Építési funkció
Figyelmébe ajánljuk a függvénygrafikonok online összeállítására szolgáló szolgáltatást, amelynek minden joga a céget illeti Desmos. A bal oldali oszlop segítségével adja meg a függvényeket. Beírhat kézzel vagy az ablak alján található virtuális billentyűzet segítségével. Az ablak grafikonnal való nagyításához elrejtheti a bal oldali oszlopot és a virtuális billentyűzetet is.
Az online térképezés előnyei
- A bevitt funkciók vizuális megjelenítése
- Nagyon összetett grafikonok készítése
- Implicit módon megadott gráfok felépítése (például ellipszis x^2/9+y^2/16=1)
- Lehetőség a diagramok mentésére és a rájuk mutató hivatkozás fogadására, amely mindenki számára elérhetővé válik az interneten
- Skála, vonalszín szabályozása
- Grafikonok pontonkénti ábrázolásának lehetősége, állandók használatával
- Több függvénygrafikon egyidejű ábrázolása
- Polárkoordináták ábrázolása (használjon r és θ(\theta))
Nálunk könnyű különféle bonyolultságú grafikonokat készíteni online. Az építkezés azonnal megtörténik. Igény van a szolgáltatásra a függvények metszéspontjainak megtalálására, gráfok ábrázolására, azok Word dokumentumba történő további áthelyezésére, feladatmegoldáskor illusztrációként, valamint a függvénygráfok viselkedési sajátosságainak elemzésére. Az ezen a weboldalon található diagramok használatához az optimális böngésző a Google Chrome. Más böngészők használata esetén a megfelelő működés nem garantált.
Válasszunk egy téglalap alakú koordináta rendszert a síkon, és ábrázoljuk az argumentum értékeit az abszcissza tengelyen x, és az ordinátán - a függvény értékei y = f(x).
Függvénygrafikon y = f(x) Az összes olyan pont halmaza, amelyek abszcisszán a függvény definíciós tartományába tartoznak, és az ordináták megegyeznek a függvény megfelelő értékeivel.
Más szóval, az y = f (x) függvény grafikonja a sík összes pontjának halmaza, koordináták X, nál nél amelyek kielégítik a kapcsolatot y = f(x).
ábrán. A 45. és 46. ábra a függvények grafikonját mutatja y = 2x + 1És y = x 2 - 2x.
Szigorúan véve különbséget kell tenni egy függvény grafikonja között (amelynek pontos matematikai definícióját fentebb megadtuk) és a rajzolt görbét, amely mindig csak többé-kevésbé pontos vázlatot ad a gráfról (és általában akkor is, nem a teljes gráfot, hanem csak annak egy részét, amely a sík utolsó részein található). A következőkben azonban általában „grafikont” fogunk mondani, nem pedig „grafikonvázlatot”.
Grafikon segítségével megkeresheti egy függvény értékét egy pontban. Mégpedig ha a lényeg x = a a függvény definíciójának tartományába tartozik y = f(x), majd a szám megkereséséhez f(a)(azaz a pont függvényértékei x = a) ezt meg kell tennie. Az abszcissza ponton keresztül szükséges x = a rajzoljunk az ordinatatengellyel párhuzamos egyenest; ez az egyenes metszi a függvény grafikonját y = f(x) egy ponton; ennek a pontnak az ordinátája a gráf definíciója értelmében egyenlő lesz f(a)(47. ábra).
Például a funkcióhoz f(x) = x 2 - 2x a grafikon segítségével (46. ábra) f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 stb.
A függvénygráf egyértelműen szemlélteti egy függvény viselkedését és tulajdonságait. Például az ábra figyelembevételével. 46 egyértelmű, hogy a függvény y = x 2 - 2x akkor vesz fel pozitív értékeket x< 0 és at x > 2, negatív - 0-nál< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xórakor fogadja x = 1.
