Funkcia zostavenia
Ponúkame Vám službu na vytváranie grafov funkcií online, ku ktorej patria všetky práva spoločnosti Desmos. Na zadávanie funkcií použite ľavý stĺpec. Môžete zadať manuálne alebo pomocou virtuálnej klávesnice v spodnej časti okna. Ak chcete zväčšiť okno s grafom, môžete skryť ľavý stĺpec aj virtuálnu klávesnicu.
Výhody online grafov
- Vizuálne zobrazenie zadaných funkcií
- Vytváranie veľmi zložitých grafov
- Konštrukcia grafov špecifikovaných implicitne (napríklad elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Možnosť ukladania grafov a získavania odkazu na ne, ktorý bude dostupný pre každého na internete
- Ovládanie mierky, farby čiary
- Možnosť vykresľovania grafov po bodoch, pomocou konštánt
- Vykreslenie niekoľkých funkčných grafov súčasne
- Vykresľovanie v polárnych súradniciach (použite r a θ(\theta))
S nami je jednoduché zostavovať online grafy rôznej zložitosti. Stavba sa vykonáva okamžite. Služba je žiadaná na nájdenie priesečníkov funkcií, na zobrazenie grafov na ich ďalšie presúvanie do dokumentu Word ako ilustrácie pri riešení problémov a na analýzu behaviorálnych vlastností funkčných grafov. Optimálnym prehliadačom na prácu s grafmi na tejto webovej stránke je Google Chrome. Pri používaní iných prehliadačov nie je zaručené správne fungovanie.
Vyberme si pravouhlý súradnicový systém v rovine a vynesme hodnoty argumentu na vodorovnú os X a na zvislej osi - hodnoty funkcie y = f(x).
Funkčný graf y = f(x) je množina všetkých bodov, ktorých úsečky patria do oblasti definície funkcie a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.
Inými slovami, graf funkcie y = f (x) je množinou všetkých bodov roviny, súradníc X, pri ktoré uspokojujú vzťah y = f(x).
Na obr. 45 a 46 sú znázornené grafy funkcií y = 2x + 1 A y = x 2 - 2x.
Presne povedané, treba rozlišovať medzi grafom funkcie (ktorej presná matematická definícia bola uvedená vyššie) a nakreslenou krivkou, ktorá vždy poskytuje len viac či menej presný náčrt grafu (a aj tak spravidla nie celý graf, ale iba jeho časť nachádzajúcu sa v koncových častiach roviny). V nasledujúcom texte však vo všeobecnosti povieme „graf“ a nie „náčrt grafu“.
Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Totiž, ak bod x = a patrí do oblasti definície funkcie y = f(x) a potom nájsť číslo f(a)(t.j. funkčné hodnoty v bode x = a), mali by ste to urobiť. Je potrebné cez úsečku x = a nakreslite priamku rovnobežnú s osou ordinátov; táto čiara bude pretínať graf funkcie y = f(x) v jednom bode; ordináta tohto bodu bude na základe definície grafu rovná f(a)(obr. 47).
Napríklad pre funkciu f(x) = x 2 - 2x pomocou grafu (obr. 46) zistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atď.
Funkčný graf jasne ilustruje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z posúdenia obr. 46 je zrejmé, že funkcia y = x 2 - 2x nadobúda kladné hodnoty, keď X< 0 a pri x > 2, záporné - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x prijíma na x = 1.
Graf funkcie f(x) musíte nájsť všetky body roviny, súradnice X,pri ktoré spĺňajú rovnicu y = f(x). Vo väčšine prípadov to nie je možné, pretože takýchto bodov je nekonečné množstvo. Preto je graf funkcie znázornený približne - s väčšou či menšou presnosťou. Najjednoduchší je spôsob vykreslenia grafu pomocou niekoľkých bodov. Spočíva v tom, že argument X zadajte konečný počet hodnôt - povedzme x 1, x 2, x 3,..., x k a vytvorte tabuľku, ktorá obsahuje hodnoty vybraných funkcií.
Tabuľka vyzerá takto:
Po zostavení takejto tabuľky môžeme na grafe funkcie načrtnúť niekoľko bodov y = f(x). Potom spojením týchto bodov hladkou čiarou získame približný pohľad na graf funkcie y = f(x).
Treba však poznamenať, že metóda viacbodového vykresľovania je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti správanie grafu medzi zamýšľanými bodmi a jeho správanie mimo segmentu medzi prijatými extrémnymi bodmi zostáva neznáme.
