Πληροφορίες καταλόγου
Τίτλος
Στοιχειώδης Γραμμική Άλγεβρα.
(Ώρες πίστωσης: Ώρες Διαλέξεων: Ώρες εργαστηρίου)
Προσφέρεται
Προαπαιτούμενο
Ελάχιστα μαθησιακά αποτελέσματα
Με την ολοκλήρωση αυτού του μαθήματος, ο επιτυχών φοιτητής θα είναι σε θέση:
- Χρησιμοποιήστε την κατάργηση Gauss για να κάνετε όλα τα παρακάτω: να λύσετε ένα γραμμικό σύστημα με μειωμένη μορφή κλιμακίου σειράς, να λύσετε ένα γραμμικό σύστημα με τη μορφή κλιμακίου σειράς και να αντικαταστήσετε προς τα πίσω, να βρείτε το αντίστροφο ενός δεδομένου πίνακα και να βρείτε την ορίζουσα ενός δεδομένου πίνακα.
- Επίδειξη επάρκειας στην άλγεβρα πινάκων. Για τον πολλαπλασιασμό πίνακα επιδεικνύουν την κατανόηση του συνειρμικού νόμου, του νόμου αντίστροφης σειράς για τις αντίστροφες και τις μεταθέσεις, και την αποτυχία του νόμου μετατροπής και του νόμου ακύρωσης.
- Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του Cramer για να λύσετε ένα γραμμικό σύστημα.
- Χρησιμοποιήστε συμπαράγοντες για να βρείτε το αντίστροφο ενός δεδομένου πίνακα και την ορίζουσα ενός δεδομένου πίνακα.
- Προσδιορίστε εάν ένα σύνολο με δεδομένη έννοια πρόσθεσης και βαθμωτό πολλαπλασιασμό είναι διανυσματικός χώρος. Εδώ, και στους σχετικούς αριθμούς παρακάτω, εξοικειωθείτε με παραδείγματα πεπερασμένων και άπειρων διαστάσεων.
- Προσδιορίστε εάν ένα δεδομένο υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου είναι υποχώρος.
- Προσδιορίστε εάν ένα δεδομένο σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο, εκτείνεται ή αποτελεί βάση.
- Προσδιορίστε τη διάσταση ενός δεδομένου διανυσματικού χώρου ή ενός δεδομένου υποχώρου.
- Βρείτε βάσεις για τον μηδενικό χώρο, τον χώρο γραμμής και τον χώρο στηλών ενός δεδομένου πίνακα και προσδιορίστε την κατάταξή του.
- Δείξτε κατανόηση του Θεωρήματος Rank-Nullity και των εφαρμογών του.
- Δίνοντας μια περιγραφή ενός γραμμικού μετασχηματισμού, βρείτε την αναπαράσταση του πίνακα σε σχέση με δεδομένες βάσεις.
- Δείξτε κατανόηση της σχέσης μεταξύ ομοιότητας και αλλαγής βάσης.
- Βρείτε τον κανόνα ενός διανύσματος και τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων σε έναν εσωτερικό χώρο γινομένων.
- Χρησιμοποιήστε το εσωτερικό γινόμενο για να εκφράσετε ένα διάνυσμα σε έναν εσωτερικό χώρο γινόμενο ως γραμμικό συνδυασμό ενός ορθογώνιου συνόλου διανυσμάτων.
- Να βρείτε το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός δεδομένου υποχώρου.
- Δείξτε κατανόηση της σχέσης του χώρου της γραμμής, του χώρου στηλών και του μηδενικού χώρου ενός πίνακα (και της μεταφοράς του) μέσω ορθογώνιων συμπληρωμάτων.
- Δείξτε κατανόηση της ανισότητας Cauchy-Schwartz και των εφαρμογών της.
- Προσδιορίστε εάν ένας διανυσματικός χώρος με (ημιγραμμική) μορφή είναι ένας εσωτερικός χώρος γινομένων.
- Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gram-Schmidt για να βρείτε μια ορθοκανονική βάση ενός εσωτερικού χώρου προϊόντος. Να είστε σε θέση να το κάνετε αυτό και στα δύο R n και σε χώρους συναρτήσεων που είναι εσωτερικοί χώροι γινομένων.
- Χρησιμοποιήστε ελάχιστα τετράγωνα για να χωρέσετε μια γραμμή ( y = τσεκούρι + σι) σε έναν πίνακα δεδομένων, σχεδιάστε τη γραμμή και τα σημεία δεδομένων και εξηγήστε την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων ως προς την ορθογώνια προβολή.
- Χρησιμοποιήστε την ιδέα των ελάχιστων τετραγώνων για να βρείτε ορθογώνιες προβολές σε υποχώρους και για προσαρμογή πολυωνυμικής καμπύλης.
- Βρείτε (πραγματικές και μιγαδικές) ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα πινάκων 2 × 2 ή 3 × 3.
- Προσδιορίστε εάν μια δεδομένη μήτρα είναι διαγωνιοποιήσιμη. Αν ναι, βρείτε έναν πίνακα που τον διαγωνίζει μέσω ομοιότητας.
- Δείξτε κατανόηση της σχέσης μεταξύ των ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα και της ορίζοντάς του, του ίχνους του και της αντιστρεψιμότητας/μοναδικότητας του.
- Προσδιορίστε συμμετρικούς πίνακες και ορθογώνιους πίνακες.
- Βρείτε έναν πίνακα που να διαγωνίζεται ορθογώνια έναν δεδομένο συμμετρικό πίνακα.
- Να γνωρίζει και να μπορεί να εφαρμόζει το φασματικό θεώρημα για συμμετρικούς πίνακες.
- Να γνωρίζει και να μπορεί να εφαρμόζει την Αποσύνθεση Ενικής Τιμής.
- Ορίστε σωστά τους όρους και δώστε παραδείγματα που σχετίζονται με τις παραπάνω έννοιες.
- Να αποδείξετε βασικά θεωρήματα για τις παραπάνω έννοιες.
- Να αποδείξετε ή να απορρίψετε δηλώσεις που σχετίζονται με τις παραπάνω έννοιες.
- Να είστε ικανοί στον υπολογισμό για μείωση σειρών, αντιστροφή πίνακα και παρόμοια προβλήματα. Επίσης, χρησιμοποιήστε το MATLAB ή ένα παρόμοιο πρόγραμμα για προβλήματα γραμμικής άλγεβρας.
Lesia M. Ohnivchuk
Αφηρημένη
Το άρθρο εξετάζει τον τρόπο επέκτασης της λειτουργικότητας του LMS Moodle κατά τη δημιουργία μαθημάτων ηλεκτρονικής μάθησης για τις μαθηματικές επιστήμες, ιδίως τα μαθήματα ηλεκτρονικής μάθησης "Στοιχειώδη Μαθηματικά" χρησιμοποιώντας τεχνολογία flash και εφαρμογές Java. Υπάρχουν παραδείγματα χρήσης εφαρμογών flash και Java-applets στο μάθημα «Μαθηματικά Δημοτικού».
Λέξεις-κλειδιά
LMS Moodle; μαθήματα ηλεκτρονικής μάθησης. τεχνολογία flash? Εφαρμογή Java, GeoGebra
βιβλιογραφικές αναφορές
Brandão, L. O., "iGeom: ένα ελεύθερο λογισμικό για δυναμική γεωμετρία στον Ιστό", Διεθνές Συνέδριο για την Εκπαίδευση στις Επιστήμες και τα Μαθηματικά, Ρίο ντε Τζανέιρο, Βραζιλία, 2002.
Brandão, L. O. and Eisnmann, A. L. K. «Work in Progress: iComb Project - a mathematical widget for διδασκαλία και εκμάθηση συνδυαστικής μέσω ασκήσεων» Proceedings of the 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G_1–2
Kamiya, R. H and Brandão, L. O. «iVProg – ένα σύστημα για εισαγωγικό προγραμματισμό μέσω ενός Visual Model στο Διαδίκτυο. Proceedings of the XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (στα Πορτογαλικά).
Moodle.org: εργαλεία ανοιχτού κώδικα βασισμένα στην κοινότητα για μάθηση [Ηλεκτρονικός πόρος]. – Τρόπος πρόσβασης: http://www.moodle.org.
MoodleDocs [Ηλεκτρονικός πόρος]. – Λειτουργία πρόσβασης: http://docs.moodle.org.
Διαδραστικές τεχνολογίες: θεωρία, πρακτική, στοιχεία: μεθοδικός οδηγός αυτόματης εγκατάστασης: O. Pometun, L. Pirozhenko. – Κ.: APN; 2004. – 136 σελ.
