Catalog Information
Title
Elementary Linear Algebra.
(Credit Hours:Lecture Hours:Lab Hours)
Offered
Prerequisite
Minimal learning outcomes
Під час завершення цього курсу, успішний школяр буде бути здатний до:
- За допомогою Gaussian elimination до всієї наступної: solve alinear system with reduced row echelon form, solve alinear system with row echelon form and backward substitution, find the inverse of given matrix, and find the determinant of given matrix.
- Demonstrate proficiency at matrix algebra. Для matrix multiplication demonstrate understanding of asociive law, reverse order law for inverses and transposes, and failure of commutative law and the cancellation law.
- За допомогою Cramer's rule to solve a linear system.
- За допомогою коефіцієнтів досліджує загальну matrix і важливу given matrix.
- Визначення, скільки вибирається з відповідним поняттям пропозицію і широке розповсюдження є векторний простір. Тут, і в відповідних номерах нижче, бути знайомим з рівнем і незмінним dimensional examples.
- Визначення, який given subset of vector space є subspace.
- Визначене, яким є гігієнічний набор векторів, є linearly independent, spans, or is a basis.
- Визначте dimension given vector space або given subspace.
- Find bases для null space, row space, і column space of given matrix, and determine its rank.
- Demonstrate understanding of the Rank-Nullity Theorem and його applications.
- Відповідь на опис linear transformation, find its matrix representation relative to given bases.
- Поясніть під розумінням зв'язку між подібністю і зміною основи.
- Відображається norma vector and angle between two vectors in an inner product space.
- Використовуйте продукцію для зовнішності в express vector in iner product space як Linear Combination of ortogonal set vectors.
- Відображає ортоґональний складник given subspace.
- Поясніть під розумінням рівних місць, коло простору, і nullspace matrix (і його transpose) за допомогою ортопедичних компонентів.
- Поясніть підтвердженням Cauchy-Schwartz незмінності та її застосування.
- Визначте, який векторний простір з (sesquilinear) form is inner product space.
- Використовуйте Gram-Schmidt процеси, щоб виконати ортоnormal основи для інноваційного продукту. Be capable of doing this both in R n and in function spaces що є inner product spaces.
- Use least squares to fit a line ( y = ax + b) до table of data, plot line і data points, and explain the meaning of least squares in terms of orthogonal projection.
- Використовуйте idea of least squares to find ortogonal projections on subspaces and for polynomial curve fitting.
- Find (real and complex) eigenvalues and eigenvectors of 2 × 2 or 3 × 3 matrices.
- Визначення, яким є матеріал matrix is diagonalizable. Якщо ви, здогадаєтеся про те, що діагоналізує це via similarity.
- Поясніть під розумінням відносин між міжзначеннями квадратної матриці і її важливості, її trace, і її invertibility/singularity.
- Identify symmetric matrices and orthogonal matrices.
- Find a matrix що ortogonally diagonalizes a given symmetric matrix.
- Know and be able to apply spectral theorem for symmetric matrices.
- Знайте і може бути застосовано до Singular Value Decomposition.
- Correctly define terms and give examples, що відносяться до цих концепцій.
- Виконайте основні теорети про те, що вони беруть участь.
- Виконати або розглянути деталі, що стосуються цих концепцій.
- Be adept at hand computation for row reduction, matrix inversion and similar problems; Також, використовуйте MATLAB або подібний program для linear algebra проблем.
Lesia М. Ohnivchuk
Abstract
Матеріали розглядають, як розширити функціональність LMS Moodle при створенні e-learning kurzs for thematematical sciences, in particular e-learning courses "Elementary Mathematics" за допомогою flash technology and Java-applets. Там є приклади використання flash-applications і Java-applets в курсі "Elementary Mathematics".
Keywords
LMS Moodle; e-learning courses; technology flash; Java-applet, GeoGebra
References
Brandão, L. O., "iGeom: free software для dynamickої geometry in the web", International Conference on Sciences and Mathematics Education, Rio de Janeiro, Brazil, 2002.
Brandão, L. O. and Eisnmann, A. L. K. “Працює в Progress: iComb Project - математичний матеріал для вивчення і виховання комбінаторів через практики” 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G
Kamiya, R. H і Brandão, L. O. “iVProg – система для інспектора програмування через Visual Model on the Internet. Процеси XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (in Portuguese).
Moodle.org: open-source community-based tools for learning [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://www.moodle.org.
MoodleDocs [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://docs.moodle.org.
Інтерактивні технології навчання: теорія, практика, досвід: методичний посібник авт.-уклад.: О. Пометун, Л. Пироженко. - К.: АПН; 2004. - 136 с.
Dmitry Pupinin. Question Type: Flash [Електронний ресурс]. – Режим доступу: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26.02.14.