Függvény ábrázolása f(x) meg kell találni a sík összes pontját, koordinátáit x,nál nél amelyek kielégítik az egyenletet y = f(x). A legtöbb esetben ez lehetetlen megtenni, mivel végtelen számú ilyen pont van. Ezért a függvény grafikonja megközelítőleg - kisebb-nagyobb pontossággal - van ábrázolva. A legegyszerűbb a grafikon több pont felhasználásával történő ábrázolásának módszere. Abból áll, hogy az érv x adjon meg véges számú értéket - mondjuk x 1, x 2, x 3,..., x k, és hozzon létre egy táblázatot, amely tartalmazza a kiválasztott függvényértékeket.
A táblázat így néz ki:
Egy ilyen táblázat összeállítása után több pontot is felvázolhatunk a függvény grafikonján y = f(x). Ezután ezeket a pontokat egy sima vonallal összekötve hozzávetőleges képet kapunk a függvény grafikonjáról y = f(x).
Meg kell azonban jegyezni, hogy a többpontos ábrázolási módszer nagyon megbízhatatlan. Valójában a gráf viselkedése a tervezett pontok között és viselkedése a felvett szélső pontok közötti szakaszon kívül ismeretlen marad.
1. példa. Függvény ábrázolása y = f(x) valaki összeállított egy táblázatot argumentum- és függvényértékekről:
A megfelelő öt pontot az ábra mutatja. 48.
E pontok elhelyezkedése alapján arra a következtetésre jutott, hogy a függvény grafikonja egy egyenes (a 48. ábrán a pontozott vonal mutatja). Megbízhatónak tekinthető ez a következtetés? Hacsak nincsenek további megfontolások e következtetés alátámasztására, aligha tekinthető megbízhatónak. megbízható.
Állításunk alátámasztásához vegyük figyelembe a függvényt
.
A számítások azt mutatják, hogy ennek a függvénynek az értékeit a -2, -1, 0, 1, 2 pontokban pontosan leírja a fenti táblázat. Ennek a függvénynek a grafikonja azonban egyáltalán nem egyenes (a 49. ábrán látható). Egy másik példa a függvény lehet y = x + l + sinπx; jelentését a fenti táblázat is leírja.
Ezek a példák azt mutatják, hogy „tiszta” formájában a gráf több pontból történő ábrázolásának módszere megbízhatatlan. Ezért egy adott függvény grafikonjának ábrázolásához általában a következőképpen járunk el. Először ennek a függvénynek a tulajdonságait tanulmányozzuk, melynek segítségével elkészíthetjük a gráf vázlatát. Ezután a függvény értékeinek több ponton történő kiszámításával (amelyek kiválasztása a függvény megállapított tulajdonságaitól függ), megtalálják a grafikon megfelelő pontjait. Végül pedig a függvény tulajdonságait felhasználva görbét rajzolunk a megszerkesztett pontokon.
A későbbiekben a gráfvázlat megtalálásához használt függvények néhány (a legegyszerűbb és leggyakrabban használt) tulajdonságát nézzük meg, most azonban a gráfok felépítésének néhány általánosan használt módszerét tekintjük át.
Az y = |f(x)| függvény grafikonja.
Gyakran szükséges egy függvény ábrázolása y = |f(x)|, hol f(x) - adott funkciót. Hadd emlékeztessük, hogyan történik ez. Egy szám abszolút értékének meghatározásával írhatunk
Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja y =|f(x)| a grafikonból, függvényből nyerhető y = f(x) a következőképpen: a függvény grafikonjának minden pontja y = f(x), amelynek ordinátái nem negatívak, változatlanul hagyandók; továbbá a függvény grafikonjának pontjai helyett y = f(x) negatív koordinátákkal meg kell alkotnia a megfelelő pontokat a függvény grafikonján y = -f(x)(azaz a függvény grafikonjának része
y = f(x), amely a tengely alatt fekszik X, szimmetrikusan kell tükröződnie a tengely körül x).
2. példaÁbrázolja a függvényt y = |x|.
