Informacje katalogowe
Tytuł
Podstawowa algebra liniowa.
(Godziny zaliczenia: godziny wykładów: godziny laboratorium)
Oferowany
Warunek wstępny
Minimalne efekty uczenia się
Po ukończeniu tego kursu, pomyślny student będzie mógł:
- Użyj eliminacji Gaussa, aby wykonać wszystkie poniższe czynności: rozwiązać układ liniowy ze zredukowaną formą rzutu rzędowego, rozwiązać układ liniowy z postacią rzutu rzędowego i podstawieniem wstecznym, znaleźć odwrotność danej macierzy i znaleźć wyznacznik danej macierzy.
- Wykazać biegłość w algebrze macierzy. W przypadku mnożenia macierzy wykaż zrozumienie prawa łączenia, prawa odwrotnej kolejności dla odwrotności i transpozycji oraz zawodności prawa przemienności i prawa anulowania.
- Użyj reguły Cramera do rozwiązania układu liniowego.
- Użyj kofaktorów, aby znaleźć odwrotność danej macierzy i wyznacznik danej macierzy.
- Ustalić, czy zbiór o danym pojęciu dodawania i mnożenia przez skalar jest przestrzenią wektorową. Tutaj i w odpowiednich liczbach poniżej zapoznaj się z przykładami o skończonych i nieskończonych wymiarach.
- Ustalić, czy dany podzbiór przestrzeni wektorowej jest podprzestrzenią.
- Określ, czy dany zbiór wektorów jest liniowo niezależny, rozpinany, czy też jest bazą.
- Wyznaczyć wymiar danej przestrzeni wektorowej lub danej podprzestrzeni.
- Znajdź podstawy przestrzeni zerowej, przestrzeni wierszy i przestrzeni kolumn danej macierzy i określ jej rząd.
- Wykazać zrozumienie twierdzenia rangi o nieważności i jego zastosowań.
- Mając opis transformacji liniowej, znajdź jej macierzową reprezentację w odniesieniu do danych podstaw.
- Wykazać zrozumienie związku pomiędzy podobieństwem a zmianą podstawy.
- Znajdź normę wektora i kąt między dwoma wektorami w przestrzeni iloczynu wewnętrznego.
- Użyj iloczynu wewnętrznego, aby wyrazić wektor w przestrzeni iloczynu wewnętrznego jako kombinację liniową ortogonalnego zbioru wektorów.
- Znajdź dopełnienie ortogonalne danej podprzestrzeni.
- Wykazać zrozumienie zależności między przestrzenią wierszy, przestrzenią kolumn i przestrzenią zerową macierzy (i jej transpozycją) poprzez dopełnienia ortogonalne.
- Wykazać zrozumienie nierówności Cauchy'ego-Schwartza i jej zastosowań.
- Ustal, czy przestrzeń wektorowa o postaci (seskwiliniowej) jest przestrzenią iloczynu wewnętrznego.
- Użyj procesu Grama-Schmidta, aby znaleźć bazę ortonormalną wewnętrznej przestrzeni iloczynu. Być w stanie to zrobić zarówno w R n oraz w przestrzeniach funkcyjnych, które są wewnętrznymi przestrzeniami iloczynów.
- Użyj metody najmniejszych kwadratów, aby dopasować linię ( y = topór + B) do tabeli danych, narysuj linię i punkty danych oraz wyjaśnij znaczenie metody najmniejszych kwadratów w kontekście rzutowania ortogonalnego.
- Skorzystaj z idei najmniejszych kwadratów, aby znaleźć rzuty ortogonalne na podprzestrzenie i dopasować krzywą wielomianową.
- Znajdź (rzeczywiste i złożone) wartości własne i wektory własne macierzy 2 × 2 lub 3 × 3.
- Określ, czy dana macierz jest diagonalizowalna. Jeśli tak, znajdź macierz, która ją diagonalizuje poprzez podobieństwo.
- Wykazać zrozumienie zależności pomiędzy wartościami własnymi macierzy kwadratowej i jej wyznacznikiem, jej śladem oraz jej odwracalnością/osobliwością.
- Identyfikować macierze symetryczne i ortogonalne.
- Znajdź macierz, która prostopadle diagonalizuje daną macierz symetryczną.
- Zna i potrafi zastosować twierdzenie spektralne dla macierzy symetrycznych.
- Znać i umieć zastosować rozkład wartości osobliwych.
- Poprawnie zdefiniuj pojęcia i podaj przykłady odnoszące się do powyższych pojęć.
- Udowodnij podstawowe twierdzenia dotyczące powyższych pojęć.
- Udowodnij lub obal twierdzenia dotyczące powyższych pojęć.
- Być biegły w ręcznych obliczeniach w celu redukcji wierszy, inwersji macierzy i podobnych problemów; do rozwiązywania problemów z algebrą liniową użyj MATLAB-a lub podobnego programu.
Łesia M. Ohniwczuk
Abstrakcyjny
W artykule rozważono możliwość rozszerzenia funkcjonalności LMS Moodle przy tworzeniu kursów e-learningowych dla nauk matematycznych, w szczególności kursów e-learningowych „Matematyka Elementarna” przy wykorzystaniu technologii flash i apletów Java. Przykłady użycia aplikacji flash i apletów Java znajdują się na kursie „Matematyka podstawowa”.
Słowa kluczowe
Moodle LMS; kursy e-learningowe; technologia flash; Aplet Java, GeoGebra
Bibliografia
Brandão, LO, „iGeom: darmowe oprogramowanie do dynamicznej geometrii w Internecie”, Międzynarodowa Konferencja na temat Nauk Ścisłych i Edukacji Matematycznej, Rio de Janeiro, Brazylia, 2002.