Андрєєв А. В., Герасименко П. С.. Використання Flash та SCORM для створення завдань підсумкового контролю [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 –26.02.14.
GeoGebra. Матеріали [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://tube.geogebra.org.
Хохенватор М. Вступ до GeoGebra / М. Хохенватор / пров. Т. С. Рябова. - 2012. - 153 с.
REFERENCES (TRANSLATED AND TRANSLITERATED)
Brandão, L. O. "iGeom: free software для dynamickої geometry in the web", International Conference on Sciences and Mathematics Education, Rio de Janeiro, Brazil, 2002 (in English).
Brandão, L. O. and Eisnmann, A. L. K. “Праця в процесі: iComb Project - математичний інструмент для навчання і виховання комбінаторів через практики” 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G.
Kamiya, R. H і Brandão, L. O. “iVProg – система для інспектора програмування через Visual Model on the Internet. Proceedings of the XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (in English).
Moodle.org: open-source community-based tools for learning . – Available from: http://www.moodle.org (in English).
MoodleDocs. – Available from: http://docs.moodle.org (in English).
Pometun O. I., Pirozhenko L. V. Modern lesson, Київ, ASK Publ., 2004, 192 p. (in Ukrainian).
Dmitry Pupinin. Question Type: Flash. – Available from: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26.02.14 (in English).
Andreev А., Gerasimenko Р. За допомогою Flash і SCORM для створення дій фінансового контролю . – Available from: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 26.02.14 (in Ukrainian).
GeoGebra Wiki. – Available from: http://www.geogebra.org (in English).
Hohenwarter M. Introduction in GeoGebra / M. Hohenwarter. – 2012. – 153 s. (in English).
DOI: https://doi.org/10.33407/itlt.v48i4.1249
Copyright (c) 2015 Lesia М. Ohnivchuk
У задачі комівояжера для формування оптимального маршруту об'їзду n міст необхідно вибрати одне з кращих (n-1)! варіантів за критерієм часу, вартості чи довжиною маршруту. Це завдання пов'язані з визначенням гамільтонова циклу мінімальної довжини. У таких випадках безліч усіх можливих рішень слід подати у вигляді дерева - зв'язкового графа, що не містить циклів та петель. Корінь дерева об'єднує безліч варіантів, а вершини дерева - це підмножини частково впорядкованих варіантів рішень.
Призначення сервісу. За допомогою сервісу можна перевірити своє рішення або отримати нове рішення задачі комівояжера двома методами: методом гілок та кордонів та угорським методом.
Математична модель завдання комівояжера
Сформульована задача - завдання цілечислове. Нехай х ij =1, якщо мандрівник переїжджає з i-ого міста в j-ий і х ij=0, якщо це не так.Формально введемо (n+1) місто, розташоване там, де й перше місто, тобто. відстані від (n+1) міста до будь-якого іншого, відмінного від першого, дорівнюють відстаням від першого міста. При цьому, якщо з першого міста можна лише вийти, то (n+1) місто можна лише прийти.
Введемо додаткові цілі змінні, що рівні номеру відвідування цього міста на шляху. u 1 = 0, u n +1 = n. Для того, щоб уникнути замкнутих шляхів, вийти з першого міста і повернутися до (n+1) введемо додаткові обмеження, що пов'язують змінні x ij та змінні u i (u i цілі негативні числа).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, при i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n
Методи вирішення задачі комівояжера
- метод гілок та кордонів (алгоритм Літтла або виключення підциклів). Приклад рішення методом гілок та кордонів;
- угорський метод. Приклад рішення угорським методом.
Алгоритм Літтла або виключення підциклів
- Операція редукції по рядках: у кожному рядку матриці знаходять мінімальний елемент d min і віднімають його від усіх елементів відповідного рядка. Нижній кордон: H = ∑d min.
- Операція редукції по стовпцях: у кожному стовпці матриці вибирають мінімальний елемент d min і віднімають його з усіх елементів відповідного стовпця. Нижня межа: H=H+∑d min.
- Константа приведення H є нижньою межею множини всіх допустимих гамільтонових контурів.
- Пошук ступенів нулів для наведеної по рядках та стовпців матриці. Для цього тимчасово нулі в матиці замінює на знак «∞» і знаходять суму мінімальних елементів рядка та стовпця, які відповідають цьому нулю.
- Вибирають дугу (i,j) , на яку ступінь нульового елемента досягає максимального значення.
- Розбивають безліч всіх гамільтонових контурів на два підмножини: підмножина гамільтонових контурів, що містять дугу (i, j) і не містять її (i *, j *). Для отримання матриці контурів, що включають дугу (i,j) , викреслюють рядок i в матриці і стовпець j . Щоб не допустити утворення контуру негамільтона, замінюють симетричний елемент (j,i) на знак «∞». Виняток дуги досягається заміною елемента в матриці на ∞.
