ანტიპათიის ინდექსი php ელემენტარული მათემატიკა. ტრანსპორტის პრობლემის გადაჭრა

კატალოგის ინფორმაცია

სათაური

ელემენტარული ხაზოვანი ალგებრა.

(საკრედიტო საათები: ლექციის საათები: ლაბორატორიის საათები)

შესთავაზა

წინაპირობა

სწავლის მინიმალური შედეგები

ამ კურსის დასრულების შემდეგ წარმატებული სტუდენტი შეძლებს:

1. გამოიყენეთ გაუსის ელიმინაცია ყველა შემდეგში: ამოხსენით წრფივი სისტემა შემცირებული მწკრივის ეშელონის ფორმით, ამოხსენით წრფივი სისტემა მწკრივის ეშელონის ფორმით და უკან ჩანაცვლებით, იპოვეთ მოცემული მატრიცის ინვერსია და იპოვეთ მოცემული მატრიცის განმსაზღვრელი.
2. მატრიცული ალგებრას ცოდნის დემონსტრირება. მატრიცის გამრავლებისთვის აჩვენეთ ასოციაციური კანონის გაგება, ინვერსიებისა და ტრანსპოზიტორების საპირისპირო რიგის კანონი და კომუტაციური კანონისა და გაუქმების კანონის წარუმატებლობა.
3. გამოიყენეთ კრამერის წესი წრფივი სისტემის ამოსახსნელად.
4. გამოიყენეთ კოფაქტორები მოცემული მატრიცის ინვერსიისა და მოცემული მატრიცის დეტერმინანტის საპოვნელად.
5. დაადგინეთ არის თუ არა სიმრავლე მიმატების და სკალარული გამრავლების მოცემული ცნების მქონე ვექტორული სივრცე. აქ, და ქვემოთ მოცემულ შესაბამის რიცხვებში, გაეცანით როგორც სასრულ, ასევე უსასრულო განზომილებიან მაგალითებს.
6. დაადგინეთ არის თუ არა ვექტორული სივრცის მოცემული ქვესიმრავლე ქვესივრცე.
7. დაადგინეთ არის თუ არა მოცემული ვექტორების ნაკრები წრფივად დამოუკიდებელი, მოიცავს თუ საფუძველს.
8. განსაზღვრეთ მოცემული ვექტორული სივრცის ან მოცემული ქვესივრცის განზომილება.
9. იპოვეთ მოცემული მატრიცის ნულოვანი სივრცის, მწკრივის სივრცისა და სვეტის სივრცის საფუძვლები და განსაზღვრეთ მისი რანგი.
10. აჩვენეთ რანგ-ნულილობის თეორემისა და მისი გამოყენების გაგება.
11. წრფივი ტრანსფორმაციის აღწერის გათვალისწინებით, იპოვეთ მისი მატრიცული წარმოდგენა მოცემულ ბაზებთან შედარებით.
12. მსგავსებასა და საფუძვლის შეცვლას შორის ურთიერთობის გაგების დემონსტრირება.
13. იპოვეთ ვექტორის ნორმა და კუთხე ორ ვექტორს შორის შიდა ნაწარმოების სივრცეში.
14. გამოიყენეთ შიდა ნამრავლი ვექტორის გამოსახატავად შიდა პროდუქტის სივრცეში, როგორც ვექტორების ორთოგონალური სიმრავლის წრფივი კომბინაცია.
15. იპოვეთ მოცემული ქვესივრცის ორთოგონალური დანამატი.
16. მატრიცის მწკრივის სივრცის, სვეტის სივრცისა და ნულსივრცის ურთიერთობის დემონსტრირება ორთოგონალური კომპლემენტების მეშვეობით.
17. კოში-შვარცის უთანასწორობისა და მისი გამოყენების გაგების დემონსტრირება.
18. დაადგინეთ არის თუ არა ვექტორული სივრცე (სეკვიწრფიური) ფორმის შიდა პროდუქტის სივრცე.
19. გამოიყენეთ გრამ-შმიდტის პროცესი შიდა პროდუქტის სივრცის ორთონორმალური საფუძვლის მოსაძებნად. შეგეძლოთ ამის გაკეთება ორივეში რ n და ფუნქციურ სივრცეებში, რომლებიც შიდა პროდუქტის სივრცეებია.
20. გამოიყენეთ უმცირესი კვადრატები ხაზის დასაყენებლად ( წ = ნაჯახი + ბ) მონაცემთა ცხრილზე, დახაზეთ წრფე და მონაცემთა წერტილები და აუხსენით უმცირესი კვადრატების მნიშვნელობა ორთოგონალური პროექციის თვალსაზრისით.
21. გამოიყენეთ უმცირესი კვადრატების იდეა ქვესივრცეებზე ორთოგონალური პროექციების მოსაძებნად და მრუდის პოლინომიური მორგებისთვის.
22. იპოვნეთ (რეალური და რთული) საკუთარი მნიშვნელობები და 2 × 2 ან 3 × 3 მატრიცების საკუთრივ ვექტორები.
23. განსაზღვრეთ არის თუ არა მოცემული მატრიცა დიაგონალიზაციადი. თუ ასეა, იპოვეთ მატრიცა, რომელიც დიაგონალიზაციას უწევს მას მსგავსების გზით.
24. აჩვენეთ კვადრატული მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობებსა და მის განმსაზღვრელთან, მის კვალსა და შექცევადობას/სინგულარულობას შორის კავშირის გაგება.
25. სიმეტრიული მატრიცების და ორთოგონალური მატრიცების ამოცნობა.
26. იპოვეთ მატრიცა, რომელიც ორთოგონალურად დიაგონალიზაციას უწევს მოცემულ სიმეტრიულ მატრიცას.
27. იცოდე და შეძლოს სპექტრული თეორემის გამოყენება სიმეტრიული მატრიცებისთვის.
28. იცოდე და შეძლოს სინგულარული მნიშვნელობის დაშლის გამოყენება.
29. სწორად განსაზღვრეთ ტერმინები და მოიყვანეთ მაგალითები ზემოთ ჩამოთვლილ ცნებებთან დაკავშირებით.
30. დაამტკიცეთ ძირითადი თეორემები ზემოაღნიშნული ცნებების შესახებ.
31. დაადასტურეთ ან უარყოთ ზემოაღნიშნულ ცნებებთან დაკავშირებული განცხადებები.
32. იყავით კომპეტენტური მწკრივის შემცირების, მატრიცის ინვერსიის და მსგავსი პრობლემების გამოთვლაში; ასევე, გამოიყენეთ MATLAB ან მსგავსი პროგრამა წრფივი ალგებრის ამოცანებისთვის.

ლესია მ. ოჰნივჩუკი

Აბსტრაქტული

სტატიაში განხილულია LMS Moodle-ის ფუნქციონირების გაფართოების გზა მათემატიკური მეცნიერებების ელექტრონული სწავლების კურსების შექმნისას, კერძოდ, ელექტრონული სწავლების კურსები "დაწყებითი მათემატიკა" ფლეშ ტექნოლოგიისა და ჯავა-აპლეტის გამოყენებით. ფლეშ-აპლიკაციებისა და ჯავა-აპლეტების გამოყენების მაგალითები მოცემულია კურსში „დაწყებითი მათემატიკა“.

საკვანძო სიტყვები

LMS Moodle; ელექტრონული სწავლების კურსები; ტექნოლოგია ფლეშ; ჯავის აპლეტი, GeoGebra

ცნობები

Brandão, L. O., "iGeom: უფასო პროგრამული უზრუნველყოფა დინამიური გეომეტრიისთვის ინტერნეტში", საერთაშორისო კონფერენცია მეცნიერებისა და მათემატიკის განათლების შესახებ, რიო დე ჟანეირო, ბრაზილია, 2002 წ.

ბრენდაო, ლ.

Kamiya, R. H and Brandão, L. O. “iVProg – ინტერნეტში ვიზუალური მოდელის საშუალებით შესავალი პროგრამირების სისტემა. XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação-ს შრომები, 2009 (პორტუგალიურად).