Príklad 1. Graf funkcie y = f(x) niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentov a funkcií:
Zodpovedajúcich päť bodov je znázornených na obr. 48.
Na základe umiestnenia týchto bodov dospel k záveru, že graf funkcie je priamka (na obr. 48 je znázornená bodkovaná čiara). Dá sa tento záver považovať za spoľahlivý? Pokiaľ neexistujú ďalšie úvahy na podporu tohto záveru, ťažko ho možno považovať za spoľahlivý. spoľahlivý.
Na podloženie nášho tvrdenia zvážte funkciu
.
Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú presne opísané v tabuľke vyššie. Graf tejto funkcie však vôbec nie je priamka (je znázornená na obr. 49). Ďalším príkladom môže byť funkcia y = x + l + sinπx; jeho významy sú tiež opísané v tabuľke vyššie.
Tieto príklady ukazujú, že vo svojej „čistej“ forme je metóda vykresľovania grafu pomocou niekoľkých bodov nespoľahlivá. Preto pri vykresľovaní grafu danej funkcie sa zvyčajne postupuje nasledovne. Najprv si preštudujeme vlastnosti tejto funkcie, pomocou ktorej môžeme zostaviť náčrt grafu. Potom výpočtom hodnôt funkcie v niekoľkých bodoch (ktorých výber závisí od stanovených vlastností funkcie) sa nájdu zodpovedajúce body grafu. A nakoniec sa cez zostrojené body nakreslí krivka pomocou vlastností tejto funkcie.
Na niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií slúžiacich na nájdenie náčrtu grafu sa pozrieme neskôr, ale teraz sa pozrieme na niektoré bežne používané metódy zostrojovania grafov.
Graf funkcie y = |f(x)|.
Často je potrebné vykresliť funkciu y = |f(x)|, kde f(x) - danú funkciu. Pripomeňme si, ako sa to robí. Definovaním absolútnej hodnoty čísla môžeme písať
To znamená, že graf funkcie y =|f(x)| možno získať z grafu, funkcie y = f(x) takto: všetky body na grafe funkcie y = f(x), ktorého ordináty nie sú záporné, by mali zostať nezmenené; ďalej, namiesto bodov grafu funkcie y = f(x) so zápornými súradnicami by ste mali zostrojiť zodpovedajúce body na grafe funkcie y = -f(x)(t.j. časť grafu funkcie
y = f(x), ktorá leží pod osou X, by sa mali odrážať symetricky okolo osi X).
Príklad 2 Graf funkcie y = |x|.
Zoberme si graf funkcie y = x(obr. 50, a) a časť tohto grafu pri X< 0 (ležiace pod osou X) symetricky odrážané vzhľadom na os X. V dôsledku toho dostaneme graf funkcie y = |x|(obr. 50, b).
Príklad 3. Graf funkcie y = |x 2 - 2x|.
Najprv nakreslíme funkciu y = x 2 - 2x. Grafom tejto funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, vrchol paraboly má súradnice (1; -1), jej graf pretína os x v bodoch 0 a 2. V intervale (0; 2) funkcia nadobúda záporné hodnoty, preto sa táto časť grafu symetricky odráža vzhľadom na os x. Obrázok 51 ukazuje graf funkcie y = |x 2 -2x| na základe grafu funkcie y = x 2 - 2x
Graf funkcie y = f(x) + g(x)
Zvážte problém konštrukcie grafu funkcie y = f(x) + g(x). ak sú uvedené funkčné grafy y = f(x) A y = g(x).
Všimnite si, že definičný obor funkcie y = |f(x) + g(x)| je množina všetkých tých hodnôt x, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x), t.j. táto definičná oblasť je priesečníkom definičných domén, funkcií f(x) a g(x).
Nechajte body (x 0, y 1) A (x 0, y 2) patria medzi grafy funkcií y = f(x) A y = g(x), t.j 1 = f(x 0), y2 = g(x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patrí do grafu funkcie y = f(x) + g(x)(pre f(x 0) + g(x 0) = y 1 + y2),. a ľubovoľný bod na grafe funkcie y = f(x) + g(x) možno získať týmto spôsobom. Preto graf funkcie y = f(x) + g(x) možno získať z funkčných grafov y = f(x). A y = g(x) nahradenie každého bodu ( x n, y 1) funkčná grafika y = f(x) bodka (x n, y 1 + y 2), Kde y2 = g(x n), t.j. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkčný graf y = f(x) pozdĺž osi pri podľa sumy yi = g(x n). V tomto prípade sa berú do úvahy iba také body X n, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) A y = g(x).