- Проводять приведення матриці контурів гамільтонів з пошуком констант приведення H(i,j) і H(i*,j*) .
- Порівнюють нижні межі підмножини гамільтонових контурів H(i,j) і H(i*,j*). Якщо H(i,j)
- Якщо в результаті розгалужень виходить матриця (2x2) то визначають отриманий розгалуженням гамільтонів контур і його довжину.
- Порівнюють довжину гамільтонового контуру з нижніми межами обірваних гілок. Якщо довжина контуру не перевищує їх нижніх меж, то завдання вирішено. В іншому випадку розвивають гілки підмножин з нижньою межею, меншою за отриманий контур, доки не вийде маршрут з меншою довжиною.
Приклад. Розв'язати за алгоритмом Літтла завдання комівояжера з матрицею
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Рішення. Візьмемо як довільний маршрут: X 0 = (1,2); (2,3); (3,4); (4,5); (5,1). Тоді F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Для визначення нижньої межі множини скористаємося операцією редукціїабо приведення матриці по рядках, для чого необхідно в кожному рядку матриці D знайти мінімальний елемент: d i = min(j) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
d j = min(i) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Елементи матриці d ij відповідають відстані від пункту i до j.
Оскільки у матриці n міст, то D є матрицею nxn з невід'ємними елементами d ij ≥ 0
Кожен допустимий маршрут є циклом, яким комівояжер відвідує місто лише один раз і повертається у вихідне місто.
Довжина маршруту визначається виразом: F(M k) = ∑d ij
Причому кожен рядок і стовпець входять до маршруту лише один раз з елементом d ij .
Крок №1.
Визначаємо ребро розгалуження
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (0 + 6) = 6 для ребра (5,2), отже, безліч розбивається на два підмножини (5,2) та (5*,2*).
Вилучення ребра(5,2) проводимо шляхом заміни елемента d 52 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворився (5*,2*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Увімкнення ребра(5,2) проводиться шляхом виключення всіх елементів 5-го рядка та 2-го стовпця, в якому елемент d 25 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонового циклу.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Нижня межа підмножини (5,2) дорівнює: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Оскільки нижня межа цього підмножини (5,2) менша, ніж підмножини (5*,2*), то ребро (5,2) включаємо до маршруту з новим кордоном H = 35
Крок №2.
Визначаємо ребро розгалуженняі розіб'ємо все безліч маршрутів щодо цього ребра на два підмножини (i,j) та (i*,j*).
З цією метою для всіх клітин матриці з нульовими елементами замінюємо по черзі нулі на М(нескінченність) і визначаємо для них суму констант приведення, що утворилися, вони наведені в дужках.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (0 + 9) = 9 для ребра (4,3), отже, безліч розбивається на два підмножини (4,3) та (4*,3*).
Вилучення ребра(4,3) проводимо шляхом заміни елемента d 43 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворився (4*,3*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Увімкнення ребра(4,3) проводиться шляхом виключення всіх елементів 4-го рядка та 3-го стовпця, в якому елемент d 34 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонового циклу.
Після операції приведення скорочена матриця матиме вигляд:
| i j | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| d j | 0 | 2 | 0 | 7 |
Нижня межа підмножини (4,3) дорівнює: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Оскільки 42 > 41 виключаємо підмножину (5,2) для подальшого розгалуження.
Повертаємося до колишнього плану X 1 .
План X1.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Визначаємо ребро розгалуженняі розіб'ємо все безліч маршрутів щодо цього ребра на два підмножини (i,j) та (i*,j*).
З цією метою для всіх клітин матриці з нульовими елементами замінюємо по черзі нулі на М(нескінченність) і визначаємо для них суму констант приведення, що утворилися, вони наведені в дужках.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (0 + 6) = 6 для ребра (4,2), отже, безліч розбивається на два підмножини (4,2) та (4*,2*).
Вилучення ребра(4,2) проводимо шляхом заміни елемента d 42 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворився (4*,2*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Увімкнення ребра(4,2) проводиться шляхом виключення всіх елементів 4-го рядка та 2-го стовпця, в якому елемент d 24 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонового циклу.
В результаті отримаємо іншу скорочену матрицю (4 х 4), яка підлягає операції приведення.
Після операції приведення скорочена матриця матиме вигляд:
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Нижня межа підмножини (4,2) дорівнює: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Оскільки нижня межа цього підмножини (4,2) менша, ніж підмножини (4*,2*), то ребро (4,2) включаємо до маршруту з новим кордоном H = 41
Крок №2.