Ντμίτρι Πουπινίν. Είδος ερώτησης: Flash [Ηλεκτρονικός πόρος]. – Λειτουργία πρόσβασης: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26/02/14.
Andreev A.V., Gerasimenko P.S.. Χρήση Flash και SCORM για τη δημιουργία τελικών εργασιών ελέγχου [Ηλεκτρονικός πόρος]. – Λειτουργία πρόσβασης: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 –02.26.14.
GeoGebra. Υλικά [Ηλεκτρονικός πόρος]. – Λειτουργία πρόσβασης: http://tube.geogebra.org.
Hohenvator M. Εισαγωγή στο GeoGebra / M. Hohenvator / μετάφρ. T. S. Ryabova. – 2012. – 153 σελ.
ΑΝΑΦΟΡΕΣ (ΜΕΤΑΦΡΑΣΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ)
Brandão, L. O. "iGeom: a free software for dynamic geometry into the web", International Conference on Sciences and Mathematics Education, Ρίο ντε Τζανέιρο, Βραζιλία, 2002 (στα αγγλικά).
Brandão, L. O. and Eisnmann, A. L. K. «Work in Progress: iComb Project - a mathematical widget for διδασκαλία και εκμάθηση συνδυαστικής μέσω ασκήσεων» Proceedings of the 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G_1–2 (στα αγγλικά).
Kamiya, R. H and Brandão, L. O. «iVProg – ένα σύστημα για εισαγωγικό προγραμματισμό μέσω ενός Visual Model στο Διαδίκτυο. Proceedings of the XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (στα αγγλικά)..
Moodle.org: εργαλεία ανοιχτού κώδικα βασισμένα στην κοινότητα για μάθηση. – Διαθέσιμο από: http://www.moodle.org (στα αγγλικά).
MoodleDocs. – Διαθέσιμο από: http://docs.moodle.org (στα αγγλικά).
Pometun O. I., Pirozhenko L. V. Μοντέρνο μάθημα, Κίεβο, ASK Publ., 2004, 192 p. (στα ουκρανικά).
Ντμίτρι Πουπινίν. Τύπος ερώτησης: Flash . – Διαθέσιμο από: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26/02/14 (στα Αγγλικά).
Andreev A., Gerasimenko R. Χρήση Flash και SCORM για τη δημιουργία εργασιών τελικού ελέγχου. – Διαθέσιμο από: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 26.02.14 (στα ρωσικά).
GeoGebra Wiki. – Διαθέσιμο από: http://www.geogebra.org (στα αγγλικά).
Hohenwarter M. Introduction to GeoGebra / M. Hohenwarter. – 2012. – 153 s. (Στα Αγγλικά).
DOI: https://doi.org/10.33407/itlt.v48i4.1249
Πνευματικά δικαιώματα (γ) 2015 Lesia M. Ohnivchuk
Στο πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή, για να σχηματίσετε μια βέλτιστη διαδρομή γύρω από n πόλεις, πρέπει να επιλέξετε την καλύτερη από τις (n-1)! επιλογές με βάση το χρόνο, το κόστος ή το μήκος διαδρομής. Αυτό το πρόβλημα περιλαμβάνει τον προσδιορισμό ενός κύκλου Hamiltonian ελάχιστου μήκους. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το σύνολο όλων των πιθανών λύσεων θα πρέπει να αναπαρίσταται με τη μορφή ενός δέντρου - ενός συνδεδεμένου γραφήματος που δεν περιέχει κύκλους ή βρόχους. Η ρίζα του δέντρου ενώνει ολόκληρο το σύνολο των επιλογών και οι κορυφές του δέντρου είναι υποσύνολα μερικώς διατεταγμένων επιλογών λύσης.
Σκοπός της υπηρεσίας. Χρησιμοποιώντας την υπηρεσία, μπορείτε να ελέγξετε τη λύση σας ή να λάβετε μια νέα λύση στο πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή χρησιμοποιώντας δύο μεθόδους: τη μέθοδο διακλάδωσης και δέσμευσης και την ουγγρική μέθοδο.
Μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος του περιοδεύοντος πωλητή
Το διατυπωμένο πρόβλημα είναι ένα ακέραιο πρόβλημα. Έστω x ij =1 εάν ο ταξιδιώτης μετακινείται από την i-η πόλη στην j-η και x ij =0 εάν αυτό δεν συμβαίνει.Τυπικά, εισάγουμε (n+1) μια πόλη που βρίσκεται στην ίδια θέση με την πρώτη πόλη, δηλ. οι αποστάσεις από (n+1) πόλεις σε οποιαδήποτε άλλη πόλη εκτός από την πρώτη είναι ίσες με τις αποστάσεις από την πρώτη πόλη. Επιπλέον, εάν μπορείτε να φύγετε μόνο από την πρώτη πόλη, τότε μπορείτε να έρθετε μόνο στην (n+1) πόλη.
Ας εισαγάγουμε επιπλέον ακέραιες μεταβλητές ίσες με τον αριθμό των επισκέψεων σε αυτήν την πόλη στην πορεία. u 1 =0, u n +1 =n. Για να αποφύγετε κλειστά μονοπάτια, αφήστε την πρώτη πόλη και επιστρέψτε στο (n+1), εισάγουμε πρόσθετους περιορισμούς που συνδέουν τις μεταβλητές x ij και τις μεταβλητές u i (u i είναι μη αρνητικοί ακέραιοι).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, με i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n
Μέθοδοι για την επίλυση του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή
- μέθοδος διακλάδωσης και δεσμεύματος (αλγόριθμος του Little ή εξάλειψη υποκύκλου). Παράδειγμα διακλάδωσης και δεσμευμένης λύσης.
- Ουγγρική μέθοδος. Ένα παράδειγμα λύσης που χρησιμοποιεί την ουγγρική μέθοδο.
Εξάλειψη αλγόριθμου ή υποκύκλου του Little
- Λειτουργία αναγωγής κατά μήκος σειρών: σε κάθε γραμμή του πίνακα, το ελάχιστο στοιχείο d min βρίσκεται και αφαιρείται από όλα τα στοιχεία της αντίστοιχης σειράς. Κατώτερο όριο: H=∑d min .
- Λειτουργία αναγωγής κατά στήλες: σε κάθε στήλη του πίνακα, επιλέξτε το ελάχιστο στοιχείο d min και αφαιρέστε το από όλα τα στοιχεία της αντίστοιχης στήλης. Κατώτερο όριο: H=H+∑d min .
- Η σταθερά μείωσης H είναι το κάτω όριο του συνόλου όλων των αποδεκτών περιγραμμάτων Hamiltonian.
- Εύρεση δυνάμεων μηδενικών για έναν πίνακα που δίνεται από γραμμές και στήλες. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε προσωρινά τα μηδενικά στον πίνακα με το σύμβολο "∞" και βρείτε το άθροισμα των ελάχιστων στοιχείων της γραμμής και της στήλης που αντιστοιχούν σε αυτό το μηδέν.
- Επιλέξτε το τόξο (i,j) για το οποίο ο βαθμός του μηδενικού στοιχείου φτάνει τη μέγιστη τιμή.
- Το σύνολο όλων των περιγραμμάτων του Χαμιλτονίου χωρίζεται σε δύο υποσύνολα: το υποσύνολο των περιγραμμάτων του Χαμιλτονίου που περιέχουν το τόξο (i,j) και εκείνα που δεν το περιέχουν (i*,j*). Για να αποκτήσετε έναν πίνακα περιγραμμάτων που περιλαμβάνει τόξο (i,j), διαγράψτε τη σειρά i και τη στήλη j στον πίνακα. Για να αποτρέψετε το σχηματισμό μη Χαμιλτονιανού περιγράμματος, αντικαταστήστε το συμμετρικό στοιχείο (j,i) με το σύμβολο «∞». Η εξάλειψη του τόξου επιτυγχάνεται με την αντικατάσταση του στοιχείου στη μήτρα με ∞.
- Ο πίνακας των περιγραμμάτων του Χαμιλτονίου ανάγεται με αναζήτηση των σταθερών αναγωγής H(i,j) και H(i*,j*) .
- Συγκρίνονται τα κάτω όρια του υποσυνόλου των περιγραμμάτων Hamiltonian H(i,j) και H(i*,j*). Αν H(i,j)
- Εάν, ως αποτέλεσμα της διακλάδωσης, ληφθεί μια μήτρα (2x2), τότε προσδιορίζεται το περίγραμμα Hamilton που λαμβάνεται με διακλάδωση και το μήκος του.