Brandão, L. O. i Eisnmann, A. L. K. „Work in Progress: iComb Project - matematyczny widget do nauczania i uczenia się kombinatoryki poprzez ćwiczenia” Materiały z 39. konferencji ASEE/IEEE Frontiers in Education, 2009, T4G_1–2
Kamiya, R. H i Brandão, L. O. „iVProg – system do wstępnego programowania poprzez model wizualny w Internecie. Proceedings of XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (w języku portugalskim).
Moodle.org: narzędzia społecznościowe typu open source do nauki [Zasoby elektroniczne]. – Tryb dostępu: http://www.moodle.org.
MoodleDocs [Zasoby elektroniczne]. – Tryb dostępu: http://docs.moodle.org.
Technologie interaktywne: teoria, praktyka, dowody: przewodnik metodyczny po automatycznej instalacji: O. Pometun, L. Pirozhenko. – K.: APN; 2004. – 136 s.
Dmitrij Pupinin. Typ pytania: Flash [Zasoby elektroniczne]. – Tryb dostępu: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26.02.14.
Andreev A.V., Gerasimenko P.S. Używanie Flasha i SCORM do tworzenia końcowych zadań kontrolnych [Zasoby elektroniczne]. – Tryb dostępu: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 –02.26.14.
GeoGebra. Materiały [Zasoby elektroniczne]. – Tryb dostępu: http://tube.geogebra.org.
Hohenvator M. Wprowadzenie do GeoGebra / M. Hohenvator / tłum. T. S. Ryabova. – 2012. – 153 s.
BIBLIOGRAFIA (TŁUMACZONA I TRANSLITEROWANA)
Brandão, LO „iGeom: darmowe oprogramowanie do dynamicznej geometrii w Internecie”, Międzynarodowa Konferencja na temat Nauk Ścisłych i Edukacji Matematycznej, Rio de Janeiro, Brazylia, 2002 (w języku angielskim).
Brandão, L. O. i Eisnmann, A. L. K. „Work in Progress: iComb Project - matematyczny widget do nauczania i uczenia się kombinatoryki poprzez ćwiczenia” Proceedings of the 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G_1–2 (w języku angielskim).
Kamiya, R. H i Brandão, L. O. „iVProg – system do wstępnego programowania poprzez model wizualny w Internecie. Proceedings of XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (w języku angielskim).
Moodle.org: narzędzia społecznościowe typu open source do nauki. – Dostępne na stronie: http://www.moodle.org (w języku angielskim).
Dokumenty Moodle. – Dostępne pod adresem: http://docs.moodle.org (w języku angielskim).
Pometun O. I., Pirozhenko L. V. Lekcja współczesna, Kijów, ASK Publ., 2004, 192 s. (w języku ukraińskim).
Dmitrij Pupinin. Typ pytania: Flash. – Dostępne pod adresem: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26.02.14 (w języku angielskim).
Andreev A., Gerasimenko R. Wykorzystanie Flasha i SCORM do tworzenia ostatecznej kontroli zadań. – Dostępne pod adresem: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 26.02.14 (w języku rosyjskim).
Wiki o GeoGerze. – Dostępne na stronie: http://www.geogebra.org (w języku angielskim).
Hohenwarter M. Wprowadzenie do GeoGebra / M. Hohenwarter. – 2012 r. – 153 s. (po angielsku).
DOI: https://doi.org/10.33407/itlt.v48i4.1249
Copyright (c) 2015 Lesia M. Ohnivchuk
W problemie komiwojażera, aby wytyczyć optymalną trasę wokół n miast, należy wybrać najlepszą z (n-1)! opcje w oparciu o czas, koszt lub długość trasy. Problem ten polega na wyznaczeniu cyklu Hamiltona o minimalnej długości. W takim przypadku zbiór wszystkich możliwych rozwiązań należy przedstawić w postaci drzewa – połączonego wykresu, który nie zawiera cykli ani pętli. Korzeń drzewa łączy cały zestaw opcji, a wierzchołki drzewa są podzbiorami częściowo uporządkowanych opcji rozwiązań.
Cel usługi. Korzystając z usługi możesz sprawdzić swoje rozwiązanie lub uzyskać nowe rozwiązanie problemu komiwojażera, korzystając z dwóch metod: metody oddziałowej i powiązanej oraz metody węgierskiej.
Model matematyczny problemu komiwojażera
Sformułowany problem jest problemem całkowitym. Niech x ij =1, jeśli podróżny przemieszcza się z i-tego miasta do j-tego oraz x ij =0, jeśli tak nie jest.Formalnie wprowadzamy (n+1) miasto położone w tym samym miejscu co miasto pierwsze, tj. odległości od (n+1) miast do dowolnego innego miasta niż pierwsze są równe odległościom od pierwszego miasta. Co więcej, jeśli możesz opuścić tylko pierwsze miasto, możesz przyjechać tylko do miasta (n+1).
Wprowadźmy po drodze dodatkowe zmienne całkowite równe liczbie wizyt w tym mieście. u 1 =0, u n +1 =n. Aby uniknąć zamkniętych ścieżek, należy opuścić pierwsze miasto i wrócić do (n+1), wprowadzamy dodatkowe ograniczenia łączące zmienne x ij ze zmiennymi u i (u i są liczbami całkowitymi nieujemnymi).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, gdzie i=1 j≠n+1
0≤u ja ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n
Metody rozwiązywania problemu komiwojażera
- metoda rozgałęziona i związana (algorytm Little'a lub eliminacja podcykli). Przykład rozwiązania rozgałęzionego i powiązanego;
- Metoda węgierska. Przykład rozwiązania wykorzystującego metodę węgierską.
Algorytm Little'a lub eliminacja podcykli
- Operacja redukcji wzdłuż wierszy: w każdym wierszu macierzy znajduje się minimalny element d min i odejmuje się go od wszystkich elementów odpowiedniego wiersza. Dolna granica: H=∑d min.