Tento spôsob vykresľovania funkcie y = f(x) + g(x) sa nazýva sčítanie grafov funkcií y = f(x) A y = g(x)
Príklad 4. Na obrázku bol zostrojený graf funkcie metódou pridávania grafov
y = x + sinx.
Pri vykresľovaní funkcie y = x + sinx mysleli sme si to f(x) = x, A g(x) = sinx. Na vykreslenie grafu funkcie vyberieme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Počítajme vo vybraných bodoch a výsledky umiestnime do tabuľky.
Predtým sme študovali iné funkcie, napríklad lineárne, pripomeňme si jeho štandardnú formu:
odtiaľ je zjavný zásadný rozdiel - v lineárnej funkcii X stojí na prvom stupni a v novej funkcii začíname študovať, X stojí na druhej moci.
Pripomeňme si, že grafom lineárnej funkcie je priamka a grafom funkcie, ako uvidíme, je krivka nazývaná parabola.
Začnime tým, že zistíme, odkiaľ vzorec pochádza. Vysvetlenie je toto: ak dostaneme štvorec so stranou A, potom môžeme vypočítať jeho plochu takto:
Ak zmeníme dĺžku strany štvorca, zmení sa jeho plocha.
Toto je jeden z dôvodov, prečo sa funkcia študuje
Pripomeňme, že premenná X- ide o nezávislú premennú, alebo argument vo fyzikálnej interpretácii, môže to byť napríklad čas; Vzdialenosť je, naopak, závislá premenná, závisí od času. Závislá premenná alebo funkcia je premenná pri.
Toto je zákon korešpondencie, podľa ktorého každá hodnota X je priradená jedna hodnota pri.
Každý korešpondenčný zákon musí spĺňať požiadavku jedinečnosti od argumentu po funkciu. Vo fyzikálnom výklade to vyzerá celkom jasne na príklade závislosti vzdialenosti od času: v každom časovom okamihu sme v určitej vzdialenosti od východiskového bodu a nie je možné byť 10 aj 20 kilometrov od začiatku. cesty v rovnakom čase v čase t.
Zároveň je možné každú funkčnú hodnotu dosiahnuť niekoľkými hodnotami argumentov.
Takže musíme vytvoriť graf funkcie, na to musíme vytvoriť tabuľku. Potom študujte funkciu a jej vlastnosti pomocou grafu. Ale ešte pred zostrojením grafu na základe typu funkcie si môžeme povedať niečo o jeho vlastnostiach: to je zrejmé pri nemôže nadobúdať záporné hodnoty, pretože
Urobme si teda tabuľku:
Ryža. 1
Z grafu je ľahké si všimnúť nasledujúce vlastnosti:
Os pri- toto je os symetrie grafu;
Vrchol paraboly je bod (0; 0);
Vidíme, že funkcia prijíma iba nezáporné hodnoty;
V intervale kde 
funkcia klesá a na intervale, kde sa funkcia zvyšuje;
Funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu vo vrchole, 
;
Neexistuje žiadna najväčšia hodnota funkcie;
Príklad 1
podmienka:
Riešenie:
Pretože X zmenami podmienok na konkrétnom intervale môžeme o funkcii povedať, že sa zvyšuje a mení na intervale . Funkcia má na tomto intervale minimálnu a maximálnu hodnotu
Ryža. 2. Graf funkcie y = x 2 , x ∈
Príklad 2
podmienka: Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie:
Riešenie:
X sa mení počas intervalu, čo znamená pri klesá na intervale while a zvyšuje sa na intervale while .
Takže hranice zmeny X a hranice zmeny pri, a preto na danom intervale existuje minimálna aj maximálna hodnota funkcie
Ryža. 3. Graf funkcie y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Ukážme si skutočnosť, že rovnakú funkčnú hodnotu možno dosiahnuť viacerými hodnotami argumentov.
Lekcia: Ako zostrojiť parabolu alebo kvadratickú funkciu?
TEORETICKÁ ČASŤ
Parabola je graf funkcie opísanej vzorcom ax 2 +bx+c=0.
Ak chcete vytvoriť parabolu, musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1) Vzorec paraboly y=ax 2 +bx+c,
Ak a>0 potom smerujú vetvy paraboly hore,
inak smerujú vetvy paraboly dole.