- Το μήκος του περιγράμματος του Χαμιλτονίου συγκρίνεται με τα κατώτερα όρια των κρεμαστών κλαδιών. Εάν το μήκος του περιγράμματος δεν υπερβαίνει τα κατώτερα όριά τους, τότε το πρόβλημα λύνεται. Διαφορετικά, αναπτύσσονται κλάδοι υποσυνόλων με χαμηλότερο όριο μικρότερο από το προκύπτον περίγραμμα μέχρι να επιτευχθεί μια διαδρομή με μικρότερο μήκος.
Παράδειγμα. Λύστε το πρόβλημα του περιοδεύοντος πωλητή με έναν πίνακα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Little
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Λύση. Ας πάρουμε ως αυθαίρετη διαδρομή: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Τότε F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Για να προσδιορίσουμε το κάτω όριο του συνόλου, χρησιμοποιούμε λειτουργία μείωσηςή μείωση της γραμμής του πίνακα κατά σειρά, για την οποία είναι απαραίτητο να βρεθεί το ελάχιστο στοιχείο σε κάθε σειρά του πίνακα D: d i = min(j) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | Μ | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | Μ | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | Μ | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | Μ | 5 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Μ | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Μ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | Μ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Μ | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | Μ |
d j = min(i) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Μ | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Μ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | Μ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Μ | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | Μ |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Μ | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Μ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | Μ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Μ | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | Μ |
Τα στοιχεία του πίνακα d ij αντιστοιχούν στην απόσταση από το σημείο i στο σημείο j.
Εφόσον υπάρχουν n πόλεις στον πίνακα, τότε το D είναι ένας πίνακας nxn με μη αρνητικά στοιχεία d ij ≥ 0
Κάθε έγκυρη διαδρομή αντιπροσωπεύει έναν κύκλο κατά τον οποίο ο περιοδεύων πωλητής επισκέπτεται την πόλη μόνο μία φορά και επιστρέφει στην αρχική πόλη.
Το μήκος διαδρομής καθορίζεται από την έκφραση: F(M k) = ∑d ij
Επιπλέον, κάθε γραμμή και στήλη περιλαμβάνεται στη διαδρομή μόνο μία φορά με το στοιχείο d ij .
Βήμα 1.
Προσδιορισμός της ακμής διακλάδωσης
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | Μ | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | Μ | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | Μ | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | Μ | 0 |
| DJ | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Το μεγαλύτερο άθροισμα σταθερών αναγωγής είναι (0 + 6) = 6 για την ακμή (5,2), επομένως, το σύνολο χωρίζεται σε δύο υποσύνολα (5,2) και (5*,2*).
Εξαίρεση άκρωνΤο (5.2) πραγματοποιείται αντικαθιστώντας το στοιχείο d 52 = 0 με M, μετά από το οποίο πραγματοποιούμε την επόμενη μείωση του πίνακα απόστασης για το προκύπτον υποσύνολο (5*,2*), ως αποτέλεσμα λαμβάνουμε έναν μειωμένο πίνακα.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | Μ | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | Μ | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Μ | 1 | 0 |
| 5 | 0 | Μ | 0 | 0 | Μ | 0 |
| DJ | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Ενεργοποίηση άκρηςΤο (5.2) πραγματοποιείται με την εξάλειψη όλων των στοιχείων της 5ης σειράς και της 2ης στήλης, στην οποία το στοιχείο d 25 αντικαθίσταται από το M για να εξαλειφθεί ο σχηματισμός ενός μη-χαμιλτονιανού κύκλου.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | Μ | 0 |
| 3 | 6 | Μ | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | Μ | 1 | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Το κάτω όριο του υποσυνόλου (5,2) ισούται με: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Δεδομένου ότι το κάτω όριο αυτού του υποσυνόλου (5,2) είναι μικρότερο από το υποσύνολο (5*,2*), συμπεριλαμβάνουμε την άκρη (5,2) στη διαδρομή με νέο όριο H = 35
Βήμα 2.
Προσδιορισμός της ακμής διακλάδωσηςκαι διαιρέστε ολόκληρο το σύνολο των διαδρομών σε σχέση με αυτό το άκρο σε δύο υποσύνολα (i,j) και (i*,j*).
Για το σκοπό αυτό, για όλα τα κελιά του πίνακα με μηδενικά στοιχεία, αντικαθιστούμε τα μηδενικά ένα προς ένα με Μ (άπειρο) και προσδιορίζουμε για αυτά το άθροισμα των σταθερών αναγωγής που προκύπτουν, δίνονται σε παρένθεση.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | Μ | 2 |
| 3 | 6 | Μ | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | Μ | 1 | 0 |
| DJ | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Το μεγαλύτερο άθροισμα σταθερών αναγωγής είναι (0 + 9) = 9 για την ακμή (4,3), επομένως, το σύνολο χωρίζεται σε δύο υποσύνολα (4,3) και (4*,3*).
Εξαίρεση άκρωνΤο (4.3) πραγματοποιείται αντικαθιστώντας το στοιχείο d 43 = 0 με M, μετά από το οποίο πραγματοποιούμε την επόμενη μείωση του πίνακα απόστασης για το προκύπτον υποσύνολο (4*,3*), ως αποτέλεσμα λαμβάνουμε έναν μειωμένο πίνακα.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | Μ | 0 |
| 3 | 6 | Μ | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | Μ | Μ | 1 | 0 |
| DJ | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Ενεργοποίηση άκρηςΤο (4.3) πραγματοποιείται με την εξάλειψη όλων των στοιχείων της 4ης σειράς και της 3ης στήλης, στην οποία το στοιχείο d 34 αντικαθίσταται από το M για να εξαλειφθεί ο σχηματισμός ενός μη-χαμιλτονιανού κύκλου.
Μετά τη λειτουργία μείωσης, ο μειωμένος πίνακας θα μοιάζει με:
| i j | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | Μ | 0 |
| 3 | 6 | Μ | 5 | 5 |
| DJ | 0 | 2 | 0 | 7 |
Το κάτω όριο του υποσυνόλου (4,3) ισούται με: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Από 42 > 41, αποκλείουμε το υποσύνολο (5,2) για περαιτέρω διακλάδωση.
Επιστρέφουμε στο προηγούμενο σχέδιο X 1.
Σχέδιο Χ 1.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Μ | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Μ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | Μ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | Μ | 1 |
| 5 | 0 | Μ | 0 | 0 | Μ |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | Μ | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | Μ | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | Μ | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | Μ | 1 |
| 5 | 0 | Μ | 0 | 0 | Μ |
Προσδιορισμός της ακμής διακλάδωσηςκαι διαιρέστε ολόκληρο το σύνολο των διαδρομών σε σχέση με αυτό το άκρο σε δύο υποσύνολα (i,j) και (i*,j*).
Για το σκοπό αυτό, για όλα τα κελιά του πίνακα με μηδενικά στοιχεία, αντικαθιστούμε τα μηδενικά ένα προς ένα με Μ (άπειρο) και προσδιορίζουμε για αυτά το άθροισμα των σταθερών αναγωγής που προκύπτουν, δίνονται σε παρένθεση.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | Μ | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | Μ | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | Μ | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | Μ | 0(0) | 0(0) | Μ | 0 |
| DJ | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Το μεγαλύτερο άθροισμα σταθερών αναγωγής είναι (0 + 6) = 6 για την ακμή (4,2), επομένως, το σύνολο χωρίζεται σε δύο υποσύνολα (4,2) και (4*,2*).
Εξαίρεση άκρωνΤο (4.2) πραγματοποιείται αντικαθιστώντας το στοιχείο d 42 = 0 με M, μετά από το οποίο πραγματοποιούμε την επόμενη μείωση του πίνακα απόστασης για το προκύπτον υποσύνολο (4*,2*), ως αποτέλεσμα λαμβάνουμε έναν μειωμένο πίνακα.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | Μ | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | Μ | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | Μ | 0 | Μ | 1 | 0 |
| 5 | 0 | Μ | 0 | 0 | Μ | 0 |
| DJ | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Ενεργοποίηση άκρηςΤο (4.2) πραγματοποιείται με την εξάλειψη όλων των στοιχείων της 4ης σειράς και της 2ης στήλης, στην οποία το στοιχείο d 24 αντικαθίσταται από το M για να εξαλειφθεί ο σχηματισμός ενός μη-χαμιλτονιανού κύκλου.
Το αποτέλεσμα είναι ένας άλλος μειωμένος πίνακας (4 x 4), ο οποίος υπόκειται στη λειτουργία αναγωγής.