Визначаємо ребро розгалуженняі розіб'ємо все безліч маршрутів щодо цього ребра на два підмножини (i,j) та (i*,j*).
З цією метою для всіх клітин матриці з нульовими елементами замінюємо по черзі нулі на М(нескінченність) і визначаємо для них суму констант приведення, що утворилися, вони наведені в дужках.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (4 + 5) = 9 для ребра (1,5), отже, безліч розбивається на два підмножини (1,5) та (1*,5*).
Вилучення ребра(1,5) проводимо шляхом заміни елемента d 15 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворився (1*,5*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Увімкнення ребра(1,5) проводиться шляхом виключення всіх елементів 1-го рядка і 5-го стовпця, в якому елемент d 51 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонового циклу.
В результаті отримаємо іншу скорочену матрицю (3 x 3), яка підлягає операції наведення.
Після операції приведення скорочена матриця матиме вигляд:
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 |
Нижня межа підмножини (1,5) дорівнює: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Оскільки нижня межа цього підмножини (1,5) менша, ніж підмножини (1*,5*), то ребро (1,5) включаємо до маршруту з новим кордоном H = 41
Крок №3.
Визначаємо ребро розгалуженняі розіб'ємо все безліч маршрутів щодо цього ребра на два підмножини (i,j) та (i*,j*).
З цією метою для всіх клітин матриці з нульовими елементами замінюємо по черзі нулі на М(нескінченність) і визначаємо для них суму констант приведення, що утворилися, вони наведені в дужках.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| d j | 6 | 9 | 0 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (9 + 6) = 15 для ребра (2,1), отже, безліч розбивається на два підмножини (2,1) та (2*,1*).
Вилучення ребра(2,1) проводимо шляхом заміни елемента d 21 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворився (2*,1*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 6 | 0 | 0 | 15 |
Увімкнення ребра(2,1) проводиться шляхом виключення всіх елементів 2-го рядка та 1-го стовпця, в якому елемент d 12 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонового циклу.
В результаті отримаємо іншу скорочену матрицю (2 х 2), яка підлягає операції приведення.
Після операції приведення скорочена матриця матиме вигляд:
| i j | 3 | 4 | d i |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
Нижня межа підмножини (2,1) дорівнює: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Оскільки нижня межа цього підмножини (2,1) менша, ніж підмножини (2*,1*), то ребро (2,1) включаємо до маршруту з новим кордоном H = 41.
Відповідно до цієї матриці включаємо в гамільтонів маршрут ребра (3,4) та (5,3).
В результаті по дереву гілкувань гамільтонів цикл утворюють ребра:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Довжина маршруту дорівнює F(Mk) = 41
Дерево рішень.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5 *, 2 *), H = 41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4 *, 2 *), H = 47 | (4,2) | (4 *, 3 *), H = 44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1 *, 5 *), H = 50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2 *, 1 *), H = 56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3 *, 4 *), H = 41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5 *, 3 *), H = 41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SAT Math Test охоплює ряд математичних методів, з акцентом на вирішенні завдань, математичні моделі та стратегічне використання математичних знань.
SAT Math Test: все, як у реальному світі
Замість того, щоб тестувати Вас з кожної теми математики, новий SAT перевіряє Ваше вміння використовувати математику, на яку Ви покладатиметеся в більшості випадків і в багатьох різних ситуаціях. Питання з математичного тесту призначені для відображення вирішення завдань та моделей, з якими Ви матимете справу у
Університетському навчанні, вивчаючи безпосередньо математику, а також природничі та соціальні науки;
- Вашої щоденної професійної діяльності;
- Вашому повсякденному житті.
Наприклад, щоб відповісти на деякі питання, Вам потрібно буде використовувати кілька кроків - тому що в реальному світі ситуації, коли один простий крок є достатнім, щоб знайти рішення, трапляється вкрай рідко.
SAT Math Format
SAT Math Test: основні факти
Математична частина SAT робить основний акцент на трьох областях математики, які відіграють провідну роль у більшості академічних дисциплін вищих навчальних закладів та професійної кар'єри:
- Heart of Algebra: Основи алгебри, яка фокусується на розв'язанні лінійних рівнянь та систем;
- Проблема Solving and Data Analysis: Розв'язання задач та аналіз даних, які необхідні для загальної математичної грамотності;
- Passport to Advanced Math: Основи вищої математики, де задаються питання, що вимагають маніпулювання зі складними рівняннями
Математичний тест також спирається на додаткові теми з математики, включаючи геометрію та тригонометрію, найбільш важливі для навчання в університеті та професійної кар'єри.