Moodle.org: ღია წყაროზე დაფუძნებული ინსტრუმენტები სწავლისთვის [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: http://www.moodle.org.

MoodleDocs [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: http://docs.moodle.org.

ინტერაქტიული ტექნოლოგიები: თეორია, პრაქტიკა, მტკიცებულება: ავტომატური ინსტალაციის მეთოდური გზამკვლევი: O. Pometun, L. Pirozhenko. – კ.: APN; 2004. – 136გვ.

დიმიტრი პუპინინი. შეკითხვის ტიპი: Flash [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 02/26/14.

Andreev A.V., Gerasimenko P.S. Flash-ისა და SCORM-ის გამოყენება საბოლოო საკონტროლო ამოცანების შესაქმნელად [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 –02.26.14.

გეოგებრა. მასალები [ელექტრონული რესურსი]. – წვდომის რეჟიმი: http://tube.geogebra.org.

Hohenvator M. შესავალი გეოგებრაში / M. Hohenvator / ტრანს. T. S. Ryabova. – 2012. – 153გვ.

ბმულები (თარგმნილი და გადათარგმნილი)

Brandão, L. O. "iGeom: უფასო პროგრამული უზრუნველყოფა დინამიური გეომეტრიისთვის ინტერნეტში", საერთაშორისო კონფერენცია მეცნიერებისა და მათემატიკის განათლების შესახებ, რიო დე ჟანეირო, ბრაზილია, 2002 (ინგლისურად).

ბრანდაო, ლ.

Kamiya, R. H and Brandão, L. O. “iVProg – ინტერნეტში ვიზუალური მოდელის საშუალებით შესავალი პროგრამირების სისტემა. XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação-ს შრომები, 2009 (ინგლისურად).

Moodle.org: ღია წყაროზე დაფუძნებული ინსტრუმენტები სწავლისთვის. – ხელმისაწვდომია: http://www.moodle.org (ინგლისურად).

MoodleDocs. – ხელმისაწვდომია: http://docs.moodle.org (ინგლისურად).

Pometun O. I., Pirozhenko L. V. თანამედროვე გაკვეთილი, კიევი, ASK Publ., 2004, 192 გვ. (უკრაინულად).

დიმიტრი პუპინინი. შეკითხვის ტიპი: Flash. – ხელმისაწვდომია: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 02/26/14 (ინგლისურად).

Andreev A., Gerasimenko R. Flash-ისა და SCORM-ის გამოყენება ამოცანების საბოლოო კონტროლის შესაქმნელად. – ხელმისაწვდომია: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 02.26.14 (რუსულად).

GeoGebra ვიკი. – ხელმისაწვდომია: http://www.geogebra.org (ინგლისურად).

Hohenwarter M. შესავალი GeoGebra / M. Hohenwarter. – 2012. – 153 ს. (ინგლისურად).

DOI: https://doi.org/10.33407/itlt.v48i4.1249

საავტორო უფლება (c) 2015 Lesia M. Ohnivchuk

მოგზაური გამყიდველის პრობლემაში, n ქალაქის გარშემო ოპტიმალური მარშრუტის შესაქმნელად, თქვენ უნდა აირჩიოთ საუკეთესო (n-1)-დან! პარამეტრები, რომლებიც ეფუძნება დროს, ღირებულებას ან მარშრუტის სიგრძეს. ეს პრობლემა გულისხმობს მინიმალური სიგრძის ჰამილტონის ციკლის განსაზღვრას. ასეთ შემთხვევებში, ყველა შესაძლო ამოხსნის ნაკრები უნდა იყოს წარმოდგენილი ხის სახით - დაკავშირებული გრაფიკი, რომელიც არ შეიცავს ციკლებს ან მარყუჟებს. ხის ფესვი აერთიანებს ვარიანტების მთელ კომპლექტს, ხოლო ხის მწვერვალები ნაწილობრივ მოწესრიგებული გადაწყვეტის ვარიანტების ქვეჯგუფია.

მომსახურების მიზანი. სერვისის გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი გადაწყვეტა ან მიიღოთ ახალი გადაწყვეტა მოგზაური გამყიდველის პრობლემის შესახებ ორი მეთოდის გამოყენებით: ფილიალისა და შეკრული მეთოდით და უნგრული მეთოდით.

მოგზაური გამყიდველის ამოცანის მათემატიკური მოდელი

ჩამოყალიბებული პრობლემა არის მთელი რიცხვი. მოდით x ij =1 თუ მოგზაური გადადის i-ე ქალაქიდან j-th-ში და x ij =0 თუ ეს ასე არ არის.
ფორმალურად შემოგთავაზებთ (n+1) ქალაქს, რომელიც მდებარეობს იმავე ადგილას, სადაც პირველი ქალაქი, ე.ი. მანძილი (n+1) ქალაქებიდან ნებისმიერ სხვა ქალაქამდე, გარდა პირველისა, უდრის მანძილებს პირველი ქალაქიდან. უფრო მეტიც, თუ მხოლოდ პირველი ქალაქის დატოვება შეგიძლიათ, მაშინ შეგიძლიათ მხოლოდ (n+1) ქალაქში მისვლა.
მოდით შემოვიტანოთ დამატებითი მთელი ცვლადები, რომლებიც უდრის ამ ქალაქში ვიზიტების რაოდენობას გზაზე. u 1 =0, u n +1 =n. დახურული ბილიკების თავიდან აცილების მიზნით, დატოვეთ პირველი ქალაქი და დაბრუნდით (n+1), შემოგვაქვს დამატებითი შეზღუდვები x ij ცვლადების და u i ცვლადების დამაკავშირებელი (u i არაუარყოფითი მთელი რიცხვებია).

U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, ერთად i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n

მოგზაური გამყიდველის პრობლემის გადაჭრის მეთოდები

1. განშტოების და შეკრული მეთოდი (ლიტლის ალგორითმი ან ქვეციკლის ელიმინაცია). ტოტისა და შეკრული ხსნარის მაგალითი;
2. უნგრული მეთოდი. უნგრული მეთოდის გამოყენებით გადაწყვეტის მაგალითი.

ლიტლის ალგორითმი ან ქვეციკლის ელიმინაცია

1. შემცირების ოპერაცია მწკრივების გასწვრივ: მატრიცის თითოეულ მწკრივში მოიძებნება მინიმალური ელემენტი d min და აკლდება შესაბამისი მწკრივის ყველა ელემენტს. ქვედა ზღვარი: H=∑d წთ.
2. შემცირების ოპერაცია სვეტების მიხედვით: მატრიცის თითოეულ სვეტში აირჩიეთ მინიმალური ელემენტი d min და გამოაკლეთ იგი შესაბამისი სვეტის ყველა ელემენტს. ქვედა ზღვარი: H=H+∑d წთ.
3. შემცირების მუდმივი H არის ყველა დასაშვები ჰამილტონის კონტურის სიმრავლის ქვედა ზღვარი.
4. ნულების სიძლიერის პოვნა მატრიცისთვის, რომელიც მოცემულია მწკრივებითა და სვეტებით. ამისათვის დროებით შეცვალეთ ნულები მატრიცაში ნიშნით „∞“ და იპოვეთ ამ ნულის შესაბამისი მწკრივისა და სვეტის მინიმალური ელემენტების ჯამი.
5. აირჩიეთ რკალი (i,j), რომლისთვისაც ნულოვანი ელემენტის ხარისხი აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას.
6. ყველა ჰამილტონის კონტურის სიმრავლე იყოფა ორ ქვეჯგუფად: ჰამილტონის კონტურების ქვესიმრავლე, რომელიც შეიცავს რკალს (i,j) და არ შეიცავს მას (i*,j*). რკალის (i,j) ჩათვლით კონტურების მატრიცის მისაღებად, მატრიცაში გადაკვეთეთ i მწკრივი და j სვეტი. არაჰამილტონის კონტურის წარმოქმნის თავიდან ასაცილებლად სიმეტრიული ელემენტი (j,i) ჩაანაცვლეთ ნიშნით „∞“. რკალის აღმოფხვრა მიიღწევა მატრიცაში ელემენტის ∞-ით ჩანაცვლებით.
7. ჰამილტონის კონტურების მატრიცა მცირდება H(i,j) და H(i*,j*) შემცირების მუდმივების ძიებით.
8. შედარებულია ჰამილტონის კონტურების H(i,j) და H(i*,j*) ქვედა საზღვრები. თუ H(i,j)
9. თუ განშტოების შედეგად მიიღება (2x2) მატრიცა, მაშინ განისაზღვრება განშტოებით მიღებული ჰამილტონის კონტური და მისი სიგრძე.
10. ჰამილტონის კონტურის სიგრძე შედარებულია ჩამოკიდებული ტოტების ქვედა საზღვრებთან. თუ კონტურის სიგრძე არ აღემატება მათ ქვედა საზღვრებს, მაშინ პრობლემა მოგვარებულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ქვეჯგუფების ტოტები, რომელთა ქვედა ზღვარი ნაკლებია, ვიდრე მიღებული კონტური, ვითარდება მანამ, სანამ არ მიიღება უფრო მოკლე სიგრძის მარშრუტი.