- Operacja redukcji według kolumn: w każdej kolumnie macierzy wybierz element minimalny d min i odejmij go od wszystkich elementów odpowiedniej kolumny. Dolna granica: H=H+∑d min.
- Stała redukcji H jest dolną granicą zbioru wszystkich dopuszczalnych konturów Hamiltona.
- Znajdowanie potęg zer dla macierzy danej przez wiersze i kolumny. Aby to zrobić, tymczasowo zamień zera w macierzy na znak „∞” i znajdź sumę minimalnych elementów wiersza i kolumny odpowiadających temu zerowi.
- Wybierz łuk (i,j), dla którego stopień elementu zerowego osiąga wartość maksymalną.
- Zbiór wszystkich konturów Hamiltona dzieli się na dwa podzbiory: podzbiór konturów Hamiltona zawierających łuk (i,j) i tych, które go nie zawierają (i*,j*). Aby otrzymać macierz konturów zawierającą łuk (i,j), należy przekreślić w macierzy wiersz i kolumnę j. Aby zapobiec tworzeniu się konturu innego niż Hamiltona, należy zastąpić element symetryczny (j,i) znakiem „∞”. Eliminację łuku osiąga się poprzez zastąpienie elementu w matrycy ∞.
- Macierz konturów Hamiltona redukuje się poprzez poszukiwanie stałych redukcji H(i,j) i H(i*,j*) .
- Porównuje się dolne granice podzbioru krzywych Hamiltona H(i,j) i H(i*,j*). Jeśli H(i,j)
- Jeżeli w wyniku rozgałęzienia otrzymana zostanie macierz (2x2), wówczas wyznaczany jest kontur Hamiltona uzyskany w wyniku rozgałęzienia oraz jego długość.
- Długość konturu Hamiltona porównuje się z dolnymi granicami zwisających gałęzi. Jeżeli długość konturu nie przekracza ich dolnych granic, problem zostaje rozwiązany. W przeciwnym wypadku rozwijane są gałęzie podzbiorów z dolną granicą mniejszą niż wynikowy kontur, aż do uzyskania trasy o krótszej długości.
Przykład. Rozwiąż problem komiwojażera za pomocą macierzy, korzystając z algorytmu Little'a
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Rozwiązanie. Przyjmijmy dowolną trasę: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Wtedy F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Aby określić dolną granicę zbioru, używamy operacja redukcji lub redukując macierz wiersz po wierszu, dla której należy znaleźć element minimalny w każdym wierszu macierzy D: d i = min(j) d ij
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
re j = min(i) re ij
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Elementy macierzy d ij odpowiadają odległości od punktu i do punktu j.
Ponieważ w macierzy jest n miast, to D jest macierzą nxn z elementami nieujemnymi d ij ≥ 0
Każda ważna trasa reprezentuje cykl, w którym komiwojażer odwiedza miasto tylko raz i wraca do pierwotnego miasta.
Długość trasy określa się wzorem: F(M k) = ∑d ij
Ponadto każdy wiersz i kolumna jest uwzględniona w trasie tylko raz z elementem d ij .
Krok 1.
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (0 + 6) = 6 dla krawędzi (5,2), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (5,2) i (5*,2*).
Wykluczenie krawędzi(5.2) przeprowadza się zastępując element d 52 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (5*,2*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Włączanie krawędzi(5.2) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów 5. rzędu i 2. kolumny, w których element d 25 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dolna granica podzbioru (5,2) jest równa: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Ponieważ dolna granica tego podzbioru (5,2) jest mniejsza niż podzbioru (5*,2*), uwzględniamy krawędź (5,2) w trasie z nową granicą H = 35
Krok 2.
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia i podziel cały zbiór tras względem tej krawędzi na dwa podzbiory (i, j) i (i*, j*).
W tym celu dla wszystkich komórek macierzy z elementami zerowymi zastępujemy po kolei zera M (nieskończonością) i wyznaczamy dla nich sumę powstałych stałych redukcyjnych, które podano w nawiasach.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| dj | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (0 + 9) = 9 dla krawędzi (4,3), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (4,3) i (4*,3*).
Wykluczenie krawędzi(4.3) przeprowadzamy zastępując element d 43 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (4*,3*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| dj | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Włączanie krawędzi(4.3) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów 4. rzędu i 3. kolumny, w których element d 34 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
Po operacji redukcji zredukowana macierz będzie wyglądać następująco:
| ja j | 1 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| dj | 0 | 2 | 0 | 7 |
Dolna granica podzbioru (4,3) jest równa: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Ponieważ 42 > 41, wykluczamy podzbiór (5,2) do dalszego rozgałęzienia.
Wracamy do poprzedniego planu X 1.
Zaplanuj X 1.
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia i podziel cały zbiór tras względem tej krawędzi na dwa podzbiory (i, j) i (i*, j*).
W tym celu dla wszystkich komórek macierzy z elementami zerowymi zastępujemy po kolei zera M (nieskończonością) i wyznaczamy dla nich sumę powstałych stałych redukcyjnych, które podano w nawiasach.
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (0 + 6) = 6 dla krawędzi (4,2), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (4,2) i (4*,2*).
Wykluczenie krawędzi(4.2) przeprowadza się zastępując element d 42 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (4*,2*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Włączanie krawędzi(4.2) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów 4. rzędu i 2. kolumny, w których element d 24 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
W rezultacie otrzymujemy kolejną zredukowaną macierz (4 x 4), która podlega operacji redukcji.
Po operacji redukcji zredukowana macierz będzie wyglądać następująco:
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dolna granica podzbioru (4,2) jest równa: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Ponieważ dolna granica tego podzbioru (4,2) jest mniejsza niż podzbioru (4*,2*), uwzględniamy krawędź (4,2) w trasie z nową granicą H = 41
Krok 2.
