Функция за изграждане
Предлагаме на вашето внимание услуга за изграждане на графики на функции онлайн, всички права върху които принадлежат на компанията Десмос. Използвайте лявата колона, за да въведете функции. Можете да въведете ръчно или с помощта на виртуалната клавиатура в долната част на прозореца. За да увеличите прозореца с графиката, можете да скриете както лявата колона, така и виртуалната клавиатура.
Предимства на онлайн графики
- Визуално показване на въведените функции
- Изграждане на много сложни графики
- Конструиране на имплицитно зададени графики (например елипса x^2/9+y^2/16=1)
- Възможност за запазване на диаграми и получаване на връзка към тях, която става достъпна за всички в Интернет
- Контрол на мащаба, цвета на линията
- Възможност за начертаване на графики по точки, като се използват константи
- Изграждане на графики на няколко функции едновременно
- График в полярни координати (използвайте r и θ(\theta))
С нас е лесно да създавате диаграми с различна сложност онлайн. Строителството се извършва моментално. Услугата е търсена за намиране на пресечни точки на функции, за изобразяване на графики за по-нататъшното им преместване в документ на Word като илюстрации при решаване на проблеми и за анализ на поведенческите характеристики на функционалните графики. Оптималният браузър за работа с диаграми на тази страница на уебсайта е Google Chrome. Правилната работа не е гарантирана при използване на други браузъри.
Нека изберем правоъгълна координатна система на равнината и начертаем стойностите на аргумента върху абсцисната ос х, а по ординатата - стойностите на функцията y = f(x).
Функционална графика y = f(x)е множеството от всички точки, чиито абсциси принадлежат към областта на дефиниране на функцията, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията.
С други думи, графиката на функцията y = f (x) е множеството от всички точки на равнината, координати Х, прикоито удовлетворяват отношението y = f(x).
На фиг. 45 и 46 показват графики на функции y = 2x + 1И y = x 2 - 2x.
Строго погледнато, трябва да се прави разлика между графика на функция (чието точно математическо определение беше дадено по-горе) и начертана крива, която винаги дава само повече или по-малко точна скица на графиката (и дори тогава, като правило, не цялата графика, а само нейната част, разположена в крайните части на равнината). В това, което следва обаче, обикновено ще казваме „графика“, а не „скица на графика“.
С помощта на графика можете да намерите стойността на функция в точка. А именно, ако точката х = апринадлежи към областта на дефиниране на функцията y = f(x), след което да намерите номера е(а)(т.е. стойностите на функцията в точката х = а) трябва да направите това. Необходимо е през абсцисната точка х = аначертайте права линия, успоредна на ординатната ос; тази линия ще пресича графиката на функцията y = f(x)в една точка; ординатата на тази точка, по силата на определението на графиката, ще бъде равна на е(а)(фиг. 47).
Например за функцията f(x) = x 2 - 2xс помощта на графиката (фиг. 46) намираме f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т.н.
Функционалната графика ясно илюстрира поведението и свойствата на функцията. Например, от разглеждането на фиг. 46 е ясно, че функцията y = x 2 - 2xприема положителни стойности, когато х< 0 и при х > 2, отрицателен - при 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xприема при х = 1.
Да начертаете графика на функция f(x)трябва да намерите всички точки на равнината, координати х,прикоито удовлетворяват уравнението y = f(x). В повечето случаи това е невъзможно да се направи, тъй като има безкраен брой такива точки. Затова графиката на функцията се изобразява приблизително - с по-голяма или по-малка точност. Най-простият е методът за начертаване на графика с помощта на няколко точки. Състои се в това, че аргументът хдайте краен брой стойности - да речем, x 1, x 2, x 3,..., x k и създайте таблица, която включва избраните стойности на функцията.
Таблицата изглежда така:
След като съставим такава таблица, можем да очертаем няколко точки на графиката на функцията y = f(x). След това, свързвайки тези точки с гладка линия, получаваме приблизителен изглед на графиката на функцията y = f(x).
Трябва да се отбележи обаче, че методът за многоточково изобразяване е много ненадежден. Всъщност поведението на графиката между предвидените точки и нейното поведение извън сегмента между взетите крайни точки остава неизвестно.