Voľný člen c tento bod pretína parabolu s osou OY;
2), zistí sa pomocou vzorca x=(-b)/2a, nájdené x dosadíme do rovnice paraboly a nájdeme r;
3)Funkčné nuly alebo inými slovami, priesečníky paraboly s osou OX, nazývajú sa tiež korene rovnice. Aby sme našli korene, prirovnáme rovnicu k 0 ax 2 + bx + c = 0;
Typy rovníc:
a) Úplná kvadratická rovnica má tvar ax 2 + bx + c = 0 a rieši ho diskriminant;
b) Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 + bx = 0. Aby ste to vyriešili, musíte zo zátvoriek vyňať x a potom prirovnať každý faktor k 0:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 a ax+b=0;
c) Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 + c = 0. Aby ste to vyriešili, musíte presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú. x =±√(c/a);
4) Nájdite niekoľko ďalších bodov na konštrukciu funkcie.
PRAKTICKÁ ČASŤ
A tak teraz na príklade analyzujeme všetko krok za krokom:
Príklad č. 1:
y = x 2 + 4 x + 3
c=3 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=3. Vetvy paraboly sa pozerajú nahor, pretože a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vrchol je v bode (-2;-1)
Nájdite korene rovnice x 2 +4x+3=0
Pomocou diskriminantu nájdeme korene
a = 1 b = 4 c = 3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 = (-4+2)/2 = -1
x 2 = (-4-2)/2 = -3
Zoberme si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú v blízkosti vrcholu x = -2
x-4-3-10
y 3 0 0 3
Namiesto x dosaďte do rovnice y=x 2 +4x+3 hodnoty
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2+4*(0)+3=0-0+3=3
Z funkčných hodnôt je zrejmé, že parabola je symetrická vzhľadom na priamku x = -2
Príklad č. 2:
y=-x2+4x
c=0 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=0. Vetvy paraboly sa pozerajú nadol, pretože a=-1 -1 Nájdime korene rovnice -x 2 +4x=0
Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +bx=0. Aby ste to vyriešili, musíte zo zátvoriek vyňať x a potom prirovnať každý faktor k 0.
x(-x+4)=0, x=0 a x=4.
Zoberme si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú v blízkosti vrcholu x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Namiesto x dosaďte do rovnice y=-x 2 +4x hodnoty
y=02 +4*0=0
y=-(1)2+4*1=-1+4=3
y=-(3)2+4*3=-9+13=3
y=-(4)2+4*4=-16+16=0
Z funkčných hodnôt je zrejmé, že parabola je symetrická okolo priamky x = 2
Príklad č.3
y=x2-4
c=4 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=4. Vetvy paraboly sa pozerajú nahor, pretože a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 vrchol je v bode (0;- 4)
Nájdite korene rovnice x 2 -4=0
Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +c=0. Aby ste to vyriešili, musíte presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2
Zoberme si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú v blízkosti vrcholu x=0
x -2 -1 1 2
y 0-3-3 0
Namiesto x dosaďte do rovnice y= x 2 -4 hodnoty
y=(-2)2-4=4-4=0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=22-4=4-4=0
Z funkčných hodnôt je zrejmé, že parabola je symetrická okolo priamky x = 0
Prihlásiť sa na odber na kanál na YOUTUBE držať krok so všetkými novými produktmi a pripravovať sa s nami na skúšky.
"Prirodzený logaritmus" - 0,1. Prirodzené logaritmy. 4. Logaritmické šípky. 0,04. 7.121.
"Stupeň výkonovej funkcie 9" - U. Kubická parabola. Y = x3. Učiteľka 9. ročníka Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y = xn, y = x-n kde n je dané prirodzené číslo. X. Exponent je párne prirodzené číslo (2n).
„Kvadratická funkcia“ - 1 Definícia kvadratickej funkcie 2 Vlastnosti funkcie 3 Grafy funkcie 4 Kvadratické nerovnice 5 Záver. Vlastnosti: Nerovnosti: Pripravil žiak 8.A triedy Andrey Gerlitz. Plán: Graf: -Intervaly monotónnosti pre a > 0 pre a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
“Kvadratická funkcia a jej graf” - Riešenie.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-patrí. Keď a=1, vzorec y=ax nadobudne tvar.
„Kvadratická funkcia ôsmeho stupňa“ - 1) Zostrojte vrchol paraboly. Vykreslenie grafu kvadratickej funkcie. X. -7. Zostrojte graf funkcie. Algebra 8. ročník Učiteľ 496 Bovina škola T.V. -1. Stavebný plán. 2) Zostrojte os súmernosti x=-1. r.