მაგალითი. ამოხსენით მოგზაური გამყიდველის პრობლემა მატრიცით, ლიტლის ალგორითმის გამოყენებით

	1	2	3	4
1	-	5	8	7
2	5	-	6	15
3	8	6	-	10
4	7	15	10	-

გამოსავალი. ავიღოთ როგორც თვითნებური მარშრუტი: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). მაშინ F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
ნაკრების ქვედა ზღვრის დასადგენად ვიყენებთ შემცირების ოპერაციაან მატრიცის მწკრივით შემცირება, რისთვისაც აუცილებელია D მატრიცის თითოეულ მწკრივში მინიმალური ელემენტის პოვნა: d i = min(j) d ij

მე ჯ	1	2	3	4	5	დ ი
1	მ	20	18	12	8	8
2	5	მ	14	7	11	5
3	12	18	მ	6	11	6
4	11	17	11	მ	12	11
5	5	5	5	5	მ	5

შემდეგ გამოვაკლებთ d i მოცემული მწკრივის ელემენტებს. ამასთან დაკავშირებით, ახლად მიღებულ მატრიცაში იქნება მინიმუმ ერთი ნული თითოეულ რიგში.

მე ჯ	1	2	3	4	5
1	მ	12	10	4	0
2	0	მ	9	2	6
3	6	12	მ	0	5
4	0	6	0	მ	1
5	0	0	0	0	მ

ჩვენ ვასრულებთ იგივე შემცირების ოპერაციას სვეტების გასწვრივ, რისთვისაც თითოეულ სვეტში ვპოულობთ მინიმალურ ელემენტს:
d j = min(i) d ij

მე ჯ	1	2	3	4	5
1	მ	12	10	4	0
2	0	მ	9	2	6
3	6	12	მ	0	5
4	0	6	0	მ	1
5	0	0	0	0	მ
დ ჯ	0	0	0	0	0

მინიმალური ელემენტების გამოკლების შემდეგ ვიღებთ სრულიად შემცირებულ მატრიცას, სადაც d i და d j მნიშვნელობები ე.წ. ჩამოსხმის მუდმივები.

მე ჯ	1	2	3	4	5
1	მ	12	10	4	0
2	0	მ	9	2	6
3	6	12	მ	0	5
4	0	6	0	მ	1
5	0	0	0	0	მ

შემცირების მუდმივთა ჯამი განსაზღვრავს H-ის ქვედა ზღვარს: H = ∑d i + ∑d j = 8+5+6+11+5+0+0+0+0+0 = 35
d ij მატრიცის ელემენტები შეესაბამება მანძილს i წერტილიდან j წერტილამდე.
ვინაიდან მატრიცაში არის n ქალაქი, D არის nxn მატრიცა არაუარყოფითი ელემენტებით d ij ≥ 0
თითოეული მოქმედი მარშრუტი წარმოადგენს ციკლს, რომლის დროსაც მოგზაური გამყიდველი მხოლოდ ერთხელ სტუმრობს ქალაქს და ბრუნდება თავდაპირველ ქალაქში.
მარშრუტის სიგრძე განისაზღვრება გამოსახულებით: F(M k) = ∑d ij
უფრო მეტიც, თითოეული მწკრივი და სვეტი შედის მარშრუტში მხოლოდ ერთხელ d ij ელემენტით.
Ნაბიჯი 1.
განშტოების კიდის განსაზღვრა

მე ჯ	1	2	3	4	5	დ ი
1	მ	12	10	4	0(5)	4
2	0(2)	მ	9	2	6	2
3	6	12	მ	0(5)	5	5
4	0(0)	6	0(0)	მ	1	0
5	0(0)	0(6)	0(0)	0(0)	მ	0
დ ჯ	0	6	0	0	1	0

d(1,5) = 4 + 1 = 5; d(2,1) = 2 + 0 = 2; d(3,4) = 5 + 0 = 5; d(4,1) = 0 + 0 = 0; d(4,3) = 0 + 0 = 0; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,2) = 0 + 6 = 6; d(5,3) = 0 + 0 = 0; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
შემცირების მუდმივთა უდიდესი ჯამი არის (0 + 6) = 6 კიდეზე (5,2), შესაბამისად, ნაკრები იყოფა ორ ქვეჯგუფად (5,2) და (5*,2*).
კიდეების გამორიცხვა(5.2) ხორციელდება d 52 = 0 ელემენტის M-ით ჩანაცვლებით, რის შემდეგაც ვახორციელებთ მანძილის მატრიცის მომდევნო შემცირებას მიღებული ქვეჯგუფისთვის (5*,2*), შედეგად ვიღებთ შემცირებულ მატრიცას.

მე ჯ	1	2	3	4	5	დ ი
1	მ	12	10	4	0	0
2	0	მ	9	2	6	0
3	6	12	მ	0	5	0
4	0	6	0	მ	1	0
5	0	მ	0	0	მ	0
დ ჯ	0	6	0	0	0	6

ამ ქვეჯგუფის ჰამილტონის ციკლების ქვედა ზღვარი არის: H(5*,2*) = 35 + 6 = 41
ზღვარის ჩართვა(5.2) ხორციელდება მე-5 რიგისა და მე-2 სვეტის ყველა ელემენტის აღმოფხვრით, რომელშიც ელემენტი d 25 ჩანაცვლებულია M-ით, რათა აღმოიფხვრას არაჰამილტონიური ციკლის წარმოქმნა.

მე ჯ	1	3	4	5	დ ი
1	მ	10	4	0	0
2	0	9	2	მ	0
3	6	მ	0	5	0
4	0	0	მ	1	0
დ ჯ	0	0	0	0	0

ქვეჯგუფის ქვედა ზღვარი (5,2) უდრის: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
ვინაიდან ამ ქვეჯგუფის ქვედა საზღვარი (5,2) ნაკლებია ქვეჯგუფზე (5*,2*), მარშრუტში ჩავრთავთ ზღვარს (5,2) ახალი საზღვრით H = 35.
ნაბიჯი #2.
განშტოების კიდის განსაზღვრადა დაყავით მარშრუტების მთელი ნაკრები ამ კიდესთან მიმართებაში ორ ქვეჯგუფად (i,j) და (i*,j*).
ამ მიზნით, მატრიცის ყველა უჯრედისთვის ნულოვანი ელემენტებით, ნულებს სათითაოდ ვცვლით M-ით (უსასრულობა) და ვადგენთ მათთვის მიღებული შემცირების მუდმივების ჯამს, ისინი მოცემულია ფრჩხილებში.

