окружности. Для этого точку А следует соединить сточкой О и разделить отрезок ОА пополам. Из середины этого отрезка - точки С , как из центра, описать окружность, диаметр которой должен быть равен отрезку ОА . Точки К 1 и К 2 пересечения окружностей с центром в точке С и с центром в точке О являются точками касания прямых АК 1 и АК 2 к заданной окружности.
Правильность решения поставленной задачи подтверждается тем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной к окружности. Углы ОК 1 А и ОК 2 А являются прямыми, поскольку опираются на диаметр АО окружности с центром в точке С .
Рис. 1.
При построении касательных к двум окружностям различают касательные внутренние и внешние . Если центра заданных окружностей располагаются по одну сторону от касательной, то ее считают внешней, а если центры окружностей находятся по разные стороны от касательной, - внутренние.
О 1 и О 2 R 1 и R 2 . Требуется провести внешние касательные к заданным окружностям.
Для точного построения следует определить точки касания прямых и заданных окружностей. Если радиусы окружностей с центрами О 1 и О 2 начать последовательно уменьшать на одно и то же значение, то можно получить ряд концентрических окружностей меньших диаметров. При этом в каждом случае уменьшения радиуса касательные к меньшим окружностям будут параллельны искомым. После уменьшения обоих радиусов на размер меньшего радиуса R 2 окружность с центром О 2 обратится в точку, а окружность с центром О 1 преобразится в концентрическую окружность радиусом R 3 , равным разности радиусов R 1 и R 2 .
Используя описанный ранее способ, из точки О 2 проведем внешние касательные к окружности радиусом R 3 , соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем радиусом СО 1 дугу, пересечение которой с заданной окружностью определит точки касания прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .
Точка А 1 и А 2 касания искомых прямых с большей окружностью располагается на продолжении прямых О 1 К 1 и О 1 К 2 . Точки В 1 и В 2 касания прямых с меньшей окружностью находятся на перпендикулярах с основанием О 2 соответственно к вспомогательным касательным О 2 К 1 и О 2 К 2 . Располагая точками касания можно провести искомые прямые А 1 В 1 и А 2 В 2 .
Рис. 2.
Пусть заданы две окружности с центрами в точках О 1 и О 2 (рис. 2), имеющие радиусы соответственно R 1 и R 2 . Требуется провести внутренние касательные к заданным окружностям.
Для определения точек касания прямых с окружностями используем рассуждения, аналогичные приведенным при решении предыдущей задачи. Если уменьшить радиус R 2 до нуля, то окружность с центром О 2 обратиться в точку. Однако в этом случае для сохранения параллельности вспомогательных касательных с искомыми радиус R 1 следует увеличить на размер R 2 и провести окружность радиусом R 3 , равным сумме радиусов R 1 и R 2 .
Из точки О 2 проведем касательные к окружности радиусом R 3 , для чего соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СО 1 . Пересечение дуги с окружностью радиусом R 3 определит положение точек К 1 и К 2 касания вспомогательных прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .
Точка А 1 и А 2 R 1 находится на пересечении этой окружности с отрезком О 1 К 1 и О 1 К 2 . Для определения точек В1 и В2 касания искомых прямых с окружностью радиусом R 2 следует из точки О2 восставить перпендикуляры к вспомогательным прямым О2К1 и О2К2 до пересечения с заданной окружностью. Располагая точками касания искомых прямых и заданных окружностей, проведем прямые А1В1 и А2В2 .
Рис. 3.