Μετά τη λειτουργία μείωσης, ο μειωμένος πίνακας θα μοιάζει με:
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | Μ | 6 | 0 |
| 3 | 6 | Μ | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | Μ | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Το κάτω όριο του υποσυνόλου (4,2) ισούται με: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Δεδομένου ότι το κάτω όριο αυτού του υποσυνόλου (4,2) είναι μικρότερο από το υποσύνολο (4*,2*), συμπεριλαμβάνουμε την άκρη (4,2) στη διαδρομή με νέο όριο H = 41
Βήμα 2.
Προσδιορισμός της ακμής διακλάδωσηςκαι διαιρέστε ολόκληρο το σύνολο των διαδρομών σε σχέση με αυτό το άκρο σε δύο υποσύνολα (i,j) και (i*,j*).
Για το σκοπό αυτό, για όλα τα κελιά του πίνακα με μηδενικά στοιχεία, αντικαθιστούμε τα μηδενικά ένα προς ένα με Μ (άπειρο) και προσδιορίζουμε για αυτά το άθροισμα των σταθερών αναγωγής που προκύπτουν, δίνονται σε παρένθεση.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | Μ | 6 | 6 |
| 3 | 6 | Μ | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | Μ | 0 |
| DJ | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Το μεγαλύτερο άθροισμα σταθερών αναγωγής είναι (4 + 5) = 9 για την ακμή (1,5), επομένως, το σύνολο χωρίζεται σε δύο υποσύνολα (1,5) και (1*,5*).
Εξαίρεση άκρωνΤο (1.5) πραγματοποιείται αντικαθιστώντας το στοιχείο d 15 = 0 με M, μετά από το οποίο πραγματοποιούμε την επόμενη μείωση του πίνακα απόστασης για το προκύπτον υποσύνολο (1*,5*), ως αποτέλεσμα λαμβάνουμε έναν μειωμένο πίνακα.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | Μ | 10 | 4 | Μ | 4 |
| 2 | 0 | 9 | Μ | 6 | 0 |
| 3 | 6 | Μ | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | Μ | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Ενεργοποίηση άκρηςΤο (1.5) πραγματοποιείται με την εξάλειψη όλων των στοιχείων της 1ης σειράς και της 5ης στήλης, στην οποία το στοιχείο d 51 αντικαθίσταται από το M για να εξαλειφθεί ο σχηματισμός ενός μη-χαμιλτονιανού κύκλου.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε έναν άλλο μειωμένο πίνακα (3 x 3), ο οποίος υπόκειται στη λειτουργία αναγωγής.
Μετά τη λειτουργία μείωσης, ο μειωμένος πίνακας θα μοιάζει με:
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | Μ | 0 |
| 3 | 6 | Μ | 0 | 0 |
| 5 | Μ | 0 | 0 | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 | 0 |
Το κάτω όριο του υποσυνόλου (1,5) ισούται με: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Δεδομένου ότι το κάτω όριο αυτού του υποσυνόλου (1,5) είναι μικρότερο από το υποσύνολο (1*,5*), συμπεριλαμβάνουμε την άκρη (1,5) στη διαδρομή με νέο όριο H = 41
Βήμα #3.
Προσδιορισμός της ακμής διακλάδωσηςκαι διαιρέστε ολόκληρο το σύνολο των διαδρομών σε σχέση με αυτό το άκρο σε δύο υποσύνολα (i,j) και (i*,j*).
Για το σκοπό αυτό, για όλα τα κελιά του πίνακα με μηδενικά στοιχεία, αντικαθιστούμε τα μηδενικά ένα προς ένα με Μ (άπειρο) και προσδιορίζουμε για αυτά το άθροισμα των σταθερών αναγωγής που προκύπτουν, δίνονται σε παρένθεση.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | Μ | 9 |
| 3 | 6 | Μ | 0(6) | 6 |
| 5 | Μ | 0(9) | 0(0) | 0 |
| DJ | 6 | 9 | 0 | 0 |
Το μεγαλύτερο άθροισμα σταθερών αναγωγής είναι (9 + 6) = 15 για την ακμή (2,1), επομένως, το σύνολο χωρίζεται σε δύο υποσύνολα (2,1) και (2*,1*).
Εξαίρεση άκρωνΤο (2.1) πραγματοποιείται αντικαθιστώντας το στοιχείο d 21 = 0 με M, μετά από το οποίο πραγματοποιούμε την επόμενη μείωση του πίνακα απόστασης για το προκύπτον υποσύνολο (2*,1*), ως αποτέλεσμα λαμβάνουμε έναν μειωμένο πίνακα.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | Μ | 9 | Μ | 9 |
| 3 | 6 | Μ | 0 | 0 |
| 5 | Μ | 0 | 0 | 0 |
| DJ | 6 | 0 | 0 | 15 |
Ενεργοποίηση άκρηςΤο (2.1) πραγματοποιείται με την εξάλειψη όλων των στοιχείων της 2ης σειράς και της 1ης στήλης, στην οποία το στοιχείο d 12 αντικαθίσταται από το M για να εξαλειφθεί ο σχηματισμός ενός μη-χαμιλτονιανού κύκλου.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε έναν άλλο μειωμένο πίνακα (2 x 2), ο οποίος υπόκειται στη λειτουργία αναγωγής.
Μετά τη λειτουργία μείωσης, ο μειωμένος πίνακας θα μοιάζει με:
| i j | 3 | 4 | d i |
| 3 | Μ | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| DJ | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
Το κάτω όριο του υποσυνόλου (2,1) ισούται με: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Δεδομένου ότι το κάτω όριο αυτού του υποσυνόλου (2,1) είναι μικρότερο από το υποσύνολο (2*,1*), συμπεριλαμβάνουμε την άκρη (2,1) στη διαδρομή με νέο όριο H = 41.
Σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα, συμπεριλαμβάνουμε τις ακμές (3,4) και (5,3) στη διαδρομή Hamiltonian.
Ως αποτέλεσμα, κατά μήκος του διακλαδούμενου δέντρου του κύκλου Hamiltonian, οι άκρες σχηματίζονται:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Το μήκος διαδρομής είναι F(Mk) = 41
Δέντρο απόφασης.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), Η=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), Η=47 | (4,2) | (4*,3*), Η=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), Η=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), Η=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), Η=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), Η=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Το SAT Math Test καλύπτει μια σειρά από μαθηματικές μεθόδους, με έμφαση στην επίλυση προβλημάτων, στα μαθηματικά μοντέλα και στη στρατηγική χρήση της μαθηματικής γνώσης.
SAT Math Test: όπως και στον πραγματικό κόσμο
Αντί να σας δοκιμάζει σε κάθε θέμα μαθηματικών, το νέο SAT ελέγχει την ικανότητά σας να χρησιμοποιείτε τα μαθηματικά στα οποία θα βασιστείτε τις περισσότερες φορές και σε πολλές διαφορετικές καταστάσεις. Οι ερωτήσεις των μαθηματικών τεστ έχουν σχεδιαστεί για να αντικατοπτρίζουν την επίλυση προβλημάτων και τα μοντέλα που θα αντιμετωπίσετε
Πανεπιστημιακές σπουδές, σπουδάζοντας άμεσα μαθηματικά, καθώς και φυσικές και κοινωνικές επιστήμες.
- Οι καθημερινές επαγγελματικές σας δραστηριότητες.
- Η καθημερινότητά σου.
Για παράδειγμα, για να απαντήσετε σε ορισμένες ερωτήσεις, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε πολλά βήματα - επειδή στον πραγματικό κόσμο, οι καταστάσεις όπου ένα απλό βήμα αρκεί για να βρεθεί μια λύση είναι εξαιρετικά σπάνιες.
Μορφή SAT Math
SAT Math Test: Basic Facts
Η ενότητα SAT Math εστιάζει σε τρεις τομείς των μαθηματικών που διαδραματίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο στα περισσότερα ακαδημαϊκά θέματα στην τριτοβάθμια εκπαίδευση και την επαγγελματική σταδιοδρομία:
- Καρδιά της Άλγεβρας: Βασικές αρχές της άλγεβρας, που επικεντρώνεται στην επίλυση γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων.
- Επίλυση προβλημάτων και ανάλυση δεδομένων: Η επίλυση προβλημάτων και η ανάλυση δεδομένων είναι απαραίτητες για τον γενικό μαθηματικό γραμματισμό.
- Διαβατήριο για Προχωρημένους Μαθηματικά: Βασικές αρχές προχωρημένων μαθηματικών, που θέτει ερωτήσεις που απαιτούν χειρισμό σύνθετων εξισώσεων.