მე ჯ	1	3	4	5	დ ი
1	მ	10	4	0(5)	4
2	0(2)	9	2	მ	2
3	6	მ	0(7)	5	5
4	0(0)	0(9)	მ	1	0
დ ჯ	0	9	2	1	0

d(1,5) = 4 + 1 = 5; d(2,1) = 2 + 0 = 2; d(3,4) = 5 + 2 = 7; d(4,1) = 0 + 0 = 0; d(4,3) = 0 + 9 = 9;
შემცირების მუდმივთა უდიდესი ჯამი არის (0 + 9) = 9 კიდეზე (4,3), შესაბამისად, სიმრავლე იყოფა ორ ქვეჯგუფად (4,3) და (4*,3*).
კიდეების გამორიცხვა(4.3) ხორციელდება d 43 = 0 ელემენტის M-ით ჩანაცვლებით, რის შემდეგაც ვახორციელებთ მანძილის მატრიცის მომდევნო შემცირებას მიღებული ქვეჯგუფისთვის (4*,3*), შედეგად ვიღებთ შემცირებულ მატრიცას.

მე ჯ	1	3	4	5	დ ი
1	მ	10	4	0	0
2	0	9	2	მ	0
3	6	მ	0	5	0
4	0	მ	მ	1	0
დ ჯ	0	9	0	0	9

ამ ქვეჯგუფის ჰამილტონის ციკლების ქვედა ზღვარი არის: H(4*,3*) = 35 + 9 = 44
ზღვარის ჩართვა(4.3) ხორციელდება მე-4 რიგისა და მე-3 სვეტის ყველა ელემენტის აღმოფხვრით, რომელშიც ელემენტი d 34 ჩანაცვლებულია M-ით, რათა აღმოიფხვრას არაჰამილტონიური ციკლის წარმოქმნა.

შემცირების ოპერაციის შემდეგ შემცირებული მატრიცა ასე გამოიყურება:

მე ჯ	1	4	5	დ ი
1	მ	4	0	0
2	0	2	მ	0
3	6	მ	5	5
დ ჯ	0	2	0	7

შემცირებული მატრიცის შემცირების მუდმივთა ჯამი: ∑d i + ∑d j = 7
ქვეჯგუფის ქვედა ზღვარი (4,3) უდრის: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
ვინაიდან 42 > 41, ჩვენ გამოვრიცხავთ ქვესიმრავლეს (5,2) შემდგომი განშტოებისთვის.
ვუბრუნდებით წინა X 1 გეგმას.
გეგმა X 1.

მე ჯ	1	2	3	4	5
1	მ	12	10	4	0
2	0	მ	9	2	6
3	6	12	მ	0	5
4	0	6	0	მ	1
5	0	მ	0	0	მ

შემცირების ოპერაცია.

მე ჯ	1	2	3	4	5
1	მ	6	10	4	0
2	0	მ	9	2	6
3	6	6	მ	0	5
4	0	0	0	მ	1
5	0	მ	0	0	მ

Ნაბიჯი 1.
განშტოების კიდის განსაზღვრადა დაყავით მარშრუტების მთელი ნაკრები ამ კიდესთან მიმართებაში ორ ქვეჯგუფად (i,j) და (i*,j*).
ამ მიზნით, მატრიცის ყველა უჯრედისთვის ნულოვანი ელემენტებით, ნულებს სათითაოდ ვცვლით M-ით (უსასრულობა) და ვადგენთ მათთვის მიღებული შემცირების მუდმივების ჯამს, ისინი მოცემულია ფრჩხილებში.

მე ჯ	1	2	3	4	5	დ ი
1	მ	6	10	4	0(5)	4
2	0(2)	მ	9	2	6	2
3	6	6	მ	0(5)	5	5
4	0(0)	0(6)	0(0)	მ	1	0
5	0(0)	მ	0(0)	0(0)	მ	0
დ ჯ	0	6	0	0	1	0

d(1,5) = 4 + 1 = 5; d(2,1) = 2 + 0 = 2; d(3,4) = 5 + 0 = 5; d(4,1) = 0 + 0 = 0; d(4,2) = 0 + 6 = 6; d(4,3) = 0 + 0 = 0; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,3) = 0 + 0 = 0; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
შემცირების მუდმივთა უდიდესი ჯამი არის (0 + 6) = 6 კიდეზე (4,2), შესაბამისად, სიმრავლე იყოფა ორ ქვეჯგუფად (4,2) და (4*,2*).
კიდეების გამორიცხვა(4.2) ხორციელდება d 42 = 0 ელემენტის M-ით ჩანაცვლებით, რის შემდეგაც ვახორციელებთ მანძილის მატრიცის მომდევნო შემცირებას მიღებული ქვეჯგუფისთვის (4*,2*), შედეგად ვიღებთ შემცირებულ მატრიცას.

მე ჯ	1	2	3	4	5	დ ი
1	მ	6	10	4	0	0
2	0	მ	9	2	6	0
3	6	6	მ	0	5	0
4	0	მ	0	მ	1	0
5	0	მ	0	0	მ	0
დ ჯ	0	6	0	0	0	6

ამ ქვეჯგუფის ჰამილტონის ციკლების ქვედა ზღვარი არის: H(4*,2*) = 41 + 6 = 47
ზღვარის ჩართვა(4.2) ხორციელდება მე-4 რიგისა და მე-2 სვეტის ყველა ელემენტის აღმოფხვრით, რომელშიც ელემენტი d 24 ჩანაცვლებულია M-ით, რათა აღმოიფხვრას არაჰამილტონიური ციკლის წარმოქმნა.
შედეგი არის კიდევ ერთი შემცირებული მატრიცა (4 x 4), რომელიც ექვემდებარება შემცირების ოპერაციას.
შემცირების ოპერაციის შემდეგ შემცირებული მატრიცა ასე გამოიყურება:

მე ჯ	1	3	4	5	დ ი
1	მ	10	4	0	0
2	0	9	მ	6	0
3	6	მ	0	5	0
5	0	0	0	მ	0
დ ჯ	0	0	0	0	0

შემცირებული მატრიცის შემცირების მუდმივების ჯამი: ∑d i + ∑d j = 0
ქვეჯგუფის ქვედა ზღვარი (4,2) უდრის: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
ვინაიდან ამ ქვეჯგუფის ქვედა საზღვარი (4,2) ნაკლებია ქვეჯგუფზე (4*,2*), მარშრუტში ჩავრთავთ ზღვარს (4,2) ახალი საზღვრით H = 41.
ნაბიჯი #2.
განშტოების კიდის განსაზღვრადა დაყავით მარშრუტების მთელი ნაკრები ამ კიდესთან მიმართებაში ორ ქვეჯგუფად (i,j) და (i*,j*).
ამ მიზნით, მატრიცის ყველა უჯრედისთვის ნულოვანი ელემენტებით, ნულებს სათითაოდ ვცვლით M-ით (უსასრულობა) და ვადგენთ მათთვის მიღებული შემცირების მუდმივების ჯამს, ისინი მოცემულია ფრჩხილებში.

მე ჯ	1	3	4	5	დ ი
1	მ	10	4	0(9)	4
2	0(6)	9	მ	6	6
3	6	მ	0(5)	5	5
5	0(0)	0(9)	0(0)	მ	0
დ ჯ	0	9	0	5	0

d(1,5) = 4 + 5 = 9; d(2,1) = 6 + 0 = 6; d(3,4) = 5 + 0 = 5; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,3) = 0 + 9 = 9; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
შემცირების მუდმივთა უდიდესი ჯამი არის (4 + 5) = 9 კიდეზე (1,5), შესაბამისად, ნაკრები იყოფა ორ ქვეჯგუფად (1,5) და (1*,5*).
კიდეების გამორიცხვა(1.5) ხორციელდება d 15 = 0 ელემენტის M-ით ჩანაცვლებით, რის შემდეგაც ვახორციელებთ მანძილის მატრიცის მომდევნო შემცირებას მიღებული ქვეჯგუფისთვის (1*,5*), შედეგად ვიღებთ შემცირებულ მატრიცას.