Пример 1. Да начертаете графика на функция y = f(x)някой състави таблица със стойности на аргументи и функции:
Съответните пет точки са показани на фиг. 48.
Въз основа на местоположението на тези точки той заключава, че графиката на функцията е права линия (показана на фиг. 48 с пунктирана линия). Може ли това заключение да се счита за надеждно? Освен ако няма допълнителни съображения в подкрепа на това заключение, то едва ли може да се счита за надеждно. надежден.
За да обосновем нашето твърдение, разгледайте функцията
.
Изчисленията показват, че стойностите на тази функция в точки -2, -1, 0, 1, 2 са точно описани в таблицата по-горе. Графиката на тази функция обаче изобщо не е права линия (показана е на фиг. 49). Друг пример би била функцията y = x + l + sinπx;неговите значения също са описани в таблицата по-горе.
Тези примери показват, че в своята „чиста“ форма методът за начертаване на графика с помощта на няколко точки е ненадежден. Следователно, за да се начертае графика на дадена функция, обикновено се процедира по следния начин. Първо, изучаваме свойствата на тази функция, с помощта на които можем да изградим скица на графиката. След това чрез изчисляване на стойностите на функцията в няколко точки (изборът на които зависи от установените свойства на функцията) се намират съответните точки на графиката. И накрая се изчертава крива през построените точки, използвайки свойствата на тази функция.
По-късно ще разгледаме някои (най-простите и най-често използвани) свойства на функции, използвани за намиране на скица на графика, но сега ще разгледаме някои често използвани методи за конструиране на графики.
Графика на функцията y = |f(x)|.
Често е необходимо да се начертае функция y = |f(x)|, където f(x) -дадена функция. Нека ви припомним как става това. Като дефинираме абсолютната стойност на число, можем да напишем
Това означава, че графиката на функцията y =|f(x)|може да се получи от графика, функция y = f(x)както следва: всички точки от графиката на функцията y = f(x), чиито ординати са неотрицателни, трябва да се оставят непроменени; по-нататък, вместо точките от графиката на функцията y = f(x)с отрицателни координати, трябва да построите съответните точки на графиката на функцията y = -f(x)(т.е. част от графиката на функцията
y = f(x), която лежи под оста Х,трябва да се отразява симетрично спрямо оста х).
Пример 2.Графика на функцията y = |x|.
Нека вземем графиката на функцията y = x(Фиг. 50, а) и част от тази графика в х< 0 (лежи под оста х), симетрично отразени спрямо оста х. В резултат на това получаваме графика на функцията y = |x|(Фиг. 50, b).
Пример 3. Графика на функцията y = |x 2 - 2x|.
Първо, нека начертаем функцията y = x 2 - 2x.Графиката на тази функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре, върхът на параболата има координати (1; -1), нейната графика пресича оста x в точки 0 и 2. В интервала (0; 2) функцията приема отрицателни стойности, поради което тази част от графиката се отразява симетрично спрямо абсцисната ос. Фигура 51 показва графиката на функцията y = |x 2 -2x|, въз основа на графиката на функцията y = x 2 - 2x
Графика на функцията y = f(x) + g(x)
Помислете за проблема с изграждането на графика на функция y = f(x) + g(x).ако са дадени графики на функции y = f(x)И y = g(x).
Обърнете внимание, че областта на дефиниция на функцията y = |f(x) + g(x)| е множеството от всички онези стойности на x, за които и двете функции y = f(x) и y = g(x) са дефинирани, т.е. тази област на дефиниция е пресечната точка на областите на дефиниция, функции f(x) и g(x).
Нека точките (x 0, y 1) И (x 0, y 2) съответно принадлежат на графиките на функциите y = f(x)И y = g(x), т.е 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0).Тогава точката (x0;. y1 + y2) принадлежи на графиката на функцията y = f(x) + g(x)(за f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. и всяка точка от графиката на функцията y = f(x) + g(x)може да се получи по този начин. Следователно графиката на функцията y = f(x) + g(x)могат да бъдат получени от графики на функции y = f(x). И y = g(x)замяна на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)точка (x n, y 1 + y 2),Където y 2 = g(x n), т.е. чрез изместване на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)по оста припо количеството y 1 = g(x n). В този случай се вземат предвид само такива точки х n, за които са дефинирани и двете функции y = f(x)И y = g(x).