SAT Math Test: відео
Основи алгебри
Heart of Algebra
Цей розділ SAT Math фокусується на алгебрі та ключових концепціях, які є найбільш важливими для успіху в коледжі та кар'єрі. Тут оцінюється здатність студентів аналізувати, вільно вирішувати та побудувати лінійні рівняння та нерівності. Студенти також повинні будуть аналізувати і вільно вирішувати рівняння та системи рівнянь з використанням кількох методів. Щоб повністю оцінити знання цього матеріалу, завдання суттєво відрізнятимуться за виглядом та змістом. Вони можуть бути як досить простими, так і вимагати стратегічного мислення та розуміння, наприклад, інтерпретація взаємодії між графічним та алгебраїчним виразами або являти собою рішення як процес міркування. Екзаменовані повинні продемонструвати як знання методики рішення, а й глибше розуміння концепцій, які у основі лінійних рівнянь і функций. Основи алгебри SAT Math оцінюються за шкалою від 1 до 15.
У цьому розділі будуть завдання, відповідь на які представлений множинним вибором або самостійно вирахована студентом. Використання калькулятора іноді дозволяється, але не завжди потрібне або рекомендується.
1. Побудувати, вирішити чи інтерпретувати лінійне вираз чи рівняння з однією змінною, у тих певних умов. Вираз або рівняння може мати раціональні коефіцієнти, і для спрощення виразу або рішення рівняння можуть знадобитися кілька кроків.
2. Побудувати, вирішувати чи інтерпретувати лінійні нерівності з однією змінною, у тих певних умов. Нерівність може мати раціональні коефіцієнти і для її спрощення або вирішення може знадобитися кілька кроків.
3. Побудувати лінійну функцію, що моделює лінійну залежність між двома величинами. Іспит повинен описати лінійну залежність, яка виражає певні умови, використовуючи або рівняння з двома змінними, або функцію. Рівняння або функція матимуть раціональні коефіцієнти, і для побудови та спрощення рівняння чи функції може знадобитися кілька кроків.
4. Побудувати, вирішити та інтерпретувати системи лінійних нерівностей із двома змінними. Іспит проаналізує одну або кілька умов, що існують між двома змінними, шляхом побудови, вирішення або інтерпретації нерівності з двома змінними або системи нерівностей з двома змінними, в рамках певних заданих умов. Для побудови нерівності чи системи нерівностей може знадобитися кілька кроків чи визначити.
5. Побудувати, вирішити та інтерпретувати системи двох лінійних рівнянь із двома змінними. Екзаменований проаналізує одну або кілька умов, що існують між двома змінними, шляхом побудови, розв'язання або аналізу системи лінійних рівнянь у межах певних заданих умов. Рівняння матимуть раціональні коефіцієнти, і для спрощення чи вирішення системи може знадобитися кілька кроків.
6. Вирішити лінійні рівняння (або нерівності) з однією змінною. Рівняння (чи нерівність) матиме раціональні коефіцієнти і може вимагати кількох кроків на вирішення. Рівняння можуть мати рішення, мати одне рішення чи нескінченне число рішень. Також може бути запропоновано визначити значення або коефіцієнта рівняння, що не має рішення або з нескінченним числом рішень.
7. Розв'язати системи двох лінійних рівнянь із двома змінними. Рівняння матимуть раціональні коефіцієнти, і система може мати ніякого рішення, одне рішення чи нескінченного число рішень. Екзаменованому може бути запропоновано визначити значення чи коефіцієнта рівняння, у якому система може мати рішення, мати одне рішення чи нескінченного число рішень.
8. Пояснити зв'язок між алгебраїчними та графічними виразами. Визначити графік, що описується заданим лінійним рівнянням, або лінійне рівняння, яке описує даний графік, визначити рівняння лінії, задане усним описом його графіка, визначить ключові особливості графіка лінійної функції з його рівняння, визначити, як графік може вплинути зміна його рівняння.
Розв'язання задач та аналіз даних
Проблема Solving and Data Analysis
Даний розділ SAT Math відображає результати досліджень, які виявили, що є важливим для успішного навчання в коледжі або університеті. Тести вимагають вирішення завдань та аналіз даних: вміння математично описувати певну ситуацію, враховуючи задіяні елементи, знати та використовувати різні властивості математичних операцій та чисел. Завдання у цій категорії вимагають значного досвіду у логічних міркуваннях.
Від екзаменованих потрібно знання обчислень середніх значень показників, загальні закономірності та відхилення від загальної картини та поширення у множинах.
Всі питання щодо вирішення завдань та аналізу даних перевіряють здатність екзаменованих використовувати їх математичне розуміння та навички для вирішення проблем, з якими вони можуть зіткнутися у реальному світі. Багато з цих проблем ставлять в академічних та професійних контекстах і, швидше за все, будуть пов'язані з наукою та соціологією.