მე ჯ	1	3	4	5	დ ი
1	მ	10	4	მ	4
2	0	9	მ	6	0
3	6	მ	0	5	0
5	0	0	0	მ	0
დ ჯ	0	0	0	5	9

ამ ქვეჯგუფის ჰამილტონის ციკლების ქვედა ზღვარი არის: H(1*,5*) = 41 + 9 = 50
ზღვარის ჩართვა(1.5) ხორციელდება 1-ლი რიგისა და მე-5 სვეტის ყველა ელემენტის აღმოფხვრით, რომელშიც ელემენტი d 51 ჩანაცვლებულია M-ით, რათა აღმოიფხვრას არაჰამილტონიური ციკლის წარმოქმნა.
შედეგად, ჩვენ ვიღებთ კიდევ ერთ შემცირებულ მატრიცას (3 x 3), რომელიც ექვემდებარება შემცირების ოპერაციას.
შემცირების ოპერაციის შემდეგ შემცირებული მატრიცა ასე გამოიყურება:

მე ჯ	1	3	4	დ ი
2	0	9	მ	0
3	6	მ	0	0
5	მ	0	0	0
დ ჯ	0	0	0	0

შემცირებული მატრიცის შემცირების მუდმივების ჯამი: ∑d i + ∑d j = 0
ქვეჯგუფის ქვედა ზღვარი (1,5) უდრის: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
ვინაიდან ამ ქვეჯგუფის ქვედა საზღვარი (1,5) ნაკლებია ქვეჯგუფზე (1*,5*), მარშრუტში ჩავრთავთ ზღვარს (1,5) ახალი საზღვრით H = 41.
ნაბიჯი #3.
განშტოების კიდის განსაზღვრადა დაყავით მარშრუტების მთელი ნაკრები ამ კიდესთან მიმართებაში ორ ქვეჯგუფად (i,j) და (i*,j*).
ამ მიზნით, მატრიცის ყველა უჯრედისთვის ნულოვანი ელემენტებით, ნულებს სათითაოდ ვცვლით M-ით (უსასრულობა) და ვადგენთ მათთვის მიღებული შემცირების მუდმივების ჯამს, ისინი მოცემულია ფრჩხილებში.

მე ჯ	1	3	4	დ ი
2	0(15)	9	მ	9
3	6	მ	0(6)	6
5	მ	0(9)	0(0)	0
დ ჯ	6	9	0	0

d(2,1) = 9 + 6 = 15; d(3,4) = 6 + 0 = 6; d(5,3) = 0 + 9 = 9; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
შემცირების მუდმივთა უდიდესი ჯამი არის (9 + 6) = 15 კიდეზე (2,1), შესაბამისად, სიმრავლე იყოფა ორ ქვეჯგუფად (2,1) და (2*,1*).
კიდეების გამორიცხვა(2.1) ხორციელდება d 21 = 0 ელემენტის M-ით ჩანაცვლებით, რის შემდეგაც ვახორციელებთ მანძილის მატრიცის მომდევნო შემცირებას მიღებული ქვეჯგუფისთვის (2*,1*), შედეგად ვიღებთ შემცირებულ მატრიცას.

მე ჯ	1	3	4	დ ი
2	მ	9	მ	9
3	6	მ	0	0
5	მ	0	0	0
დ ჯ	6	0	0	15

ამ ქვეჯგუფის ჰამილტონის ციკლების ქვედა ზღვარი არის: H(2*,1*) = 41 + 15 = 56
ზღვარის ჩართვა(2.1) ხორციელდება მე-2 რიგისა და 1-ლი სვეტის ყველა ელემენტის აღმოფხვრით, რომელშიც ელემენტი d 12 ჩანაცვლებულია M-ით, რათა აღმოიფხვრას არაჰამილტონიური ციკლის წარმოქმნა.
შედეგად, ჩვენ ვიღებთ კიდევ ერთ შემცირებულ მატრიცას (2 x 2), რომელიც ექვემდებარება შემცირების ოპერაციას.
შემცირების ოპერაციის შემდეგ შემცირებული მატრიცა ასე გამოიყურება:

მე ჯ	3	4	დ ი
3	მ	0	0
5	0	0	0
დ ჯ	0	0	0

შემცირებული მატრიცის შემცირების მუდმივთა ჯამი:
∑d i + ∑d j = 0
ქვეჯგუფის ქვედა ზღვარი (2,1) უდრის: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
ვინაიდან ამ ქვეჯგუფის ქვედა საზღვარი (2,1) ნაკლებია ქვესიმრავლეზე (2*,1*), მარშრუტში ჩავრთავთ კიდეს (2,1) ახალი საზღვრით H = 41.
ამ მატრიცის შესაბამისად, ჩვენ ვაერთიანებთ კიდეებს (3,4) და (5,3) ჰამილტონის მარშრუტში.
შედეგად, ჰამილტონის ციკლის განშტოებული ხის გასწვრივ, კიდეები იქმნება:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). მარშრუტის სიგრძეა F(Mk) = 41

გადაწყვეტილების ხე.

																														1
								(5*,2*), H=41																																												(5,2)
(4*,2*), H=47																	(4,2)																															(4*,3*), H=44								(4,3)
								(1*,5*), H=50																	(1,5)
																(2*,1*), H=56																		(2,1)
																												(3,4)												(3*,4*), H=41
																								(5,3)								(5*,3*), H=41

SAT მათემატიკის ტესტი მოიცავს მათემატიკური მეთოდების მთელ რიგს, აქცენტით პრობლემის გადაჭრაზე, მათემატიკურ მოდელებზე და მათემატიკური ცოდნის სტრატეგიულ გამოყენებაზე.

SAT მათემატიკის ტესტი: ისევე, როგორც რეალურ სამყაროში

იმის მაგივრად, რომ გასინჯოთ ყველა მათემატიკურ თემაზე, ახალი SAT ამოწმებს თქვენს უნარს გამოიყენოს მათემატიკა, რომელსაც დაეყრდნობით უმეტეს შემთხვევაში და ბევრ განსხვავებულ სიტუაციაში. მათემატიკის ტესტის კითხვები შექმნილია იმისთვის, რომ ასახავდეს პრობლემის გადაჭრას და იმ მოდელებს, რომლებთანაც შეგექმნებათ საქმე

საუნივერსიტეტო სწავლება, უშუალოდ მათემატიკის, ასევე საბუნებისმეტყველო და სოციალური მეცნიერებების შესწავლა;
- თქვენი ყოველდღიური პროფესიული საქმიანობა;
- შენი ყოველდღიური ცხოვრება.

მაგალითად, რამდენიმე კითხვაზე პასუხის გასაცემად, თქვენ მოგიწევთ რამდენიმე ნაბიჯის გამოყენება - რადგან რეალურ სამყაროში უკიდურესად იშვიათია სიტუაციები, როდესაც ერთი მარტივი ნაბიჯი საკმარისია გამოსავლის მოსაძებნად.

SAT მათემატიკის ფორმატი

SAT მათემატიკის ტესტი: ძირითადი ფაქტები

SAT მათემატიკის განყოფილება ფოკუსირებულია მათემატიკის სამ მიმართულებაზე, რომლებიც წამყვან როლს ასრულებენ უმაღლესი განათლებისა და პროფესიული კარიერის უმეტეს აკადემიურ საგნებში:
- ალგებრის გული: ალგებრის საფუძვლები, რომელიც ორიენტირებულია წრფივი განტოლებებისა და სისტემების ამოხსნაზე;
- პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი: ზოგადი მათემატიკური წიგნიერებისთვის აუცილებელი პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი;
- პასპორტი გაფართოებული მათემატიკის: მოწინავე მათემატიკის საფუძვლები, რომელიც სვამს კითხვებს, რომლებიც საჭიროებენ რთული განტოლებების მანიპულირებას.
მათემატიკის ტესტი ასევე ეყრდნობა მათემატიკის დამატებით თემებს, მათ შორის გეომეტრიასა და ტრიგონომეტრიას, რომლებიც ყველაზე მნიშვნელოვანია უნივერსიტეტის სწავლისა და პროფესიული კარიერისთვის.