Този метод за чертане на функция y = f(x) + g(x) се нарича събиране на графики на функции y = f(x)И y = g(x)
Пример 4. На фигурата е построена графика на функцията с помощта на метода на добавяне на графики
y = x + sinx.
При начертаване на функция y = x + sinxмислихме това f(x) = x,А g(x) = sinx.За да начертаем графиката на функцията, избираме точки с абсцисите -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Стойности f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxНека изчислим в избраните точки и поставим резултатите в таблицата.
Преди това изучавахме други функции, например линейни, нека си припомним стандартната му форма:
оттук и очевидната принципна разлика – в линейната функция хстои на първа степен и в новата функция, която започваме да изучаваме, хстои на втора степен.
Припомнете си, че графиката на линейна функция е права линия, а графиката на функция, както ще видим, е крива, наречена парабола.
Нека започнем, като разберем откъде идва формулата. Обяснението е следното: ако ни е даден квадрат със страна А, тогава можем да изчислим неговата площ по следния начин:
Ако променим дължината на страната на квадрат, тогава неговата площ ще се промени.
И така, това е една от причините, поради които функцията се изучава
Спомнете си, че променливата х- това е независима променлива или аргумент; във физическа интерпретация може да бъде например време. Напротив, разстоянието е зависима променлива; зависи от времето. Зависимата променлива или функция е променлива при.
Това е законът на съответствието, според който всяка стойност хсе присвоява една единствена стойност при.
Всеки закон за съответствие трябва да отговаря на изискването за уникалност от аргумента до функцията. Във физическа интерпретация това изглежда съвсем ясно, като се използва примерът за зависимостта на разстоянието от времето: във всеки момент ние сме на определено разстояние от началната точка и е невъзможно да сме едновременно на 10 и 20 километра от началото от пътуването по същото време в момент t.
В същото време всяка стойност на функцията може да бъде постигната с няколко стойности на аргумента.
И така, трябва да изградим графика на функцията, за това трябва да направим таблица. След това изучете функцията и нейните свойства, като използвате графиката. Но дори преди да построим графика въз основа на типа функция, можем да кажем нещо за нейните свойства: очевидно е, че прине може да приема отрицателни стойности, тъй като
И така, нека направим таблица:
Ориз. 1
От графиката е лесно да се отбележат следните свойства:
ос при- това е оста на симетрия на графиката;
Върхът на параболата е точка (0; 0);
Виждаме, че функцията приема само неотрицателни стойности;
В интервала където 
функцията намалява, а на интервала, където функцията нараства;
Функцията придобива най-малката си стойност във върха, 
;
Няма най-голяма стойност на функция;
Пример 1
Състояние:
Решение:
Тъй като хпо условието се променя на определен интервал, можем да кажем за функцията, че тя нараства и се променя на интервала. Функцията има минимална стойност и максимална стойност на този интервал
Ориз. 2. Графика на функцията y = x 2 , x ∈
Пример 2
Състояние:Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция:
Решение:
хпромени през интервала, което означава принамалява на интервала while и нараства на интервала while .
И така, границите на промяната хи границите на промяната при, и следователно на даден интервал има както минимална стойност на функцията, така и максимална
Ориз. 3. Графика на функцията y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Нека илюстрираме факта, че една и съща стойност на функцията може да бъде постигната с няколко стойности на аргумента.
Урок: Как да построим парабола или квадратична функция?
ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ
Параболата е графика на функция, описана с формулата ax 2 +bx+c=0.
За да изградите парабола, трябва да следвате прост алгоритъм:
1) Формула на парабола y=ax 2 +bx+c,
Ако а>0тогава клоновете на параболата са насочени нагоре,
в противен случай клоновете на параболата са насочени надолу.