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia i podziel cały zbiór tras względem tej krawędzi na dwa podzbiory (i, j) i (i*, j*).
W tym celu dla wszystkich komórek macierzy z elementami zerowymi zastępujemy po kolei zera M (nieskończonością) i wyznaczamy dla nich sumę powstałych stałych redukcyjnych, które podano w nawiasach.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| dj | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (4 + 5) = 9 dla krawędzi (1,5), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (1,5) i (1*,5*).
Wykluczenie krawędzi(1.5) przeprowadzamy zastępując element d 15 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (1*,5*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Włączanie krawędzi(1.5) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów pierwszego rzędu i piątej kolumny, w których element d 51 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
W rezultacie otrzymujemy kolejną zredukowaną macierz (3 x 3), która podlega operacji redukcji.
Po operacji redukcji zredukowana macierz będzie wyglądać następująco:
| ja j | 1 | 3 | 4 | ja |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 |
Dolna granica podzbioru (1,5) jest równa: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Ponieważ dolna granica tego podzbioru (1,5) jest mniejsza niż podzbioru (1*,5*), uwzględniamy krawędź (1,5) w trasie z nową granicą H = 41
Krok 3.
Wyznaczanie krawędzi rozgałęzienia i podziel cały zbiór tras względem tej krawędzi na dwa podzbiory (i, j) i (i*, j*).
W tym celu dla wszystkich komórek macierzy z elementami zerowymi zastępujemy po kolei zera M (nieskończonością) i wyznaczamy dla nich sumę powstałych stałych redukcyjnych, które podano w nawiasach.
| ja j | 1 | 3 | 4 | ja |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| dj | 6 | 9 | 0 | 0 |
Największa suma stałych redukcji wynosi (9 + 6) = 15 dla krawędzi (2,1), dlatego zbiór dzieli się na dwa podzbiory (2,1) i (2*,1*).
Wykluczenie krawędzi(2.1) przeprowadza się zastępując element d 21 = 0 przez M, po czym przeprowadzamy kolejną redukcję macierzy odległości dla powstałego podzbioru (2*,1*), w wyniku czego otrzymujemy macierz zredukowaną.
| ja j | 1 | 3 | 4 | ja |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| dj | 6 | 0 | 0 | 15 |
Włączanie krawędzi(2.1) przeprowadza się poprzez wyeliminowanie wszystkich elementów drugiego rzędu i pierwszej kolumny, w których element d 12 zastępuje się M, aby wyeliminować tworzenie się cyklu nieHamiltonowskiego.
W rezultacie otrzymujemy kolejną zredukowaną macierz (2 x 2), która podlega operacji redukcji.
Po operacji redukcji zredukowana macierz będzie wyglądać następująco:
| ja j | 3 | 4 | ja |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 |
∑d ja + ∑d jot = 0
Dolna granica podzbioru (2,1) jest równa: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Ponieważ dolna granica tego podzbioru (2,1) jest mniejsza niż podzbioru (2*,1*), uwzględniamy krawędź (2,1) w trasie z nową granicą H = 41.
Zgodnie z tą macierzą do trasy hamiltonowskiej uwzględniamy krawędzie (3,4) i (5,3).
W efekcie wzdłuż rozgałęziającego się drzewa cyklu Hamiltona krawędzie tworzą się:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Długość trasy wynosi F(Mk) = 41
Drzewo decyzyjne.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), H=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), H=47 | (4,2) | (4*,3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Test matematyczny SAT obejmuje szereg metod matematycznych, ze szczególnym naciskiem na rozwiązywanie problemów, modele matematyczne i strategiczne wykorzystanie wiedzy matematycznej.
Test SAT z matematyki: tak jak w prawdziwym świecie
Zamiast sprawdzać Cię z każdego tematu matematycznego, nowy egzamin SAT sprawdza Twoją umiejętność posługiwania się matematyką, na której będziesz polegać najczęściej i w wielu różnych sytuacjach. Pytania testowe z matematyki mają odzwierciedlać sposób rozwiązywania problemów i modele, z którymi będziesz miał do czynienia
Studia uniwersyteckie, bezpośrednio studiujące matematykę oraz nauki przyrodnicze i społeczne;
- Twoje codzienne zajęcia zawodowe;
- Twoje codzienne życie.
Przykładowo, aby odpowiedzieć na niektóre pytania, trzeba będzie wykonać kilka kroków – gdyż w prawdziwym świecie sytuacje, w których wystarczy jeden prosty krok, aby znaleźć rozwiązanie, zdarzają się niezwykle rzadko.
Format matematyczny SAT
Test matematyczny SAT: podstawowe fakty
Sekcja SAT Math koncentruje się na trzech obszarach matematyki, które odgrywają wiodącą rolę w większości przedmiotów akademickich w szkolnictwie wyższym i karierze zawodowej:
- Serce algebry: Podstawy algebry, która koncentruje się na rozwiązywaniu równań i układów liniowych;
- Rozwiązywanie problemów i analiza danych: Rozwiązywanie problemów i analiza danych niezbędnych do ogólnej znajomości matematyki;
- Paszport do zaawansowanej matematyki: Podstawy zaawansowanej matematyki, która zadaje pytania wymagające manipulowania złożonymi równaniami.
Test z matematyki uwzględnia także dodatkowe tematy z matematyki, w tym geometrię i trygonometrię, które są najważniejsze dla studiów uniwersyteckich i kariery zawodowej.