SAT მათემატიკის ტესტი: ვიდეო

ალგებრის საფუძვლები
ალგებრის გული

SAT Math-ის ეს განყოფილება ფოკუსირებულია ალგებრაზე და ძირითად ცნებებზე, რომლებიც ყველაზე მნიშვნელოვანია კოლეჯში და კარიერაში წარმატებისთვის. იგი აფასებს სტუდენტების უნარს, თავისუფლად გააანალიზონ, ამოხსნან და ააგონ წრფივი განტოლებები და უტოლობა. მოსწავლეებს ასევე მოეთხოვებათ გაანალიზონ და გამართულად ამოხსნან განტოლებები და განტოლებათა სისტემები მრავალი მეთოდის გამოყენებით.ამ მასალის ცოდნის სრულად შესაფასებლად პრობლემები მნიშვნელოვნად განსხვავდება ტიპისა და შინაარსის მიხედვით. ისინი შეიძლება იყოს საკმაოდ მარტივი ან მოითხოვონ სტრატეგიული აზროვნება და გაგება, როგორიცაა გრაფიკულ და ალგებრულ გამონათქვამებს შორის ურთიერთქმედების ინტერპრეტაცია ან გამოსავლის წარმოდგენა, როგორც მსჯელობის პროცესი. გამოცდის მონაწილეებმა უნდა აჩვენონ არა მხოლოდ ამოხსნის ტექნიკის ცოდნა, არამედ იმ ცნებების უფრო ღრმა გაგება, რომლებიც საფუძვლად უდევს ხაზოვან განტოლებებსა და ფუნქციებს. SAT მათემატიკის საფუძვლები ალგებრა ფასდება 1-დან 15-მდე მასშტაბით.

ეს განყოფილება შეიცავს დავალებებს, რომლებზეც პასუხი წარმოდგენილია მრავალჯერადი არჩევანით ან დამოუკიდებლად გამოითვლება სტუდენტის მიერ. კალკულატორის გამოყენება ზოგჯერ ნებადართულია, მაგრამ არა ყოველთვის აუცილებელი ან რეკომენდებული.

1. წრფივი გამოსახულებების ან განტოლების აგება, ამოხსნა ან ინტერპრეტაცია ერთი ცვლადით, გარკვეული კონკრეტული პირობების კონტექსტში. გამოსახულებას ან განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება საჭირო გახდეს რამდენიმე ნაბიჯი გამოხატვის გასამარტივებლად ან განტოლების ამოსახსნელად.

2. წრფივი უტოლობების აგება, ამოხსნა ან ინტერპრეტაცია ერთი ცვლადით, გარკვეული კონკრეტული პირობების კონტექსტში. უტოლობას შეიძლება ჰქონდეს რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება მოითხოვდეს რამდენიმე ნაბიჯის გამარტივება ან ამოხსნა.

3. ააგეთ წრფივი ფუნქცია, რომელიც მოდელირებს წრფივ ურთიერთობას ორ სიდიდეს შორის. ტესტის მონაწილემ უნდა აღწეროს წრფივი ურთიერთობა, რომელიც გამოხატავს გარკვეულ პირობებს ორი ცვლადის ან ფუნქციის განტოლების გამოყენებით. განტოლებას ან ფუნქციას ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება საჭირო გახდეს რამდენიმე ნაბიჯი განტოლების ან ფუნქციის ასაგებად და გასამარტივებლად.

4. წრფივი უტოლობების სისტემების აგება, ამოხსნა და ინტერპრეტაცია ორი ცვლადით. გამოსაცდელი გააანალიზებს ორ ცვლადს შორის არსებულ ერთ ან მეტ პირობას ორცვლადიანი უტოლობის ან ორცვლადიანი უტოლობების სისტემის აგებით, ამოხსნით ან ინტერპრეტაციით, გარკვეული მითითებულ პირობებში. უთანასწორობის ან უტოლობების სისტემის აგებას შეიძლება დასჭირდეს რამდენიმე ნაბიჯი ან განმარტება.

5. ორი წრფივი განტოლების სისტემების აგება, ამოხსნა და ინტერპრეტაცია ორ ცვლადში. გამოსაცდელი გააანალიზებს ერთ ან მეტ პირობას, რომელიც არსებობს ორ ცვლადს შორის წრფივი განტოლებების სისტემის აგებით, ამოხსნით ან ანალიზით, გარკვეული განსაზღვრული პირობების ფარგლებში. განტოლებებს ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება საჭირო გახდეს რამდენიმე ნაბიჯი სისტემის გასამარტივებლად ან ამოსახსნელად.

6. ამოხსენით წრფივი განტოლებები (ან უტოლობა) ერთი ცვლადით. განტოლებას (ან უტოლობას) ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება დასჭირდეს რამდენიმე ნაბიჯი გადასაჭრელად. განტოლებებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნი, ერთი ამონახსნი ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. გამოსაცდელს ასევე შეიძლება სთხოვონ განტოლების მნიშვნელობის ან კოეფიციენტის განსაზღვრა, რომელსაც არ აქვს ამონახსნები ან აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

7. ამოხსენით ორი წრფივი განტოლების სისტემები ორი ცვლადით. განტოლებებს ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და სისტემას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნი, ერთი ამონახსნი ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. გამოსაცდელს ასევე შეიძლება სთხოვონ განტოლების მნიშვნელობის ან კოეფიციენტის განსაზღვრა, რომელშიც სისტემას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნი, ერთი ამონახსნი ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

8. ახსენით ალგებრული და გრაფიკული გამონათქვამების მიმართება. განსაზღვრეთ მოცემული წრფივი განტოლებით აღწერილი გრაფიკი ან წრფივი განტოლება, რომელიც აღწერს მოცემულ გრაფიკს, განსაზღვრეთ წრფის განტოლება, რომელიც მოცემულია მისი გრაფიკის სიტყვიერად აღწერით, განსაზღვრეთ წრფივი ფუნქციის გრაფიკის ძირითადი მახასიათებლები მისი განტოლებიდან, განსაზღვრეთ როგორ არის გრაფიკი. შეიძლება გავლენა იქონიოს მისი განტოლების შეცვლით.

პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი
პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი

SAT Math-ის ეს განყოფილება ასახავს კვლევას, რომელმაც დაადგინა, რა არის მნიშვნელოვანი კოლეჯში ან უნივერსიტეტში წარმატებისთვის. ტესტები მოითხოვს პრობლემის გადაჭრას და მონაცემთა ანალიზს: მათემატიკური სიტუაციის მათემატიკურად აღწერის უნარი ჩართული ელემენტების გათვალისწინებით, მათემატიკური მოქმედებების და რიცხვების სხვადასხვა თვისებების ცოდნა და გამოყენება. ამ კატეგორიის პრობლემები მოითხოვს ლოგიკური მსჯელობის მნიშვნელოვან გამოცდილებას.

გამომცდელებს მოეთხოვებათ იცოდნენ ინდიკატორების საშუალო მნიშვნელობების გაანგარიშება, ზოგადი შაბლონები და გადახრები ზოგადი სურათიდან და განაწილება კომპლექტებში.

პრობლემის გადაჭრისა და მონაცემთა ანალიზის ყველა კითხვა ამოწმებს გამომცდელების უნარს გამოიყენონ მათემატიკური გაგება და უნარები იმ პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებსაც ისინი შეიძლება შეხვდნენ რეალურ სამყაროში. ამ საკითხებიდან ბევრი კითხულობს აკადემიურ და პროფესიულ კონტექსტში და, სავარაუდოდ, დაკავშირებულია მეცნიერებასა და სოციოლოგიასთან.

პრობლემის გადაჭრა და მონაცემთა ანალიზი არის SAT მათემატიკის სამი ქვეგანყოფილებიდან ერთ-ერთი, რომელიც ფასდება 1-დან 15-მდე.

ეს განყოფილება შეიცავს კითხვებს მრავალჯერადი არჩევანით ან თვითგამოთვლილი პასუხებით. კალკულატორის გამოყენება აქ ყოველთვის ნებადართულია, მაგრამ არა ყოველთვის აუცილებელი ან რეკომენდებული.