Безплатен член ° Стази точка пресича параболата с оста OY;
2), се намира с помощта на формулата x=(-b)/2a, заместваме намереното x в уравнението на параболата и намираме г;
3)Функционални нулиили, с други думи, точките на пресичане на параболата с оста OX, те се наричат още корени на уравнението. За да намерим корените, приравняваме уравнението на 0 брадва 2 +bx+c=0;
Видове уравнения:
а) Пълното квадратно уравнение има формата брадва 2 +bx+c=0и се решава от дискриминанта;
б) Непълно квадратно уравнение от вида брадва 2 +bx=0.За да го решите, трябва да извадите x извън скоби, след което да приравните всеки фактор на 0:
брадва 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 и ax+b=0;
в) Непълно квадратно уравнение от вида брадва 2 +c=0.За да го решите, трябва да преместите неизвестните от едната страна, а известните от другата. x =±√(c/a);
4) Намерете няколко допълнителни точки, за да конструирате функцията.
ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ
И така, сега, използвайки пример, ще анализираме всичко стъпка по стъпка:
Пример #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 означава, че параболата пресича OY в точката x=0 y=3. Клоните на параболата гледат нагоре, тъй като a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 връх е в точка (-2;-1)
Нека намерим корените на уравнението x 2 +4x+3=0
С помощта на дискриминанта намираме корените
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Нека вземем няколко произволни точки, които се намират близо до върха x = -2
х -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3
Заместете вместо x в уравнението y=x 2 +4x+3 стойности
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
От стойностите на функцията се вижда, че параболата е симетрична по отношение на правата x = -2
Пример #2:
y=-x 2 +4x
c=0 означава, че параболата пресича OY в точката x=0 y=0. Клоните на параболата гледат надолу, тъй като a=-1 -1 Нека намерим корените на уравнението -x 2 +4x=0
Непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +bx=0. За да го решите, трябва да извадите x от скоби, след което да приравните всеки фактор на 0.
x(-x+4)=0, x=0 и x=4.
Да вземем няколко произволни точки, които се намират близо до върха x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Заместете вместо x в уравнението y=-x 2 +4x стойности
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
От стойностите на функцията се вижда, че параболата е симетрична спрямо правата x = 2
Пример №3
y=x 2 -4
c=4 означава, че параболата пресича OY в точката x=0 y=4. Клоните на параболата гледат нагоре, тъй като a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 върхът е в точка (0;- 4)
Нека намерим корените на уравнението x 2 -4=0
Непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +c=0. За да го решите, трябва да преместите неизвестните от едната страна, а известните от другата. x =±√(c/a)
х 2 =4
х 1 =2
х 2 =-2
Да вземем няколко произволни точки, които се намират близо до върха x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Заместете вместо x в уравнението y= x 2 -4 стойности
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
От стойностите на функцията може да се види, че параболата е симетрична спрямо правата x = 0
Абонирай се към канала в YOUTUBEда сте в крак с всички нови продукти и да се подготвите с нас за изпити.
“Естествен логаритъм” - 0,1. Натурални логаритми. 4. Логаритмичен дартс. 0,04. 7.121.
“Степенна функция степен 9” - U. Кубична парабола. Y = x3. Учител от 9 клас Ладошкина И.А. Y = x2. Хипербола. 0. Y = xn, y = x-n, където n е дадено естествено число. X. Показателят е четно естествено число (2n).
“Квадратична функция” - 1 Дефиниция на квадратна функция 2 Свойства на функция 3 Графики на функция 4 Квадратни неравенства 5 Заключение. Свойства: Неравенства: Изготвил ученикът от 8А клас Андрей Герлиц. План: Графика: -Интервали на монотонност за a > 0 за a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
“Квадратична функция и нейната графика” - Решение.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-принадлежи. Когато a=1, формулата y=ax приема формата.
“Квадратична функция за 8 клас” - 1) Построяване на върха на парабола. Построяване на графика на квадратична функция. х. -7. Постройте графика на функцията. Алгебра 8 клас Учител 496 Бовина училище Т. В. -1. План за застрояване. 2) Да се построи оста на симетрия x=-1. г.