Το τεστ μαθηματικών βασίζεται επίσης σε πρόσθετα θέματα στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένης της γεωμετρίας και της τριγωνομετρίας, τα οποία είναι πιο σημαντικά για τις πανεπιστημιακές σπουδές και την επαγγελματική σταδιοδρομία.
SAT Math Test: βίντεο
Βασικά στοιχεία της άλγεβρας
Καρδιά της Άλγεβρας
Αυτή η ενότητα του SAT Math εστιάζει στην άλγεβρα και στις βασικές έννοιες που είναι πιο σημαντικές για την επιτυχία στο κολέγιο και την καριέρα. Αξιολογεί την ικανότητα των μαθητών να αναλύουν, να λύνουν και να κατασκευάζουν ελεύθερα γραμμικές εξισώσεις και ανισότητες. Οι μαθητές θα πρέπει επίσης να αναλύουν και να λύνουν με ευχέρεια εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιώντας πολλαπλές μεθόδους.Για την πλήρη αξιολόγηση της γνώσης αυτού του υλικού, τα προβλήματα θα ποικίλλουν σημαντικά ως προς τον τύπο και το περιεχόμενο. Μπορεί να είναι αρκετά απλά ή να απαιτούν στρατηγική σκέψη και κατανόηση, όπως η ερμηνεία της αλληλεπίδρασης μεταξύ γραφικών και αλγεβρικών εκφράσεων ή η παρουσίαση μιας λύσης ως συλλογιστική διαδικασία. Οι υποψήφιοι πρέπει να επιδείξουν όχι μόνο γνώση των τεχνικών επίλυσης, αλλά και μια βαθύτερη κατανόηση των εννοιών που αποτελούν τη βάση των γραμμικών εξισώσεων και συναρτήσεων. Το SAT Math Fundamentals of Algebra βαθμολογείται σε κλίμακα από το 1 έως το 15.
Αυτή η ενότητα θα περιέχει εργασίες για τις οποίες η απάντηση παρουσιάζεται σε πολλαπλή επιλογή ή υπολογίζεται ανεξάρτητα από τον μαθητή. Η χρήση αριθμομηχανής επιτρέπεται μερικές φορές, αλλά όχι πάντα απαραίτητη ή συνιστάται.
1. Κατασκευάστε, λύστε ή ερμηνεύστε μια γραμμική έκφραση ή εξίσωση με μία μεταβλητή, στο πλαίσιο κάποιων συγκεκριμένων συνθηκών. Μια έκφραση ή μια εξίσωση μπορεί να έχει ορθολογικούς συντελεστές και μπορεί να απαιτούνται πολλά βήματα για την απλοποίηση της έκφρασης ή την επίλυση της εξίσωσης.
2. Κατασκευάστε, λύστε ή ερμηνεύστε γραμμικές ανισότητες με μία μεταβλητή, στο πλαίσιο κάποιων συγκεκριμένων συνθηκών. Μια ανισότητα μπορεί να έχει ορθολογικούς συντελεστές και μπορεί να απαιτεί πολλά βήματα για να απλοποιηθεί ή να επιλυθεί.
3. Κατασκευάστε μια γραμμική συνάρτηση που μοντελοποιεί μια γραμμική σχέση μεταξύ δύο μεγεθών. Ο εξεταζόμενος πρέπει να περιγράψει μια γραμμική σχέση που εκφράζει ορισμένες συνθήκες χρησιμοποιώντας είτε μια εξίσωση με δύο μεταβλητές είτε μια συνάρτηση. Η εξίσωση ή η συνάρτηση θα έχει ορθολογικούς συντελεστές και μπορεί να απαιτούνται αρκετά βήματα για την κατασκευή και την απλοποίηση της εξίσωσης ή της συνάρτησης.
4. Κατασκευάστε, λύστε και ερμηνεύστε συστήματα γραμμικών ανισώσεων με δύο μεταβλητές. Ο εξεταζόμενος θα αναλύσει μία ή περισσότερες συνθήκες που υπάρχουν μεταξύ δύο μεταβλητών κατασκευάζοντας, λύνοντας ή ερμηνεύοντας μια ανισότητα δύο μεταβλητών ή ένα σύστημα ανισοτήτων δύο μεταβλητών, εντός ορισμένων καθορισμένων συνθηκών. Η κατασκευή μιας ανισότητας ή συστήματος ανισοτήτων μπορεί να απαιτεί πολλά βήματα ή ορισμούς.
5. Κατασκευάστε, λύστε και ερμηνεύστε συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο μεταβλητές. Ο εξεταζόμενος θα αναλύσει μία ή περισσότερες συνθήκες που υπάρχουν μεταξύ δύο μεταβλητών κατασκευάζοντας, λύνοντας ή αναλύοντας ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, εντός συγκεκριμένων καθορισμένων συνθηκών. Οι εξισώσεις θα έχουν ορθολογικούς συντελεστές και μπορεί να απαιτούνται αρκετά βήματα για την απλοποίηση ή την επίλυση του συστήματος.
6. Λύστε γραμμικές εξισώσεις (ή ανισώσεις) με μία μεταβλητή. Η εξίσωση (ή η ανισότητα) θα έχει ορθολογικούς συντελεστές και μπορεί να απαιτήσει πολλά βήματα για να λυθεί. Οι εξισώσεις μπορεί να μην έχουν λύση, μία λύση ή άπειρο αριθμό λύσεων. Μπορεί επίσης να ζητηθεί από τον εξεταζόμενο να προσδιορίσει την τιμή ή τον συντελεστή μιας εξίσωσης που δεν έχει λύση ή έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
7. Λύστε συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Οι εξισώσεις θα έχουν ορθολογικούς συντελεστές και το σύστημα μπορεί να μην έχει λύση, μία λύση ή άπειρο αριθμό λύσεων. Μπορεί επίσης να ζητηθεί από τον εξεταζόμενο να προσδιορίσει την τιμή ή τον συντελεστή μιας εξίσωσης στην οποία το σύστημα μπορεί να μην έχει λύση, μία λύση ή άπειρο αριθμό λύσεων.
8. Εξηγήστε τη σχέση μεταξύ αλγεβρικών και γραφικών παραστάσεων. Προσδιορίστε το γράφημα που περιγράφεται από μια δεδομένη γραμμική εξίσωση ή τη γραμμική εξίσωση που περιγράφει ένα δεδομένο γράφημα, προσδιορίστε την εξίσωση μιας γραμμής που δίνεται περιγράφοντας προφορικά το γράφημά της, προσδιορίστε βασικά χαρακτηριστικά του γραφήματος μιας γραμμικής συνάρτησης από την εξίσωσή της, προσδιορίστε πώς ένα γράφημα μπορεί να επηρεαστεί από την αλλαγή της εξίσωσής του.
Επίλυση προβλημάτων και ανάλυση δεδομένων
Επίλυση προβλημάτων και ανάλυση δεδομένων
Αυτή η ενότητα του SAT Math αντικατοπτρίζει έρευνα που έχει εντοπίσει τι είναι σημαντικό για την επιτυχία στο κολέγιο ή το πανεπιστήμιο. Τα τεστ απαιτούν επίλυση προβλημάτων και ανάλυση δεδομένων: ικανότητα μαθηματικής περιγραφής μιας συγκεκριμένης κατάστασης, λαμβάνοντας υπόψη τα εμπλεκόμενα στοιχεία, γνώση και χρήση διαφόρων ιδιοτήτων μαθηματικών πράξεων και αριθμών. Τα προβλήματα αυτής της κατηγορίας απαιτούν σημαντική εμπειρία στη λογική συλλογιστική.
Οι εξεταζόμενοι θα πρέπει να γνωρίζουν τον υπολογισμό των μέσων τιμών των δεικτών, των γενικών προτύπων και των αποκλίσεων από τη γενική εικόνα και την κατανομή σε σύνολα.
Όλες οι ερωτήσεις επίλυσης προβλημάτων και ανάλυσης δεδομένων ελέγχουν την ικανότητα των εξεταζόμενων να χρησιμοποιούν τη μαθηματική κατανόηση και τις δεξιότητές τους για την επίλυση προβλημάτων που ενδέχεται να συναντήσουν στον πραγματικό κόσμο. Πολλά από αυτά τα ζητήματα τίθενται σε ακαδημαϊκά και επαγγελματικά πλαίσια και είναι πιθανό να σχετίζονται με την επιστήμη και την κοινωνιολογία.
Η επίλυση προβλημάτων και η ανάλυση δεδομένων είναι μία από τις τρεις υποενότητες του SAT Math που βαθμολογούνται από 1 έως 15.