Test matematyczny SAT: wideo
Podstawy algebry
Serce algebry
Ta część SAT Math skupia się na algebrze i kluczowych pojęciach, które są najważniejsze dla osiągnięcia sukcesu na studiach i w karierze. Ocenia zdolność uczniów do swobodnego analizowania, rozwiązywania i konstruowania równań i nierówności liniowych. Studenci będą również zobowiązani do analizowania i płynnego rozwiązywania równań i układów równań przy użyciu wielu metod.Aby w pełni ocenić wiedzę z tego materiału, problemy będą znacznie różnić się rodzajem i treścią. Mogą być dość proste lub wymagać strategicznego myślenia i zrozumienia, na przykład interpretowania interakcji między wyrażeniami graficznymi i algebraicznymi lub przedstawiania rozwiązania w formie procesu rozumowania. Osoby przystępujące do testu muszą wykazać się nie tylko znajomością technik rozwiązywania problemów, ale także głębszym zrozumieniem pojęć leżących u podstaw równań i funkcji liniowych. SAT Math Fundamentals of Algebra jest oceniany w skali od 1 do 15.
W tej części znajdą się zadania, do których odpowiedź jest wielokrotnego wyboru lub samodzielnie obliczana przez studenta. Korzystanie z kalkulatora jest czasami dozwolone, ale nie zawsze jest konieczne lub zalecane.
1. Konstruować, rozwiązywać lub interpretować wyrażenie liniowe lub równanie z jedną zmienną w kontekście określonych warunków. Wyrażenie lub równanie może mieć wymierne współczynniki, a uproszczenie wyrażenia lub rozwiązanie równania może wymagać kilku kroków.
2. Konstruować, rozwiązywać lub interpretować nierówności liniowe z jedną zmienną w kontekście określonych warunków. Nierówność może mieć racjonalne współczynniki i może wymagać kilku kroków w celu uproszczenia lub rozwiązania.
3. Konstruować funkcję liniową modelującą liniową zależność pomiędzy dwiema wielkościami. Osoba zdająca musi opisać zależność liniową wyrażającą pewne warunki za pomocą równania z dwiema zmiennymi lub funkcji. Równanie lub funkcja będzie miała wymierne współczynniki, a skonstruowanie i uproszczenie równania lub funkcji może wymagać kilku kroków.
4. Konstruować, rozwiązywać i interpretować układy nierówności liniowych z dwiema zmiennymi. Zdający przeanalizuje jeden lub więcej warunków istniejących między dwiema zmiennymi, konstruując, rozwiązując lub interpretując nierówność dwóch zmiennych lub system nierówności dwóch zmiennych w ramach pewnych określonych warunków. Konstruowanie nierówności lub systemu nierówności może wymagać kilku kroków lub definicji.
5. Konstruować, rozwiązywać i interpretować układy dwóch równań liniowych w dwóch zmiennych. Zdający przeanalizuje jeden lub więcej warunków istniejących między dwiema zmiennymi, konstruując, rozwiązując lub analizując układ równań liniowych w określonych określonych warunkach. Równania będą miały wymierne współczynniki, a uproszczenie lub rozwiązanie układu może wymagać kilku kroków.
6. Rozwiązywać równania (lub nierówności) liniowe z jedną zmienną. Równanie (lub nierówność) będzie miało wymierne współczynniki i jego rozwiązanie może wymagać kilku kroków. Równania mogą nie mieć rozwiązania, mieć jedno rozwiązanie lub nieskończoną liczbę rozwiązań. Zdający może zostać także poproszony o określenie wartości lub współczynnika równania, które nie ma rozwiązania lub ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
7. Rozwiązywać układy dwóch równań liniowych z dwiema zmiennymi. Równania będą miały wymierne współczynniki, a układ może nie mieć rozwiązania, jednego rozwiązania lub nieskończonej liczby rozwiązań. Zdający może zostać także poproszony o określenie wartości lub współczynnika równania, w którym układ może nie mieć rozwiązania, mieć jedno rozwiązanie lub nieskończoną liczbę rozwiązań.
8. Wyjaśniać związek pomiędzy wyrażeniami algebraicznymi i graficznymi. Zidentyfikować wykres opisany danym równaniem liniowym lub równanie liniowe opisujące dany wykres, określić równanie danej prostej poprzez słowne opisanie jej wykresu, zidentyfikować najważniejsze cechy wykresu funkcji liniowej z jej równania, określić, jak powstaje wykres może mieć na to wpływ zmiana równania.
Rozwiązywanie problemów i analiza danych
Rozwiązywanie problemów i analiza danych
Ta część egzaminu SAT Math odzwierciedla badania, które pozwoliły określić, co jest ważne dla osiągnięcia sukcesu na studiach lub uniwersytecie. Testy wymagają rozwiązywania problemów i analizy danych: umiejętności matematycznego opisu określonej sytuacji z uwzględnieniem jej elementów, poznania i wykorzystania różnych właściwości operacji i liczb matematycznych. Zadania w tej kategorii będą wymagały dużego doświadczenia w logicznym rozumowaniu.
Od zdających wymagana będzie znajomość obliczeń średnich wartości wskaźników, ogólnych wzorców i odchyleń od ogólnego obrazu oraz rozkładu w zestawach.
Wszystkie pytania dotyczące rozwiązywania problemów i analizy danych sprawdzają zdolność zdających do wykorzystania wiedzy matematycznej i umiejętności do rozwiązywania problemów, jakie mogą napotkać w prawdziwym świecie. Wiele z tych zagadnień pojawia się w kontekście akademickim i zawodowym i prawdopodobnie jest związanych z nauką i socjologią.
Rozwiązywanie problemów i analiza danych to jedna z trzech podsekcji matematyki SAT, które są oceniane w skali od 1 do 15.
Ta sekcja będzie zawierała pytania z odpowiedziami wielokrotnego wyboru lub samodzielnie obliczonymi odpowiedziami. Korzystanie z kalkulatora jest tutaj zawsze dozwolone, ale nie zawsze konieczne lub zalecane.