SAT მათემატიკის ამ ნაწილში შეიძლება შეგხვდეთ შემდეგი კითხვები:

1. გამოიყენეთ თანაფარდობები, განაკვეთები, პროპორციები და მასშტაბური ნახატები ერთ და მრავალსაფეხურიანი ამოცანების გადასაჭრელად. ტესტირების მონაწილეები გამოიყენებენ პროპორციულ ურთიერთობას ორ ცვლადს შორის მრავალსაფეხურიანი პრობლემის გადასაჭრელად, რათა დადგინდეს თანაფარდობა ან მაჩვენებელი; გამოთვალეთ თანაფარდობა ან მაჩვენებელი და შემდეგ გადაჭრით მრავალსაფეხურიანი ამოცანა მოცემული თანაფარდობის ან თანაფარდობის გამოყენებით მრავალსაფეხურიანი პრობლემის გადასაჭრელად.

2. ამოხსენით ერთ და მრავალსაფეხურიანი ამოცანები პროცენტებით. გამოსაცდელი გადაჭრის მრავალ დონის პრობლემას პროცენტის დასადგენად. გამოთვალეთ რიცხვის პროცენტი და შემდეგ გადაჭრით მრავალ დონის ამოცანა. მოცემული პროცენტის გამოყენებით გადაჭრით მრავალ დონის პრობლემა.

3. ამოხსენით ერთსაფეხურიანი და მრავალსაფეხურიანი გამოთვლის ამოცანები. გამოსაცდელი გადაწყვეტს მრავალ დონის პრობლემას განაკვეთის ერთეულის დასადგენად; საზომი ერთეულის გამოთვლა და შემდეგ მრავალსაფეხურიანი ამოცანის ამოხსნა; მრავალდონიანი პრობლემის გადაჭრა ერთეულის კონვერტაციის დასასრულებლად; სიმკვრივის გამოთვლის მრავალსაფეხურიანი ამოცანის ამოხსნა; ან გამოიყენეთ სიმკვრივის კონცეფცია მრავალსაფეხურიანი პრობლემის გადასაჭრელად.

4. სკატერის დიაგრამების გამოყენებით ამოხსენით წრფივი, კვადრატული ან ექსპონენციალური მოდელები, რათა აღწეროთ როგორ არის დაკავშირებული ცვლადები. გაფანტული ნახატის გათვალისწინებით, აირჩიეთ მორგების წრფის ან მრუდის განტოლება; სტრიქონის ინტერპრეტაცია სიტუაციის კონტექსტში; ან გამოიყენეთ ხაზი ან მრუდი, რომელიც საუკეთესოდ შეესაბამება პროგნოზს.

5. ორ ცვლადს შორის ურთიერთობის გამოყენებით შეისწავლეთ გრაფიკის ძირითადი ფუნქციები. გამოსაცდელი დაამყარებს კავშირს მონაცემთა გრაფიკულ გამოხატულებასა და გრაფიკის თვისებებს შორის გრაფიკის არჩევით, რომელიც წარმოადგენს აღწერილ თვისებებს ან გრაფიკის გამოყენებით მნიშვნელობების ან მნიშვნელობების სიმრავლის დასადგენად.

6. შეადარეთ წრფივი ზრდა ექსპონენციალურ ზრდასთან. გამოსაცდელს დასჭირდება ორი ცვლადის შედარება, რათა დადგინდეს, რომელი ტიპის მოდელია ოპტიმალური.

7. ცხრილების გამოყენებით გამოთვალეთ მონაცემები სხვადასხვა კატეგორიის რაოდენობებზე, ფარდობითი სიხშირეებისა და პირობითი ალბათობების შესახებ. გამოსაცდელი იყენებს სხვადასხვა კატეგორიის მონაცემებს პირობითი სიხშირეების, პირობითი ალბათობების, ცვლადების ასოციაციის ან მოვლენების დამოუკიდებლობის გამოსათვლელად.

8. გამოიტანეთ დასკვნები პოპულაციის პარამეტრების შესახებ შერჩევის მონაცემების საფუძველზე. გამოსაცდელი აფასებს პოპულაციის პარამეტრს, მოსახლეობის შემთხვევითი შერჩევის შედეგების გათვალისწინებით. სტატისტიკის ნიმუშს შეუძლია უზრუნველყოს ნდობის ინტერვალები და გაზომვის შეცდომა, რომელიც მოსწავლემ უნდა გაიგოს და გამოიყენოს მათი გამოთვლის გარეშე.

9. გამოიყენეთ სტატისტიკური მეთოდები საშუალო და განაწილების გამოსათვლელად. ტესტირების მონაწილეები გამოთვლიან საშუალო და/ან განაწილებას მონაცემთა მოცემული ნაკრებისთვის ან გამოიყენებენ სტატისტიკას მონაცემთა ორი ცალკეული ნაკრების შესადარებლად.

10. ანგარიშების შეფასება, დასკვნების გამოტანა, დასკვნების დასაბუთება და მონაცემთა შეგროვების მეთოდების მიზანშეწონილობის დადგენა. მოხსენებები შეიძლება შედგებოდეს ცხრილებისგან, გრაფიკებისგან ან ტექსტური შეჯამებისგან.

უმაღლესი მათემატიკის საფუძვლები
პასპორტი გაფართოებული მათემატიკის

SAT მათემატიკის ეს განყოფილება მოიცავს თემებს, რომლებიც განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია სტუდენტებისთვის, რომ დაეუფლონ მათემატიკაში გადასვლამდე. აქ მთავარია გამონათქვამების სტრუქტურის გაგება და ამ გამონათქვამების ანალიზის, მანიპულირებისა და გამარტივების უნარი. ეს ასევე მოიცავს უფრო რთული განტოლებებისა და ფუნქციების ანალიზის უნარს.

SAT მათემატიკის წინა ორი ნაწილის მსგავსად, აქ კითხვები ფასდება 1-დან 15-მდე.

ეს განყოფილება შეიცავს კითხვებს მრავალჯერადი არჩევანით ან თვითგამოთვლილი პასუხებით. კალკულატორის გამოყენება ზოგჯერ ნებადართულია, მაგრამ ყოველთვის არ არის აუცილებელი ან რეკომენდებული.

SAT მათემატიკის ამ ნაწილში შეიძლება შეგხვდეთ შემდეგი კითხვები:

1. შექმენით კვადრატული ან ექსპონენციალური ფუნქცია ან განტოლება, რომელიც მოდელირებს მოცემულ პირობებს. განტოლებას ექნება რაციონალური კოეფიციენტები და შეიძლება დასჭირდეს რამდენიმე ნაბიჯის გამარტივება ან ამოხსნა.

2. განსაზღვრეთ გამოხატვის ან განტოლების ყველაზე შესაფერისი ფორმა კონკრეტული ატრიბუტის იდენტიფიცირებისთვის მოცემული პირობების გათვალისწინებით.

3. შექმენით ეკვივალენტური გამონათქვამები რაციონალურ მაჩვენებლებსა და რადიკალებს, მათ შორის გამარტივებას ან სხვა ფორმაში გადაქცევას.

4. ააგეთ ალგებრული გამოხატვის ეკვივალენტური ფორმა.

5. ამოხსენით კვადრატული განტოლება, რომელსაც აქვს რაციონალური კოეფიციენტები. განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მრავალფეროვანი ფორმებით.

6. მრავალწევრების შეკრება, გამოკლება და გამრავლება და შედეგის გამარტივება. გამონათქვამებს ექნებათ რაციონალური კოეფიციენტები.

7. ამოხსენით განტოლება ერთ ცვლადში, რომელიც შეიცავს რადიკალებს ან შეიცავს ცვლადს წილადის მნიშვნელში. განტოლებას ექნება რაციონალური კოეფიციენტები.

8. ამოხსენით წრფივი ან კვადრატული განტოლებათა სისტემა. განტოლებებს ექნება რაციონალური კოეფიციენტები.

9. მარტივი რაციონალური გამოთქმების გამარტივება. ტესტის მონაწილეები დაამატებენ, გამოკლებენ, გაამრავლებენ ან გაყოფენ ორ რაციონალურ გამონათქვამს ან გაყოფენ ორ მრავალწევრს და გაამარტივებენ მათ. გამონათქვამებს ექნებათ რაციონალური კოეფიციენტები.