Αυτή η ενότητα θα περιέχει ερωτήσεις με απαντήσεις πολλαπλής επιλογής ή αυτο-υπολογιζόμενες απαντήσεις. Η χρήση αριθμομηχανής εδώ επιτρέπεται πάντα, αλλά όχι πάντα απαραίτητη ή συνιστάται.
Σε αυτό το μέρος του SAT Math, ενδέχεται να αντιμετωπίσετε τις ακόλουθες ερωτήσεις:
1. Χρησιμοποιήστε αναλογίες, ρυθμούς, αναλογίες και σχέδια κλίμακας για την επίλυση προβλημάτων ενός και πολλαπλών βημάτων. Οι εξεταζόμενοι θα χρησιμοποιήσουν μια αναλογική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών για να λύσουν ένα πρόβλημα πολλαπλών βημάτων για να καθορίσουν μια αναλογία ή ένα ποσοστό. Υπολογίστε την αναλογία ή τον ρυθμό και, στη συνέχεια, λύστε το πρόβλημα πολλαπλών βημάτων χρησιμοποιώντας τη δεδομένη αναλογία ή αναλογία για να λύσετε το πρόβλημα πολλών βημάτων.
2. Λύστε προβλήματα μονού και πολλαπλών βημάτων με ποσοστά. Ο εξεταζόμενος θα λύσει ένα πολυεπίπεδο πρόβλημα για να καθορίσει ποσοστό. Υπολογίστε το ποσοστό ενός αριθμού και στη συνέχεια λύστε ένα πρόβλημα πολλαπλών επιπέδων. Χρησιμοποιώντας ένα δεδομένο ποσοστό, λύστε ένα πρόβλημα πολλαπλών επιπέδων.
3. Επίλυση προβλημάτων υπολογισμού ενός και πολλαπλών βημάτων. Ο εξεταζόμενος θα λύσει ένα πρόβλημα πολλαπλών επιπέδων για να καθορίσει τη μονάδα ποσοστού. Υπολογίστε μια μονάδα μέτρησης και στη συνέχεια λύστε ένα πρόβλημα πολλαπλών βημάτων. Επίλυση ενός προβλήματος πολλαπλών επιπέδων για να ολοκληρωθεί η μετατροπή μονάδας. Επίλυση ενός προβλήματος υπολογισμού πυκνότητας πολλαπλών σταδίων. Ή χρησιμοποιήστε την έννοια της πυκνότητας για να λύσετε ένα πρόβλημα πολλαπλών βημάτων.
4. Χρησιμοποιώντας διαγράμματα διασποράς, λύστε γραμμικά, τετραγωνικά ή εκθετικά μοντέλα για να περιγράψετε πώς σχετίζονται οι μεταβλητές. Με δεδομένο το διάγραμμα διασποράς, επιλέξτε την εξίσωση της γραμμής ή της καμπύλης προσαρμογής. Ερμηνεύστε τη γραμμή στο πλαίσιο της κατάστασης. Ή χρησιμοποιήστε τη γραμμή ή την καμπύλη που ταιριάζει καλύτερα στην πρόβλεψη.
5. Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, εξερευνήστε τις βασικές συναρτήσεις του γραφήματος. Ο εξεταζόμενος θα κάνει συνδέσεις μεταξύ της γραφικής έκφρασης των δεδομένων και των ιδιοτήτων του γραφήματος επιλέγοντας ένα γράφημα που αντιπροσωπεύει τις περιγραφόμενες ιδιότητες ή χρησιμοποιώντας ένα γράφημα για τον προσδιορισμό τιμών ή συνόλων τιμών.
6. Συγκρίνετε τη γραμμική με την εκθετική ανάπτυξη. Ο εξεταζόμενος θα χρειαστεί να ταιριάξει δύο μεταβλητές για να καθορίσει ποιος τύπος μοντέλου είναι ο βέλτιστος.
7. Χρησιμοποιώντας πίνακες, υπολογίστε δεδομένα για διάφορες κατηγορίες μεγεθών, σχετικές συχνότητες και πιθανότητες υπό όρους. Ο εξεταζόμενος χρησιμοποιεί δεδομένα από διάφορες κατηγορίες για να υπολογίσει συχνότητες υπό όρους, πιθανότητες υπό όρους, συσχετισμό μεταβλητών ή ανεξαρτησία γεγονότων.
8. Εξάγετε συμπεράσματα σχετικά με τις παραμέτρους του πληθυσμού με βάση δειγματοληπτικά δεδομένα. Ο εξεταζόμενος εκτιμά την παράμετρο του πληθυσμού, λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα ενός τυχαίου δείγματος του πληθυσμού. Τα δείγματα στατιστικών μπορούν να παρέχουν διαστήματα εμπιστοσύνης και σφάλματα μέτρησης που ο μαθητής πρέπει να κατανοήσει και να χρησιμοποιήσει χωρίς να χρειάζεται να τα υπολογίσει.
9. Χρησιμοποιήστε στατιστικές μεθόδους για να υπολογίσετε τους μέσους όρους και τις κατανομές. Οι εξεταζόμενοι θα υπολογίσουν τον μέσο όρο και/ή την κατανομή για ένα δεδομένο σύνολο δεδομένων ή θα χρησιμοποιήσουν στατιστικά στοιχεία για να συγκρίνουν δύο ξεχωριστά σύνολα δεδομένων.
10. Αξιολογήστε εκθέσεις, εξάγετε συμπεράσματα, αιτιολογήστε συμπεράσματα και προσδιορίστε την καταλληλότητα των μεθόδων συλλογής δεδομένων. Οι αναφορές μπορεί να αποτελούνται από πίνακες, γραφήματα ή περιλήψεις κειμένου.
Βασικές αρχές Ανώτερων Μαθηματικών
Διαβατήριο για Προχωρημένους Μαθηματικά
Αυτή η ενότητα του SAT Math περιλαμβάνει θέματα που είναι ιδιαίτερα σημαντικά για να τα κατακτήσουν οι μαθητές πριν προχωρήσουν σε προχωρημένα μαθηματικά. Το κλειδί εδώ είναι η κατανόηση της δομής των εκφράσεων και η ικανότητα ανάλυσης, χειρισμού και απλοποίησης αυτών των εκφράσεων. Αυτό περιλαμβάνει επίσης τη δυνατότητα ανάλυσης πιο πολύπλοκων εξισώσεων και συναρτήσεων.
Όπως και οι δύο προηγούμενες ενότητες του SAT Math, οι ερωτήσεις εδώ βαθμολογούνται από 1 έως 15.
Αυτή η ενότητα θα περιέχει ερωτήσεις με απαντήσεις πολλαπλής επιλογής ή αυτο-υπολογιζόμενες απαντήσεις. Η χρήση αριθμομηχανής μερικές φορές επιτρέπεται, αλλά δεν είναι πάντα απαραίτητη ή συνιστάται.
Σε αυτό το μέρος του SAT Math, ενδέχεται να αντιμετωπίσετε τις ακόλουθες ερωτήσεις:
1. Δημιουργήστε μια τετραγωνική ή εκθετική συνάρτηση ή εξίσωση που μοντελοποιεί τις δεδομένες συνθήκες. Η εξίσωση θα έχει ορθολογικούς συντελεστές και μπορεί να απαιτεί πολλά βήματα για να απλοποιηθεί ή να λυθεί.
2. Προσδιορίστε την καταλληλότερη μορφή έκφρασης ή εξίσωσης για να προσδιορίσετε ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό, δεδομένων των δεδομένων συνθηκών.
3. Κατασκευάστε ισοδύναμες εκφράσεις που περιλαμβάνουν ορθολογικούς εκθέτες και ρίζες, συμπεριλαμβανομένης της απλοποίησης ή της μετατροπής σε άλλη μορφή.
4. Κατασκευάστε μια ισοδύναμη μορφή της αλγεβρικής έκφρασης.
5. Λύστε μια τετραγωνική εξίσωση που έχει ορθολογικούς συντελεστές. Η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί σε ένα ευρύ φάσμα μορφών.
6. Προσθέστε, αφαιρέστε και πολλαπλασιάστε πολυώνυμα και απλοποιήστε το αποτέλεσμα. Οι εκφράσεις θα έχουν ορθολογικούς συντελεστές.
7. Λύστε μια εξίσωση σε μια μεταβλητή που περιέχει ρίζες ή περιέχει μια μεταβλητή στον παρονομαστή του κλάσματος. Η εξίσωση θα έχει ορθολογικούς συντελεστές.
8. Λύστε σύστημα γραμμικών ή τετραγωνικών εξισώσεων. Οι εξισώσεις θα έχουν ορθολογικούς συντελεστές.