Vegyük a függvény grafikonját y = x(50. ábra, a) és ennek a grafikonnak egy része at x< 0 (a tengely alatt fekszik x) szimmetrikusan tükröződik a tengelyhez képest x. Ennek eredményeként a függvény grafikonját kapjuk y = |x|(50. ábra, b).
3. példa. Ábrázolja a függvényt y = |x 2 - 2x|.
Először ábrázoljuk a függvényt y = x 2 - 2x. Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola, melynek ágai felfelé irányulnak, a parabola csúcsának koordinátái (1; -1), grafikonja 0 és 2 pontokban metszi az x tengelyt. A (0; 2) a függvény negatív értékeket vesz fel, ezért a grafikonnak ez a része szimmetrikusan tükröződik az abszcissza tengelyhez képest. Az 51. ábra a függvény grafikonját mutatja y = |x 2 -2x|, a függvény grafikonja alapján y = x 2 - 2x
Az y = f(x) + g(x) függvény grafikonja
Tekintsük egy függvény gráfjának felépítésének problémáját y = f(x) + g(x). ha függvénygrafikonok adottak y = f(x)És y = g(x).
Figyeljük meg, hogy az y függvény definíciós tartománya = |f(x) + g(x)| az x mindazon értékeinek halmaza, amelyekre mind az y = f(x) és az y = g(x) függvény definiálva van, azaz ez a definíciós tartomány a definíciós tartományok, az f(x) függvények metszéspontja. és g(x).
Hagyja a pontokat (x 0, y 1) És (x 0, y 2) ill. a függvénygráfokhoz tartoznak y = f(x)És y = g(x), azaz y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Ekkor az (x0;. y1 + y2) pont a függvény grafikonjához tartozik y = f(x) + g(x)(mert f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. és a függvény grafikonjának bármely pontja y = f(x) + g(x)így lehet megszerezni. Ezért a függvény grafikonja y = f(x) + g(x) függvénygráfokból kaphatjuk meg y = f(x). És y = g(x) minden pont cseréje ( x n, y 1) funkciógrafika y = f(x) pont (x n, y 1 + y 2), Ahol y 2 = g(x n), azaz az egyes pontok eltolásával ( x n, y 1) függvénygrafikon y = f(x) a tengely mentén nál nél az összeggel y 1 = g(x n). Ebben az esetben csak az ilyen pontokat veszik figyelembe x n, amelyre mindkét függvény definiálva van y = f(x)És y = g(x).
Ez a függvény ábrázolási módszer y = f(x) + g(x) függvények grafikonjainak összeadásának nevezzük y = f(x)És y = g(x)
4. példa. Az ábrán a függvény grafikonját grafikonok összeadásának módszerével készítettük el
y = x + sinx.
Függvény ábrázolásakor y = x + sinx azt gondoltuk f(x) = x, A g(x) = sinx. A függvénygrafikon ábrázolásához a pontokat -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2 abszciszákkal választjuk ki. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Számoljunk a kiválasztott pontokon, és helyezzük el az eredményeket a táblázatban!
Korábban más függvényeket is tanulmányoztunk, például a lineárist, emlékezzünk vissza a szabványos formájára:
innen ered a nyilvánvaló alapvető különbség – a lineáris függvényben x első fokon áll, és az új funkcióban kezdjük tanulmányozni, xáll a második hatalomhoz.
Emlékezzünk vissza, hogy egy lineáris függvény grafikonja egy egyenes, a függvény grafikonja pedig, mint látni fogjuk, egy parabolának nevezett görbe.
Kezdjük azzal, hogy megtudjuk, honnan származik a képlet. A magyarázat a következő: ha adunk egy négyzetet oldallal A, akkor a területét a következőképpen számíthatjuk ki:
Ha megváltoztatjuk egy négyzet oldalának hosszát, akkor a területe is megváltozik.
Tehát ez az egyik oka annak, hogy a függvényt tanulmányozzák
Emlékezzünk arra, hogy a változó x- ez egy független változó, vagy argumentum, fizikai értelmezésben lehet például idő. A távolság éppen ellenkezőleg, függő változó, az időtől függ. A függő változó vagy függvény egy változó nál nél.