W tej części egzaminu SAT Math możesz napotkać następujące pytania:
1. Używaj współczynników, współczynników, proporcji i rysunków w skali do rozwiązywania problemów jedno- i wieloetapowych. Zdający wykorzystają proporcjonalną zależność między dwiema zmiennymi, aby rozwiązać wieloetapowy problem w celu określenia stosunku lub wskaźnika; Oblicz stosunek lub współczynnik, a następnie rozwiąż problem wieloetapowy, korzystając z podanego stosunku lub współczynnika, aby rozwiązać problem wieloetapowy.
2. Rozwiązywać zadania jedno- i wieloetapowe z procentami. Zdający rozwiąże wielopoziomowe zadanie w celu ustalenia procentu. Oblicz procent liczby, a następnie rozwiąż problem wielopoziomowy. Korzystając z podanego procentu, rozwiąż problem wielopoziomowy.
3. Rozwiązywać jedno- i wieloetapowe problemy obliczeniowe. Zdający rozwiąże wielopoziomowe zadanie w celu ustalenia jednostki stawki; Oblicz jednostkę miary, a następnie rozwiąż wieloetapowe zadanie; Rozwiąż problem wielopoziomowy, aby zakończyć konwersję jednostek; Rozwiązać wieloetapowy problem obliczania gęstości; Lub użyj koncepcji gęstości, aby rozwiązać problem wieloetapowy.
4. Korzystając z diagramów punktowych, rozwiązuj modele liniowe, kwadratowe lub wykładnicze w celu opisania powiązań między zmiennymi. Biorąc pod uwagę wykres rozrzutu, wybierz równanie linii lub krzywej dopasowania; Zinterpretuj linię w kontekście sytuacji; Możesz też użyć linii lub krzywej, która najlepiej pasuje do prognozy.
5. Korzystając z zależności pomiędzy dwiema zmiennymi, zbadaj najważniejsze funkcje wykresu. Zdający dokona powiązania pomiędzy graficznym wyrażeniem danych a właściwościami wykresu, wybierając wykres reprezentujący opisywane właściwości lub wykorzystując wykres do określenia wartości lub zbiorów wartości.
6. Porównaj wzrost liniowy ze wzrostem wykładniczym. Osoba badana będzie musiała dopasować dwie zmienne, aby określić, który typ modelu jest optymalny.
7. Korzystając z tabel, obliczać dane dla różnych kategorii wielkości, częstości względnych i prawdopodobieństw warunkowych. Zdający wykorzystuje dane z różnych kategorii do obliczenia częstotliwości warunkowych, prawdopodobieństw warunkowych, powiązania zmiennych lub niezależności zdarzeń.
8. Wyciągaj wnioski na temat parametrów populacji na podstawie przykładowych danych. Osoba badana dokonuje estymacji parametru populacji, biorąc pod uwagę wyniki losowej próby populacji. Przykładowe statystyki mogą zapewnić przedziały ufności i błąd pomiaru, które uczeń musi zrozumieć i wykorzystać bez konieczności ich obliczania.
9. Stosować metody statystyczne do obliczania średnich i rozkładów. Zdający obliczą średnią i/lub rozkład dla danego zestawu danych lub wykorzystają statystyki do porównania dwóch oddzielnych zestawów danych.
10. Oceniaj raporty, wyciągaj wnioski, uzasadniaj wnioski i określaj zasadność metod gromadzenia danych. Raporty mogą składać się z tabel, wykresów lub podsumowań tekstowych.
Podstawy matematyki wyższej
Paszport do zaawansowanej matematyki
Ta część egzaminu SAT Math obejmuje tematy, które są szczególnie ważne dla uczniów do opanowania przed przejściem na zaawansowaną matematykę. Kluczem jest tutaj zrozumienie struktury wyrażeń oraz umiejętność analizowania, manipulowania i upraszczania tych wyrażeń. Obejmuje to również możliwość analizowania bardziej złożonych równań i funkcji.
Podobnie jak w przypadku poprzednich dwóch części egzaminu SAT Math, tutaj pytania są oceniane w skali od 1 do 15.
Ta sekcja będzie zawierać pytania z odpowiedziami wielokrotnego wyboru lub samodzielnie obliczonymi. Korzystanie z kalkulatora jest czasami dozwolone, ale nie zawsze jest konieczne lub zalecane.
W tej części egzaminu SAT Math możesz napotkać następujące pytania:
1. Utwórz funkcję kwadratową lub wykładniczą albo równanie modelujące dane warunki. Równanie będzie miało racjonalne współczynniki i może wymagać kilku kroków do uproszczenia lub rozwiązania.
2. Określ najwłaściwszą formę wyrażenia lub równania w celu zidentyfikowania konkretnej cechy, biorąc pod uwagę dane warunki.
3. Konstruować wyrażenia równoważne z wykładnikami wymiernymi i pierwiastkami, łącznie z uproszczeniem lub konwersją do innej postaci.
4. Konstruuj równoważną formę wyrażenia algebraicznego.
5. Rozwiązać równanie kwadratowe posiadające wymierne współczynniki. Równanie można przedstawić w szerokiej gamie postaci.
6. Dodawaj, odejmuj i mnóż wielomiany i upraszczaj wynik. Wyrażenia będą miały wymierne współczynniki.
7. Rozwiąż równanie z jedną zmienną zawierającą rodniki lub zawierającą zmienną w mianowniku ułamka. Równanie będzie miało wymierne współczynniki.
8. Rozwiązywać układ równań liniowych lub kwadratowych. Równania będą miały wymierne współczynniki.
9. Uprość proste wyrażenia wymierne. Zdający będą dodawać, odejmować, mnożyć lub dzielić dwa wyrażenia wymierne lub dzielić dwa wielomiany i upraszczać je. Wyrażenia będą miały wymierne współczynniki.