9. Απλοποιήστε απλές ορθολογικές εκφράσεις. Οι εξεταζόμενοι θα προσθέσουν, θα αφαιρέσουν, θα πολλαπλασιάσουν ή θα διαιρέσουν δύο ορθολογικές εκφράσεις ή θα διαιρέσουν δύο πολυώνυμα και θα τα απλοποιήσουν. Οι εκφράσεις θα έχουν ορθολογικούς συντελεστές.
10. Ερμηνεύστε μέρη μη γραμμικών παραστάσεων ως προς τους όρους τους. Οι υποψήφιοι πρέπει να συσχετίσουν δεδομένες συνθήκες με μια μη γραμμική εξίσωση που μοντελοποιεί αυτές τις συνθήκες.
11. Κατανοήστε τη σχέση μεταξύ μηδενικών και παραγόντων στα πολυώνυμα και χρησιμοποιήστε αυτή τη γνώση για την κατασκευή γραφημάτων. Οι εξεταζόμενοι θα χρησιμοποιήσουν τις ιδιότητες των πολυωνύμων για να λύσουν προβλήματα που περιλαμβάνουν μηδενικά, όπως να προσδιορίσουν εάν μια παράσταση είναι παράγοντας ενός πολυωνύμου, δεδομένων των παρεχόμενων πληροφοριών.
12. Κατανοήστε τη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών καθιερώνοντας συνδέσεις μεταξύ των αλγεβρικών και γραφικών τους εκφράσεων. Ο εξεταζόμενος πρέπει να είναι σε θέση να επιλέξει ένα γράφημα που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη μη γραμμική εξίσωση. ερμηνεύουν γραφήματα στο πλαίσιο της επίλυσης συστημάτων εξισώσεων. επιλέξτε μια μη γραμμική εξίσωση που αντιστοιχεί στο δεδομένο γράφημα. προσδιορίστε την εξίσωση της καμπύλης λαμβάνοντας υπόψη τη λεκτική περιγραφή του γραφήματος. προσδιορίζει τα βασικά χαρακτηριστικά της γραφικής παράστασης μιας γραμμικής συνάρτησης από την εξίσωσή της. προσδιορίστε την επίδραση στο γράφημα της αλλαγής της εξίσωσης που ισχύει.
Τι κάνει το τεστ του τμήματος μαθηματικών SAT;
Γενική κατοχή πειθαρχίας
Ένα τεστ μαθηματικών είναι μια ευκαιρία να δείξετε ότι:
Εκτελέστε μαθηματικές εργασίες με ευελιξία, ακρίβεια, αποτελεσματικότητα και χρησιμοποιώντας στρατηγικές λύσης.
- Επιλύστε τα προβλήματα γρήγορα εντοπίζοντας και χρησιμοποιώντας τις πιο αποτελεσματικές προσεγγίσεις επίλυσης. Αυτό μπορεί να περιλαμβάνει την επίλυση προβλημάτων με
την εκτέλεση αντικαταστάσεων, συντομεύσεων ή αναδιοργάνωσης των πληροφοριών που παρέχετε·
Εννοιολογική κατανόηση
Θα δείξετε την κατανόησή σας για τις μαθηματικές έννοιες, πράξεις και σχέσεις. Για παράδειγμα, μπορεί να σας ζητηθεί να κάνετε συνδέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων των γραμμικών εξισώσεων, των γραφημάτων τους και των όρων που εκφράζουν.
Εφαρμογή της γνώσης του αντικειμένου
Πολλές ερωτήσεις SAT Math προέρχονται από προβλήματα της πραγματικής ζωής και σας ζητούν να αναλύσετε το πρόβλημα, να εντοπίσετε τα βασικά στοιχεία που απαιτούνται για την επίλυσή του, να εκφράσετε το πρόβλημα μαθηματικά και να βρείτε μια λύση.
Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή
Οι αριθμομηχανές είναι σημαντικά εργαλεία για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών. Για να σπουδάσετε με επιτυχία σε ένα πανεπιστήμιο, πρέπει να γνωρίζετε πώς και πότε να τα χρησιμοποιείτε. Στο τμήμα Math Test-Calculator του τεστ, θα μπορείτε να εστιάσετε στην εύρεση της ίδιας της λύσης και της ανάλυσης, επειδή η αριθμομηχανή σας θα σας βοηθήσει να εξοικονομήσετε χρόνο.
Ωστόσο, μια αριθμομηχανή, όπως κάθε εργαλείο, είναι τόσο έξυπνη όσο το άτομο που τη χρησιμοποιεί. Υπάρχουν ορισμένες ερωτήσεις στο Τεστ Μαθηματικών όπου είναι καλύτερο να μην χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή, ακόμα κι αν σας επιτρέπεται. Σε αυτές τις περιπτώσεις, όσοι κάνουν τεστ που μπορούν να σκεφτούν και να συλλογιστούν είναι πιθανό να καταλήξουν στην απάντηση πριν από εκείνους που χρησιμοποιούν στα τυφλά μια αριθμομηχανή.
Το τμήμα Math Test-No Calculator διευκολύνει την αξιολόγηση των γενικών σας γνώσεων για το θέμα και την κατανόησή σας ορισμένων μαθηματικών εννοιών. Ελέγχει επίσης την εξοικείωση με τις υπολογιστικές τεχνικές και την κατανόηση των εννοιών των αριθμών.
Ερωτήσεις με απαντήσεις καταχωρημένες σε πίνακα
Αν και οι περισσότερες ερωτήσεις στο τεστ μαθηματικών είναι πολλαπλής επιλογής, το 22 τοις εκατό είναι ερωτήσεις όπου οι απαντήσεις είναι το αποτέλεσμα των υπολογισμών του εξεταζόμενου - που ονομάζονται grid-ins. Αντί να επιλέξετε τη σωστή απάντηση από μια λίστα, πρέπει να λύσετε τα προβλήματα και να εισαγάγετε τις απαντήσεις σας στα πλέγματα που παρέχονται στο φύλλο απαντήσεων.
Οι απαντήσεις μπήκαν σε έναν πίνακα
Σημειώστε όχι περισσότερους από έναν κύκλο σε οποιαδήποτε στήλη.
- Θα μετρηθούν μόνο οι απαντήσεις που υποδεικνύονται με τη συμπλήρωση του κύκλου (Δεν θα λάβετε βαθμούς για όλα όσα γράφονται στα πεδία που βρίσκονται παραπάνω
κύκλους).
- Δεν έχει σημασία σε ποια στήλη θα αρχίσετε να εισάγετε τις απαντήσεις σας. Είναι σημαντικό οι απαντήσεις να είναι γραμμένες μέσα στο πλέγμα, τότε θα λάβετε πόντους.
- Το πλέγμα μπορεί να περιέχει μόνο τέσσερα δεκαδικά ψηφία και μπορεί να δέχεται μόνο θετικούς αριθμούς και μηδέν.
- Εκτός εάν ορίζεται διαφορετικά στην εργασία, οι απαντήσεις μπορούν να εισαχθούν στο πλέγμα ως δεκαδικές ή κλασματικές.
- Κλάσματα όπως το 3/24 δεν χρειάζεται να μειωθούν σε ελάχιστες τιμές.
- Όλοι οι μικτοί αριθμοί πρέπει να μετατραπούν σε ακατάλληλα κλάσματα πριν εγγραφούν στο πλέγμα.
- Εάν η απάντηση είναι επαναλαμβανόμενος δεκαδικός αριθμός, οι μαθητές πρέπει να καθορίσουν τις πιο ακριβείς τιμές που θα κάνουν
σκεφτείτε.
Παρακάτω είναι ένα δείγμα των οδηγιών που θα δουν οι εξεταζόμενοι στις εξετάσεις SAT Math:
Ένα στοιχειώδες πρόγραμμα μαθηματικών για το συμπληρωματικό σχολείο ή το σχολείο στο σπίτι θα πρέπει να διδάσκει πολύ περισσότερα από το «πώς να» της απλής αριθμητικής. Ένα καλό πρόγραμμα σπουδών μαθηματικών θα πρέπει να έχει στοιχειώδεις μαθηματικές δραστηριότητες που χτίζουν μια γερή βάση που είναι βαθιά και ευρεία, εννοιολογική και «πώς να».
Το Time4Learning διδάσκει ένα ολοκληρωμένο πρόγραμμα μαθηματικών που συσχετίζεται με τα κρατικά πρότυπα. Χρησιμοποιώντας έναν συνδυασμό μαθημάτων πολυμέσων, εκτυπώσιμων φύλλων εργασίας και αξιολογήσεων, οι στοιχειώδεις μαθηματικές δραστηριότητες έχουν σχεδιαστεί για να χτίσουν μια γερή βάση για τα μαθηματικά. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως , ένα ή ως εμπλουτισμό.