Ez a megfelelés törvénye, amely szerint minden érték x egyetlen érték van hozzárendelve nál nél.
Bármely megfelelési törvénynek meg kell felelnie az érvtől a funkcióig terjedő egyediség követelményének. Fizikai értelmezésben ez a távolság időfüggésének példáján keresztül egészen világosnak tűnik: az idő minden pillanatában egy bizonyos távolságra vagyunk a kiindulási ponttól, és lehetetlen egyszerre 10 és 20 kilométerre lenni a kezdettől. az utazás egyidejűleg a t időpontban.
Ugyanakkor minden függvényérték több argumentumértékkel is elérhető.
Tehát létre kell hoznunk a függvény grafikonját, ehhez egy táblázatot kell készítenünk. Ezután tanulmányozza a függvényt és tulajdonságait a grafikon segítségével. De még mielőtt a függvény típusa alapján megszerkesztenénk a gráfot, elmondhatunk valamit a tulajdonságairól: nyilvánvaló, hogy nál nél nem vehet fel negatív értékeket, mivel
Tehát készítsünk egy táblázatot:
Rizs. 1
A grafikonról könnyen megjegyezhető a következő tulajdonságok:
Tengely nál nél- ez a gráf szimmetriatengelye;
A parabola csúcsa pont (0; 0);
Látjuk, hogy a függvény csak nem negatív értékeket fogad el;
Abban az intervallumban, ahol 
a függvény csökken, és azon az intervallumon, ahol a függvény növekszik;
A függvény a legkisebb értékét a csúcson kapja, 
;
Egy függvénynek nincs legnagyobb értéke;
1. példa
Feltétel:
Megoldás:
Mert a x egy adott intervallumon bekövetkező feltétel változással a függvényről azt mondhatjuk, hogy az intervallumon növekszik és változik. A függvénynek ezen az intervallumon van egy minimális és egy maximális értéke
Rizs. 2. Az y = x 2, x ∈ függvény grafikonja
2. példa
Feltétel: Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét:
Megoldás:
x változik az intervallum során, ami azt jelenti nál nél csökken a while intervallumon, és nő a while intervallumon.
Tehát a változás határai x, és a változás határai nál nél, és ezért egy adott intervallumon van a függvénynek egy minimális értéke és egy maximuma is
Rizs. 3. Az y = x 2, x ∈ [-3] függvény grafikonja; 2]
Illusztráljuk, hogy ugyanaz a függvényérték több argumentumértékkel is elérhető.
Lecke: Hogyan készítsünk parabolát vagy másodfokú függvényt?
ELMÉLETI RÉSZ
A parabola az ax 2 +bx+c=0 képlettel leírt függvény grafikonja.
A parabola felépítéséhez egy egyszerű algoritmust kell követnie:
1) Parabola képlet y=ax 2 +bx+c,
Ha a>0 akkor a parabola ágai irányulnak fel,
egyébként a parabola ágai irányítottak le-.
Ingyenes tag c ez a pont metszi a parabolát az OY tengellyel;
2), a képlet segítségével találjuk meg x=(-b)/2a, behelyettesítjük a talált x-et a parabola egyenletbe, és megtaláljuk y;
3)Funkció nullák vagy más szóval a parabola OX tengellyel való metszéspontjai, ezeket az egyenlet gyökeinek is nevezik. A gyökök megtalálásához az egyenletet 0-val egyenlővé tesszük ax 2 +bx+c=0;
Az egyenletek típusai:
a) A teljes másodfokú egyenlet alakja ax 2 +bx+c=0és a diszkrimináns oldja meg;
b) A forma hiányos másodfokú egyenlete ax 2 +bx=0. A megoldáshoz ki kell venni x-et a zárójelekből, majd minden tényezőt 0-val egyenlővé kell tenni:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 és ax+b=0;
c) A forma hiányos másodfokú egyenlete ax 2 +c=0. A megoldáshoz az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra kell mozgatni. x =±√(c/a);
4) Keressen néhány további pontot a függvény összeállításához.