Вирішення завдань та аналіз даних - один із трьох підрозділів SAT Math, за вирішення яких нараховуються бали від 1 до 15.
У цьому розділі будуть завдання з відповідями з множинним вибором або розраховані екзаменованим. Використання калькулятора тут завжди дозволене, але не завжди необхідне або рекомендоване.
У цій частині SAT Math Вам можуть потрапити такі питання:
1. Використовуйте коефіцієнти, ставки, пропорції та масштабні креслення для вирішення одно- та багатокрокових завдань. Екзаменовані використовуватимуть пропорційний взаємозв'язок між двома змінними для вирішення багатоетапного завдання для визначення відношення або швидкості; Обчислення коефіцієнт або ставку, а потім вирішити багатоступінчасту задачу, використовуючи задане співвідношення або коефіцієнт, вирішити багатоступінчасту проблему.
2. Вирішити одно- та багатоступінчасті завдання з відсотками. Екзаменований вирішуватиме багаторівневе завдання для визначення відсотка. Обчислити відсоток від числа, а потім розв'язати багаторівневе завдання. Використовуючи заданий відсоток вирішити багаторівневу проблему.
3. Вирішити одно- та багатоступінчасті завдання на обчислення. Екзаменований вирішуватиме багаторівневе завдання, щоб визначити одиницю ставки; Розрахувати одиницю виміру, та був вирішити багатокрокову проблему; Вирішити багаторівневе завдання для завершення перетворення одиниці; Розв'язати багатостадійну задачу розрахунку густини; Або використовувати поняття густини для вирішення багатоетапної проблеми.
4. Використовуючи діаграми розсіювання, вирішити лінійні, квадратичні чи експоненційні моделі для опису того, як пов'язані змінні. Враховуючи діаграму розсіювання, вибрати рівняння лінії чи кривою відповідності; Інтерпретувати лінію у тих ситуації; Або використовуйте лінію або криву, що найкраще підходять для передбачення.
5. Використовуючи зв'язок між двома змінними, досліджуйте ключові функції графіка. Екзаменований встановить зв'язок між графічним виразом даних і властивостями графіка, вибравши графік, який представляє описані властивості, або використовуючи графік, визначити значення чи безлічі значень.
6. Порівняйте лінійне зростання з експонентним зростанням. Іспит повинен знайти відповідність між двома змінними, щоб визначити, який тип моделі є оптимальним.
7, Використовуючи таблиці, обчислювати дані для різних категорій величин, відносних частот та умовної ймовірності. Іспит використовує дані з різних категорій для розрахунку умовних частот, умовних ймовірностей, асоціації змінних або незалежності подій.
8. Зробити висновки про параметри популяції з урахуванням вибіркових даних. Іспит оцінює параметр популяції, враховуючи результати випадкової вибірки населення. У статистиці вибірки можуть вказуватися довірчі інтервали та похибка вимірювання, які учень повинен розуміти та використовувати, без необхідності їхнього розрахунку.
9. Використовувати методи статистики для розрахунку середніх величин та поширення. Іспит буде обчислювати середню величину та / або розподіл для заданого набору даних або використовувати дані статистики для порівняння двох окремих наборів даних.
10. Оцінювати звіти, робити висновки, обґрунтовувати висновки та визначати доцільність методів збору даних. Звіти можуть складатися з таблиць, графіків чи текстових зведень.
Основи вищої математики
Passport to Advanced Math
Цей розділ SAT Math включають теми, оволодіння якими представляється особливо важливо для учнів, перед тим, як приступити до вивчення вищої математики. Головним тут є розуміння структури виразів та здатність аналізувати, маніпулювати та спрощувати ці висловлювання. Сюди також входить уміння аналізувати складніші рівняння та функції.
Як і два попередні розділи SAT Math, завдання оцінюються від 1 до 15.
У цьому розділі будуть завдання з відповідями з множинним вибором або розраховані екзаменованим. Використання калькулятора іноді дозволяється, але не завжди необхідно або рекомендується.
У цій частині SAT Math Вам можуть потрапити такі питання:
1. Складіть квадратичну або експоненційну функцію або рівняння, що моделює ці умови. Рівняння матиме раціональні коефіцієнти і може зажадати кілька кроків спрощення чи рішення.
2. Визначте найбільш відповідну форму виразу або рівняння, щоб виявити конкретну ознаку з огляду на задані умови.
3. Побудувати еквівалентні вирази за участю раціональних експонентів та радикалів, включаючи спрощення чи перетворення на іншу форму.
4. Побудувати еквівалентну форму виразу алгебри.
5. Розв'яжіть квадратне рівняння, що має раціональні коефіцієнти. Рівняння може бути представлене широкому діапазоні форм.