Το Time4Learning δεν έχει κρυφές χρεώσεις, προσφέρει εγγύηση επιστροφής χρημάτων 14 ημερών για ολοκαίνουργια μέλη και επιτρέπει στα μέλη να ξεκινήσουν, να σταματήσουν ή να σταματήσουν ανά πάσα στιγμή. Δοκιμάστε το διαδραστικό ή δείτε το δικό μας για να δείτε τι είναι διαθέσιμο.
Διδασκαλία Στρατηγικών Μαθηματικών Δημοτικού
Τα παιδιά πρέπει να αποκτήσουν μαθηματικές δεξιότητες χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μαθηματικές δραστηριότητες που διδάσκουν ένα πρόγραμμα σπουδών με τη σωστή σειρά που έχει σχεδιαστεί για να χτίσει μια γερή βάση για την επιτυχία. Ας ξεκινήσουμε με αυτό που φαίνεται να είναι ένα απλό μαθηματικό γεγονός: 3 + 5 = 8
Αυτό το γεγονός φαίνεται σαν ένα καλό μάθημα μαθηματικών για να διδάξετε, όταν ένα παιδί μπορεί να μετρήσει. Αλλά η ικανότητα να εκτιμήσουμε την έννοια «3 + 5 = 8» απαιτεί την κατανόηση αυτών των στοιχειωδών μαθηματικών εννοιών:
- Ποσότητα– συνειδητοποιώντας ότι οι αριθμοί των αντικειμένων μπορούν να μετρηθούν. Η ποσότητα είναι μια κοινή έννοια είτε μετράμε τα δάχτυλα είτε τα σκυλιά είτε τα δέντρα.
- Αναγνώριση αριθμού– Γνωρίζοντας τους αριθμούς με το όνομα, τον αριθμό, την εικονική παράσταση ή μια ποσότητα των στοιχείων.
- Σημασία αριθμού– επίλυση της σύγχυσης μεταξύ των αριθμών που αναφέρονται σε μια ποσότητα ή στη θέση σε μια ακολουθία (βασικοί έναντι τακτικών αριθμών.
- Λειτουργίες– Κατανόηση ότι μπορούν να προστεθούν ποσότητες και ότι αυτή η διαδικασία μπορεί να απεικονιστεί με εικόνες, λέξεις ή αριθμούς.
Για να ζωγραφίσετε μια πιο ακραία εικόνα, η προσπάθεια να διδάξετε την προσθήκη με τη «μεταφορά» πριν από την κατανόηση της αξίας θέσης είναι μια συνταγή σύγχυσης. Μόνο αφού κατακτήσει τις βασικές έννοιες των μαθηματικών θα πρέπει ένα παιδί να δοκιμάσει πιο προχωρημένες στοιχειώδεις μαθηματικές δραστηριότητες, όπως η πρόσθεση. Η προσπάθεια διδασκαλίας στοιχειωδών μαθηματικών στρατηγικών πριν από την κατάκτηση βασικών μαθηματικών εννοιών προκαλεί σύγχυση, δημιουργώντας την αίσθηση ότι είστε χαμένοι ή αδύναμοι στα μαθηματικά. Ένα παιδί μπορεί να καταλήξει να αναπτύξει μια κακή εικόνα του εαυτού του ή μια αρνητική άποψη για τα μαθηματικά και όλα αυτά εξαιτίας ενός κακού προγράμματος σπουδών μαθηματικών.
Είναι σημαντικό να εφαρμόσετε ένα στοιχειώδες πρόγραμμα μαθηματικών που διδάσκει μαθηματικά με μια σειρά, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μαθηματικές δραστηριότητες που επιτρέπουν στα παιδιά να οικοδομήσουν σταδιακά κατανόηση, δεξιότητες και αυτοπεποίθηση. Η ποιοτική διδασκαλία και το αναλυτικό πρόγραμμα ακολουθεί μια ποιοτική σειρά.
Το Time4Learning διδάσκει ένα εξατομικευμένο στοιχειώδες πρόγραμμα μαθηματικών προσαρμοσμένο στο τρέχον επίπεδο δεξιοτήτων του παιδιού σας. Αυτό βοηθά να διασφαλίσετε ότι το παιδί σας έχει μια σταθερή βάση για τα μαθηματικά πριν εισαγάγει πιο δύσκολες, πιο σύνθετες στοιχειώδεις μαθηματικές στρατηγικές. , που περιλαμβάνεται στο πρόγραμμα σπουδών, παρέχει εξάσκηση σε θεμελιώδεις τομείς δεξιοτήτων που είναι απαραίτητες για την επιτυχία κατά τη διάρκεια του δημοτικού σχολείου. Βάλτε το παιδί σας στο σωστό δρόμο, σχετικά με τις στρατηγικές του Time4Learning για τη διδασκαλία των μαθηματικών στο δημοτικό.
Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικών Δημοτικού του Time4Learning
Το πρόγραμμα μαθηματικών του Time4Learning περιέχει ένα ευρύ φάσμα στοιχειωδών μαθηματικών δραστηριοτήτων, οι οποίες καλύπτουν κάτι περισσότερο από αριθμητική, μαθηματικά γεγονότα και πράξεις. Το στοιχειώδες πρόγραμμα μαθηματικών μας διδάσκει αυτά τα πέντε μαθηματικά σκέλη.*
- Αριθμός Αίσθηση και Λειτουργίες– Η γνώση του τρόπου αναπαράστασης αριθμών, η αναγνώριση του «πόσοι» είναι σε μια ομάδα και η χρήση αριθμών για σύγκριση και αναπαράσταση ανοίγει το δρόμο για την κατανόηση της θεωρίας των αριθμών, της αξίας θέσης και της σημασίας των πράξεων και πώς σχετίζονται μεταξύ τους.
- Αλγεβρα– Η ικανότητα ταξινόμησης και ταξινόμησης αντικειμένων ή αριθμών και η αναγνώριση και η οικοδόμηση σε απλά μοτίβα είναι παραδείγματα τρόπων με τους οποίους τα παιδιά αρχίζουν να βιώνουν την άλγεβρα. Αυτή η στοιχειώδης μαθηματική έννοια θέτει τις βάσεις για την εργασία με αλγεβρικές μεταβλητές καθώς μεγαλώνει η μαθηματική εμπειρία του παιδιού.
- Γεωμετρία και Χωρική Αίσθηση– Τα παιδιά βασίζονται στις γνώσεις τους για τα βασικά σχήματα για να αναγνωρίσουν πιο πολύπλοκα σχήματα 2-D και 3-D ζωγραφίζοντας και ταξινομώντας. Στη συνέχεια μαθαίνουν να συλλογίζονται χωρικά, να διαβάζουν χάρτες, να οπτικοποιούν αντικείμενα στο διάστημα και να χρησιμοποιούν γεωμετρικά μοντέλα για την επίλυση προβλημάτων. Τα παιδιά θα μπορούν να χρησιμοποιήσουν τη γεωμετρία συντεταγμένων για να καθορίσουν τελικά τοποθεσίες, να δώσουν οδηγίες και να περιγράψουν χωρικές σχέσεις.
- Μέτρηση– Η εκμάθηση του τρόπου μέτρησης και σύγκρισης περιλαμβάνει έννοιες μήκους, βάρους, θερμοκρασίας, χωρητικότητας και χρήματος. Η αφήγηση του χρόνου και η χρήση χρημάτων συνδέονται με την κατανόηση του συστήματος αριθμών και αντιπροσωπεύουν μια σημαντική δεξιότητα ζωής.
- Ανάλυση Δεδομένων και Πιθανότητες– Καθώς τα παιδιά συλλέγουν πληροφορίες για τον κόσμο γύρω τους, θα τους είναι χρήσιμο να εμφανίζουν και να αναπαριστούν τις γνώσεις τους. Η χρήση γραφημάτων, πινάκων, γραφημάτων θα τους βοηθήσει να μάθουν να μοιράζονται και να οργανώνουν δεδομένα.
Τα προγράμματα σπουδών μαθηματικών στοιχειώδους που καλύπτουν μόνο ένα ή δύο από αυτά τα πέντε μαθηματικά σκέλη είναι στενά και οδηγούν σε αδύναμη κατανόηση των μαθηματικών. Βοηθήστε το παιδί σας να δημιουργήσει μια ισχυρή, ευρεία βάση για τα μαθηματικά.