GYAKORLATI RÉSZ
És most egy példa segítségével mindent lépésről lépésre elemzünk:
1. példa:
y=x 2 +4x+3
c=3 azt jelenti, hogy a parabola OY-t az x=0 y=3 pontban metszi. A parabola ágai felfelé néznek, mivel a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 csúcs a (-2;-1) pontban van
Keressük meg az x 2 +4x+3=0 egyenlet gyökereit
A diszkrimináns segítségével megtaláljuk a gyökereket
a=1 b=4 c=3
D=b 2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Vegyünk több tetszőleges pontot, amelyek az x = -2 csúcs közelében találhatók
x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3
Helyettesítsen be x helyett az y=x 2 +4x+3 egyenletet
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
A függvényértékekből látható, hogy a parabola szimmetrikus az x = -2 egyenesre
2. példa:
y=-x 2 +4x
c=0 azt jelenti, hogy a parabola OY-t az x=0 y=0 pontban metszi. A parabola ágai lefelé néznek, mivel a=-1 -1 Keressük meg a -x 2 +4x=0 egyenlet gyökereit
Hiányos másodfokú egyenlet ax 2 +bx=0 alakú. A megoldáshoz ki kell venni x-et a zárójelekből, majd minden tényezőt 0-val egyenlővé kell tenni.
x(-x+4)=0, x=0 és x=4.
Vegyünk néhány tetszőleges pontot, amelyek az x=2 csúcs közelében találhatók
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Helyettesíts be x helyett az y=-x egyenletbe 2 +4x értékeket
y=0 2 +4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
A függvényértékekből látható, hogy a parabola szimmetrikus az x = 2 egyenesre
3. példa
y=x 2-4
c=4 azt jelenti, hogy a parabola OY-t az x=0 y=4 pontban metszi. A parabola ágai felfelé néznek, mivel a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 a csúcs a (0) pontban van;- 4 )
Keressük meg az x 2 -4=0 egyenlet gyökereit
Hiányos másodfokú egyenlet ax 2 +c=0 alakú. A megoldáshoz az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra kell mozgatni. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2
Vegyünk néhány tetszőleges pontot, amelyek az x=0 csúcs közelében találhatók
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Helyettesítse be x helyett az y= x egyenletet 2 -4 értékkel
y=(-2) 2-4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=2 2-4=4-4=0
A függvényértékekből látható, hogy a parabola szimmetrikus az x = 0 egyenesre
Iratkozz fel a YOUTUBE csatornájára hogy lépést tartson az összes új termékkel, és velünk készüljön a vizsgákra.
„Természetes logaritmus” - 0,1. Természetes logaritmusok. 4. Logaritmikus darts. 0,04. 7.121.
„Power function grade 9” – U. Köbös parabola. Y = x3. 9. osztályos tanár Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y = xn, y = x-n ahol n egy adott természetes szám. X. A kitevő egy páros természetes szám (2n).
„Másodfokú függvény” - 1 Másodfokú függvény definíciója 2 Függvény tulajdonságai 3 Függvény grafikonjai 4 Másodfokú egyenlőtlenségek 5 Következtetés. Tulajdonságok: Egyenlőtlenségek: Andrey Gerlitz 8A osztályos tanuló készítette. Terv: Grafikon: -A monotonitás intervallumai a > 0 esetén a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
„Kvadratikus függvény és grafikonja” - Megoldás.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-tartozik. Ha a=1, az y=ax képlet a következő alakot veszi fel.
„8. osztályos másodfokú függvény” - 1) Szerkessze meg egy parabola csúcsát! Másodfokú függvény grafikonjának ábrázolása. x. -7. Szerkessze meg a függvény grafikonját. Algebra 8. osztály Tanító 496 Bovina iskola T.V. -1. Építési terv. 2) Szerkessze meg az x=-1 szimmetriatengelyt! y.