10. Interpretować części wyrażeń nieliniowych pod kątem ich terminów. Zdający muszą powiązać dane warunki z równaniem nieliniowym modelującym te warunki.
11. Rozumieć związek między zerami a czynnikami w wielomianach i wykorzystywać tę wiedzę do konstruowania wykresów. Zdający będą wykorzystywać właściwości wielomianów do rozwiązywania problemów obejmujących zera, np. ustalania, czy dane wyrażenie jest współczynnikiem wielomianu, na podstawie dostarczonych informacji.
12. Rozumieć związek pomiędzy dwiema zmiennymi poprzez ustalenie powiązań pomiędzy ich wyrażeniami algebraicznymi i graficznymi. Zdający musi umieć wybrać wykres odpowiadający zadanemu równaniu nieliniowemu; interpretować wykresy w kontekście rozwiązywania układów równań; wybrać równanie nieliniowe odpowiadające danemu wykresowi; ustalić równanie krzywej, biorąc pod uwagę słowny opis wykresu; zidentyfikować kluczowe cechy wykresu funkcji liniowej na podstawie jej równania; określić wpływ na wykres zmiany równania rządzącego.
Co sprawdza sekcja matematyki SAT?
Ogólne opanowanie dyscypliny
Test z matematyki to szansa, aby pokazać, że:
Wykonuj zadania matematyczne elastycznie, dokładnie, wydajnie i stosując strategie rozwiązań;
- Szybko rozwiązuj problemy, identyfikując i stosując najskuteczniejsze podejścia do rozwiązania. Może to obejmować rozwiązywanie problemów poprzez
dokonywanie podstawień, skrótów lub reorganizacji podanych przez Ciebie informacji;
Koncepcyjne rozumienie
Wykażesz się zrozumieniem pojęć matematycznych, operacji i zależności. Na przykład możesz zostać poproszony o powiązanie właściwości równań liniowych, ich wykresów i wyrażonych w nich terminów.
Zastosowanie wiedzy przedmiotowej
Wiele pytań SAT Math pochodzi z problemów z życia codziennego i wymaga przeanalizowania problemu, zidentyfikowania podstawowych elementów potrzebnych do jego rozwiązania, matematycznego wyrażenia problemu i znalezienia rozwiązania.
Korzystanie z kalkulatora
Kalkulatory są ważnymi narzędziami do wykonywania obliczeń matematycznych. Aby z sukcesem studiować na uniwersytecie, trzeba wiedzieć, jak i kiedy z nich korzystać. W części testu „Math Test-Calculator” będziesz mógł skupić się na znalezieniu rozwiązania i samej analizie, ponieważ kalkulator pomoże Ci zaoszczędzić czas.
Jednak kalkulator, jak każde narzędzie, jest tak mądry, jak osoba, która go używa. Jest kilka pytań na teście z matematyki, w przypadku których najlepiej nie używać kalkulatora, nawet jeśli masz na to pozwolenie. W takich sytuacjach zdający, którzy potrafią myśleć i rozumować, prawdopodobnie znajdą odpowiedź przed tymi, którzy na ślepo korzystają z kalkulatora.
Część dotycząca testu z matematyki bez kalkulatora ułatwia ocenę ogólnej wiedzy na dany temat i zrozumienia niektórych pojęć matematycznych. Sprawdza także znajomość technik obliczeniowych i zrozumienie pojęć liczbowych.
Pytania z odpowiedziami wpisanymi do tabeli
Chociaż większość pytań na teście z matematyki to pytania wielokrotnego wyboru, 22 procent to pytania, na które odpowiedzi są wynikiem własnych obliczeń osoby zdającej – nazywane są one siatkami. Zamiast wybierać poprawną odpowiedź z listy, musisz rozwiązać zadania i wpisać swoje odpowiedzi w kratki znajdujące się na arkuszu odpowiedzi.
Odpowiedzi wpisane do tabeli
Zaznacz nie więcej niż jedno kółko w dowolnej kolumnie;
- Liczone będą tylko odpowiedzi wskazane poprzez uzupełnienie kółka (nie otrzymasz punktów za wszystko wpisane w pola znajdujące się powyżej).
kółka).
- Nie ma znaczenia, w której kolumnie zaczniesz wpisywać swoje odpowiedzi; Ważne jest, aby odpowiedzi były zapisane w siatce, wtedy otrzymasz punkty;
- Siatka może zawierać tylko cztery miejsca po przecinku i akceptuje tylko liczby dodatnie i zero.
- Jeśli w zadaniu nie określono inaczej, odpowiedzi można wpisać do siatki w postaci ułamkowej lub dziesiętnej;
- Ułamków takich jak 3/24 nie trzeba redukować do wartości minimalnych;
- Wszystkie liczby mieszane muszą zostać zamienione na ułamki niewłaściwe przed zapisaniem ich w siatce;
- Jeśli odpowiedzią jest powtarzająca się liczba dziesiętna, uczniowie muszą określić najdokładniejsze wartości, które to zrobią
rozważać.
Poniżej znajduje się przykład instrukcji, które zdający zobaczą podczas egzaminu SAT Math:
Podstawowy program nauczania matematyki w szkole uzupełniającej lub domowej powinien uczyć znacznie więcej niż tylko „jak” w zakresie prostej arytmetyki. Dobry program nauczania matematyki powinien obejmować podstawowe zajęcia matematyczne, które tworzą solidny fundament, zarówno głęboki, jak i szeroki, koncepcyjny i „jak to zrobić”.
Time4Learning prowadzi kompleksowy program nauczania matematyki, który jest zgodny ze standardami stanowymi. Podstawowe ćwiczenia matematyczne, łączące lekcje multimedialne, arkusze ćwiczeń do wydrukowania i oceny, mają na celu zbudowanie solidnych podstaw matematycznych. Można go używać jako , an lub jako do wzbogacania.