6. Скласти, відняти і перемножити багаточлени та спростити результат. Вирази матимуть раціональні коефіцієнти.
7. Розв'яжіть рівняння в одній змінній, яка містить радикали або містить змінну в знаменнику дробу. Рівняння матиме раціональні коефіцієнти.
8. Розв'яжіть систему лінійних або квадратних рівнянь. Рівняння матимуть раціональні коефіцієнти.
9. Спростити прості раціональні вирази. Екзаменовані будуть складати, віднімати, множити або ділити два раціональні вирази або ділити два багаточлени і спрощувати їх. Вирази матимуть раціональні коефіцієнти.
10. Інтерпретувати частини нелінійних виразів у термінах умов. Існуючі повинні пов'язати задані умови з нелінійним рівнянням, яке моделює ці умови.
11. Розуміти взаємозв'язок між нулями та множниками у багаточленах та використовувати ці знання для побудови графіків. Екзаменовані будуть використовувати властивості багаточленів для вирішення завдань, пов'язаних з нулями, таких як визначення, чи є вираз множником багаточлена з урахуванням наданої інформації.
12. Розуміти зв'язок між двома змінними шляхом встановлення зв'язків між їх алгебраїчними та графічними виразами. Екзаменований повинен вміти вибрати графік, що відповідає даному нелінійному рівнянню; інтерпретувати графіки у тих рішення систем рівнянь; вибрати нелінійне рівняння, що відповідає даному графіку; визначити рівняння кривої з урахуванням вербального опису графіка; визначити ключові особливості графіка лінійної функції з його рівняння; визначити вплив на графік зміни визначального рівняння.
Що перевіряє математичний розділ SAT math
Загальне володіння дисципліною
Математичний тест – це шанс показати, що Ви:
Виконуєте математичні завдання гнучко, точно, ефективно та з використанням стратегії рішення;
- Вирішуєте завдання швидко, ідентифікуючи та використовуючи найбільш ефективні підходи до вирішення. Це може включати вирішення завдань шляхом
підстановки, пошуку найкоротшого шляху чи реорганізації наданої вами інформації;
Концептуальне розуміння
Ви продемонструєте своє розуміння математичних понять, операцій та співвідношень. Наприклад, Вас можуть попросити встановити зв'язок між властивостями лінійних рівнянь, їх графіками та умовами, які вони висловлюють.
Застосування знання предмета
Багато завдань SAT Math взяті з реальних життєвих проблем та просять Вас проаналізувати цю проблему, визначити основні елементи, необхідні для її вирішення, математично висловити цю проблему та знайти рішення.
Використання калькулятора
Калькулятори - важливі інструменти щодо математичних обчислень. Для успішного навчання у ВНЗ Вам потрібно знати, як і коли їх використовувати. У частині тесту Math Test-Calculator ви зможете зосередитись на самому пошуку рішення та аналізі, тому що Ваш калькулятор допоможе заощадити ваш час.
Тим не менш, калькулятор, як і будь-який інструмент, розумний настільки, як той, хто його використовує. Math Test має деякі питання, в яких краще не використовувати калькулятор, навіть якщо це Вам дозволено. У цих ситуаціях екзаменовані, які вміють думати і міркувати, швидше за все, дійдуть відповіді раніше тих, хто наосліп використовуватиме калькулятор.
Частина Math Test-No Calculator полегшує можливість оцінити Ваше загальне знання предмета та розуміння деяких математичних концепцій. Він також перевіряє знайомство з технікою обчислень та розуміння концепції чисел.
Питання із занесенням відповідей до таблиці
Хоча більшість питань з математичного тесту є множинним вибором, 22 відсотки - це питання, де відповіді є результатом обчислень самого екзаменованого - вони називають grid-ins. Замість того, щоб вибирати правильну відповідь зі списку, Вам необхідно вирішити завдання та ввести свої відповіді до сіток, зазначених у бланку відповідей.
Відповіді із занесенням до таблиці
Позначте не більше одного кружка у будь-якому стовпці;
- Тільки відповіді, вказані заповненням гуртка, будуть зараховані (Ви не отримаєте бали за все, що написано в полях, розташованих над
колами).
- Не має значення, в якій колонці ви починаєте вводити свої відповіді; важливо, щоб відповіді були записані всередині сітки, тоді Ви отримаєте бали;
- Сітка може містити лише чотири знаки після коми і може приймати лише позитивні числа та нуль.
- Якщо в завданні не зазначено інакше, відповіді можуть бути введені в сітку як десяткові, так і дробові;
- Дроби, такі як 3/24, не потребують скорочення до мінімальних значень;
- Усі змішані числа повинні бути перетворені на неправильні дроби, перш ніж записуватися в сітку;
- Якщо відповідь є десятковим числом, що повторюється, учні повинні встановити найбільш точні значення, які будуть
враховувати.