Time4Learning nie ma żadnych ukrytych opłat, oferuje 14-dniową gwarancję zwrotu pieniędzy dla nowych członków i umożliwia członkom rozpoczęcie, zatrzymanie lub wstrzymanie w dowolnym momencie. Wypróbuj wersję interaktywną lub przejrzyj nasze, aby zobaczyć, co jest dostępne.
Nauczanie podstawowych strategii matematycznych
Dzieci powinny nabywać umiejętności matematyczne, korzystając z podstawowych zajęć matematycznych, które realizują program nauczania w odpowiedniej kolejności, mającej na celu zbudowanie solidnej podstawy sukcesu. Zacznijmy od czegoś, co wydaje się prostym faktem matematycznym: 3 + 5 = 8
Fakt ten wydaje się dobrą lekcją matematyki, gdy dziecko potrafi liczyć. Jednak umiejętność zrozumienia pojęcia „3 + 5 = 8” wymaga zrozumienia podstawowych pojęć matematycznych:
- Ilość– świadomość, że można policzyć liczby przedmiotów. Ilość jest powszechnym pojęciem, niezależnie od tego, czy liczymy palce, psy czy drzewa.
- Rozpoznawanie liczb– znajomość liczb według nazwy, cyfry, przedstawienia graficznego lub ilości elementów.
- Znaczenie liczby– rozwiązanie problemu pomieszania liczb odnoszących się do ilości lub pozycji w ciągu (liczby główne i porządkowe).
- Operacje– Zrozumienie, że można dodawać ilości i że proces ten można przedstawić za pomocą obrazów, słów lub cyfr.
Aby nakreślić bardziej ekstremalny obraz, próba nauczania dodawania za pomocą „przenoszenia” przed solidnym zrozumieniem wartości miejsca jest przepisem na zamieszanie. Dopiero po opanowaniu podstawowych pojęć matematycznych dziecko powinno próbować bardziej zaawansowanych, elementarnych zajęć matematycznych, takich jak dodawanie. Próby nauczania elementarnych strategii matematycznych przed opanowaniem podstawowych pojęć matematycznych powodują zamieszanie, tworząc poczucie zagubienia lub słabości w matematyce. Dziecko może mieć zły obraz siebie lub negatywny pogląd na matematykę, a wszystko to z powodu złego programu nauczania matematyki.
Ważne jest, aby wdrożyć podstawowy program nauczania matematyki, który uczy matematyki po kolei, wykorzystując podstawowe zajęcia matematyczne, które pozwalają dzieciom stopniowo budować zrozumienie, umiejętności i pewność siebie. Wysokiej jakości nauczanie i program nauczania są zgodne z sekwencją jakości.
Time4Learning oferuje spersonalizowany program nauczania matematyki na poziomie podstawowym, dostosowany do aktualnego poziomu umiejętności Twojego dziecka. Pomoże to zapewnić dziecku solidne podstawy matematyczne przed wprowadzeniem trudniejszych, bardziej złożonych elementarnych strategii matematycznych. uwzględniony w programie nauczania, zapewnia praktykę w podstawowych obszarach umiejętności niezbędnych do osiągnięcia sukcesu w szkole podstawowej. Skieruj swoje dziecko na właściwą ścieżkę dzięki strategiom Time4Learning w nauczaniu elementarnej matematyki.
Podstawowy program nauczania matematyki Time4Learning
Program nauczania matematyki Time4Learning obejmuje szeroką gamę podstawowych zajęć matematycznych, które obejmują więcej niż tylko arytmetykę, fakty matematyczne i operacje. Nasz podstawowy program nauczania matematyki uczy tych pięciu wątków matematycznych.*
- Zmysł liczb i operacje– Umiejętność przedstawiania liczb, rozpoznawanie, „ile” jest w grupie oraz używanie liczb do porównywania i przedstawiania, toruje drogę do zrozumienia teorii liczb, wartości miejsca oraz znaczenia operacji i ich wzajemnych powiązań.
- Algebra– Umiejętność sortowania i porządkowania obiektów lub liczb oraz rozpoznawania i budowania na prostych wzorach to przykłady sposobów, w jakie dzieci zaczynają doświadczać algebry. Ta elementarna koncepcja matematyczna stanowi podstawę do pracy ze zmiennymi algebraicznymi w miarę wzrostu doświadczenia matematycznego dziecka.
- Geometria i zmysł przestrzenny– Dzieci wykorzystują swoją wiedzę na temat podstawowych kształtów, aby identyfikować bardziej złożone kształty 2D i 3D poprzez rysowanie i sortowanie. Następnie uczą się rozumować przestrzennie, czytać mapy, wizualizować obiekty w przestrzeni i wykorzystywać modelowanie geometryczne do rozwiązywania problemów. dzieci będą mogły wykorzystać geometrię współrzędnych do ostatecznego określenia lokalizacji, wskazania kierunków i opisania zależności przestrzennych.
- Pomiar– Nauka mierzenia i porównywania obejmuje pojęcia długości, wagi, temperatury, pojemności i pieniędzy. Wskazywanie czasu i posługiwanie się pieniędzmi ułatwia zrozumienie systemu liczbowego i stanowi ważną umiejętność życiową.
- Analiza danych i prawdopodobieństwo– Gdy dzieci zbierają informacje o otaczającym je świecie, przydatne będzie dla nich pokazywanie i reprezentowanie swojej wiedzy. Korzystanie z wykresów, tabel i wykresów pomoże im nauczyć się udostępniać i organizować dane.
Podstawowe programy nauczania matematyki, które obejmują tylko jeden lub dwa z pięciu kierunków matematyki, są wąskie i prowadzą do słabego zrozumienia matematyki. Pomóż swojemu dziecku zbudować mocne, szerokie podstawy matematyczne.