Нижче наведено зразок інструкцій, які будуть бачити на іспиті SAT Math:
Як елементарний mate curriculum for supplementary or home school should teach much more than the “how to” of simple arithmetic. Добре матір curriculum повинен мати елементарні художні діяння, що будувати solid foundation which is both deep and broad, conceptual and “how to”.
Time4Learning teaches a comprehensive mate curriculum, що correlates to state standards. За допомогою комбінації мультимедійних повідомлень, printable worksheets, і оцінки, елементарні фізичні дії будуть розроблені для створення міцної продуктивності. Це може бути використане як , an , або як for enrichment.
Time4Learning не має високих клопотів, offers 14-денний гроші guarantee для brand new members, і можливі members до start, stop, or pause at anytime. Try interactive or view our to see what's available.
Teaching Elementary Math Strategies
Дитячі люди повинні мати шкідливі методи з використанням важливих дій діяльності, які визнають curriculum в наступній послідовності розроблені для створення міцного навчання для успіху. Let’s start with what appears to be для мети fact: 3 + 5 = 8
Це фактичне тому, що хороший матір лишається в житті, тільки дитину може бути. Але здатність до пристосування до концепції “3 + 5 = 8” потребує підтримувати ці елементарні matematické concepts:
- Quantity- Здійснюючи те, що номери елементів можуть бути counted. Quantity is a common concept whether we are counting fingers, dogs or trees.
- Number recognition– knowing numbers by name, numeral, pictorial representation, чи a quantity of the items.
- Number meaning– Resolving the confusion між numbers referring to a quantity or to the position in a sequence (cardinal vs. ordinal numbers.
- Operations– Залежно від того, що ціни можуть бути зроблені і що цей процес може бути зроблений з зображеннями, словами, або номерами.
Щоб описати більшу максимальну ілюстрацію, спрямовану на технічний додаток з “натискаючи над” приором, щоб мати сильну подиву місцезнаходження, є recipe for confusion. Тільки після mastering basic math concepts should a child try more advanced elementary math activities, як addition. Trying to teach elementary math strategies prior to mastering basic math concepts cause confusion, creating a sense of being lost or of being weak at math. Дитина може закінчитися розробляти повний self image або negative view of math all because of poor math curriculum.
Це важливо, щоб реалізувати елементарні mate curriculum, що mateach mate in a sequence, використовуючи елементарні матети діяльності, які здатні діти до progressive build understanding, skills, і confidence. Quality teaching and curriculum follows a quality sequence.
Time4Learning teaches personalized elementary mate curryculum geared to your child's current skill level. Це дає можливість мати те, що ваше дитя має solid mate foundation before introducing harder, more complex elementary math strategies. , Включені в curriculum, забезпечується практика в підпорядкування skill areas що є необхідною для успіху під час елементарної школи. Get your child on the right path, oTime4Learning's strategies for teaching elementary math.
Time4Learning's Elementary Math Curriculum
Time4Learning's math curriculum contains a wide range of elementary math activities, which cover more than just arithmetic, math facts, and operations. Наші елементарні мате curriculum вивчають ці п'ять матістрів сторінок.*
- Number Sense and Operations– Знати, як показувати номери, відображати 'how many' є в групі, і використовуючи номери, щоб скористатися і представляти стилі, щоб розрахувати число теорій, place value and meaning of operations and how they relate to one another.
- Algebra– Спроможність до sort and order objects or numbers and recognizing and building on simple patterns are examples of ways children begin to experience algebra. Цей елементарний matematický concept sets the workwork for working with algebraic variables as child's math experience grows.
- Geometry and Spatial Sense– Children build on they knowledge of basic shapes to identify more complex 2-D and 3-D shapes by drawing and sorting. Вони будуть вивчати особливу увагу, read maps, visualize objects in space, і use geometric modeling to solve problems. Eventually children will be able to use coordinate geometry to specify locations, give directions and describe spatial relationships.
- Measurement- Learning how to measure and compare involves concepts of length, weight, temperature, capacity and money. Проводячи час і використовуючи гроші, що ведуть до підрахунку номера системи і становлять важливе життя.
- Data Analysis and Probability– Як діти collect інформації про світ навколишнього, вони будуть виконані, щоб скористатися ним, а також їх знання. За допомогою графів, шрифтів, графів буде вказано, що вони беруть участь у share and organize data.
Елементарні маті curriculums, що охоплюють тільки одну або дві ці п'ять материнових сторін, є наповнені і тягнуться до weak understanding of math. Help your child build a strong, broad math foundation.