10. არაწრფივი გამონათქვამების ნაწილების ინტერპრეტაცია მათი ტერმინების მიხედვით. გამოცდის მონაწილეებმა უნდა დააკავშირონ მოცემული პირობები არაწრფივი განტოლებასთან, რომელიც აყალიბებს ამ პირობებს.

11. გააცნობიეროს მრავალწევრებში ნულებსა და ფაქტორებს შორის კავშირი და გამოიყენოს ეს ცოდნა გრაფიკების ასაგებად. გამოცდის მონაწილეები გამოიყენებენ მრავალწევრების თვისებებს ნულების შემცველი ამოცანების გადასაჭრელად, როგორიცაა იმის დადგენა, არის თუ არა გამოხატვა მრავალწევრის ფაქტორი, მოწოდებული ინფორმაციის გათვალისწინებით.

12. ორ ცვლადს შორის ურთიერთობის გაგება მათ ალგებრულ და გრაფიკულ გამოსახულებებს შორის კავშირების დამყარებით. გამოსაცდელმა უნდა შეძლოს მოცემული არაწრფივი განტოლების შესაბამისი გრაფიკის შერჩევა; გრაფიკების ინტერპრეტაცია განტოლებათა სისტემების ამოხსნის კონტექსტში; შეარჩიეთ მოცემული გრაფიკის შესაბამისი არაწრფივი განტოლება; მრუდის განტოლების განსაზღვრა გრაფიკის სიტყვიერი აღწერის გათვალისწინებით; წრფივი ფუნქციის გრაფიკის ძირითადი მახასიათებლების ამოცნობა მისი განტოლებიდან; განსაზღვრავს მარეგულირებელი განტოლების შეცვლის გრაფიკზე გავლენას.

რას ამოწმებს SAT მათემატიკის განყოფილება?

დისციპლინის ზოგადი ოსტატობა

მათემატიკის ტესტი არის შანსი აჩვენოთ, რომ თქვენ:

მათემატიკური ამოცანების შესრულება მოქნილად, ზუსტად, ეფექტურად და ამოხსნის სტრატეგიების გამოყენებით;
- სწრაფად მოაგვარეთ პრობლემები გადაჭრის ყველაზე ეფექტური მიდგომების გამოვლენით და გამოყენებით. ეს შეიძლება მოიცავდეს პრობლემების გადაჭრას
თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაციის ჩანაცვლების, მალსახმობების ან რეორგანიზაციის განხორციელება;

კონცეპტუალური გაგება

თქვენ აჩვენებთ მათემატიკური ცნებების, ოპერაციების და ურთიერთობების გაგებას. მაგალითად, შეიძლება მოგეთხოვოთ დაამყაროთ კავშირი წრფივი განტოლებების თვისებებს, მათ გრაფიკებსა და მათ მიერ გამოხატულ ტერმინებს შორის.

საგნობრივი ცოდნის გამოყენება

ბევრი SAT მათემატიკის შეკითხვა აღებულია რეალური პრობლემებიდან და გთხოვთ, გაანალიზოთ პრობლემა, ამოიცნოთ მისი გადასაჭრელად საჭირო ძირითადი ელემენტები, გამოხატოთ პრობლემა მათემატიკურად და იპოვოთ გამოსავალი.

კალკულატორის გამოყენებით

კალკულატორები მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტია მათემატიკური გამოთვლების შესასრულებლად. უნივერსიტეტში წარმატებით სწავლისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ და როდის გამოიყენოთ ისინი. ტესტის მათემატიკის ტესტი-კალკულატორის ნაწილში, თქვენ შეძლებთ ფოკუსირება მოახდინოთ ამოხსნის პოვნაზე და თავად ანალიზზე, რადგან თქვენი კალკულატორი დაგეხმარებათ დაზოგოთ თქვენი დრო.

თუმცა, კალკულატორი, ისევე როგორც ნებისმიერი ხელსაწყო, ისეთივე ჭკვიანია, როგორც ის, ვინც მას იყენებს. მათემატიკის ტესტზე არის რამდენიმე შეკითხვა, სადაც უმჯობესია არ გამოიყენოთ კალკულატორი, მაშინაც კი, თუ ამის უფლება გაქვთ. ამ სიტუაციებში გამოცდის მონაწილეები, რომლებსაც შეუძლიათ აზროვნება და მსჯელობა, სავარაუდოდ მიიღებენ პასუხს მათზე ადრე, ვინც ბრმად იყენებს კალკულატორს.

მათემატიკის ტესტის გარეშე კალკულატორის ნაწილი გაადვილებს საგნის შესახებ თქვენი ზოგადი ცოდნის შეფასებას და მათემატიკის გარკვეული ცნებების გაგებას. ის ასევე ამოწმებს გამოთვლითი ტექნიკის ცოდნას და რიცხვების ცნებების გაგებას.

კითხვები პასუხებით შევიდა ცხრილში

მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკის ტესტზე კითხვების უმეტესობა მრავალჯერადი არჩევანია, 22 პროცენტი არის კითხვები, სადაც პასუხები გამოცდის მონაწილეს საკუთარი გამოთვლების შედეგია - მათ ეძახიან Grid-ins. სიიდან სწორი პასუხის არჩევის ნაცვლად, თქვენ უნდა მოაგვაროთ პრობლემები და შეიყვანოთ თქვენი პასუხები პასუხების ფურცელზე მითითებულ ბადეებში.

პასუხები შევიდა ცხრილში

ნებისმიერ სვეტში მონიშნეთ არაუმეტეს ერთი წრე;
- ჩაითვლება მხოლოდ წრის შევსებით მითითებული პასუხები (თქვენ არ მიიღებთ ქულებს ყველაფერზე, რაც დაწერილია ზემოთ მდებარე ველებში
წრეები).
- არ აქვს მნიშვნელობა რომელ სვეტში დაიწყებთ პასუხების შეყვანას; მნიშვნელოვანია, რომ პასუხები ეწეროს ბადის შიგნით, შემდეგ მიიღებთ ქულებს;
- ბადე შეიძლება შეიცავდეს მხოლოდ ოთხ ათობითი ადგილს და შეუძლია მიიღოს მხოლოდ დადებითი რიცხვები და ნული.
- თუ დავალებაში სხვა რამ არ არის მითითებული, პასუხები შეიძლება შევიდეს ბადეში ათწილადის ან წილადის სახით;
- ისეთ წილადებს, როგორიცაა 3/24, არ სჭირდება მინიმალურ მნიშვნელობებამდე შემცირება;
- ყველა შერეული რიცხვი უნდა გარდაიქმნას არასწორ წილადებად ბადეში ჩაწერამდე;
- თუ პასუხი განმეორებადი ათობითი რიცხვია, სტუდენტებმა უნდა დაადგინონ ყველაზე ზუსტი მნიშვნელობები, რაც იქნება
განიხილოს.

ქვემოთ მოცემულია ინსტრუქციების ნიმუში, რომლებიც ტესტირების მონაწილეები ნახავენ SAT მათემატიკის გამოცდაზე:

დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო გეგმა დამატებითი ან საშინაო სკოლისთვის გაცილებით მეტს უნდა ასწავლოს, ვიდრე მარტივი არითმეტიკის „როგორ“. მათემატიკის კარგ სასწავლო გეგმას უნდა ჰქონდეს ელემენტარული მათემატიკური აქტივობები, რომლებიც აშენებენ მყარ საფუძველს, რომელიც არის ღრმა და ფართო, კონცეპტუალური და „როგორ უნდა“.

Time4Learning ასწავლის მათემატიკის ყოვლისმომცველ სასწავლო გეგმას, რომელიც შეესაბამება სახელმწიფო სტანდარტებს. მულტიმედიური გაკვეთილების, დასაბეჭდი სამუშაო ფურცლების და შეფასებების კომბინაციის გამოყენებით, ელემენტარული მათემატიკური აქტივობები შექმნილია მყარი მათემატიკის საფუძვლის შესაქმნელად. ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც , ან როგორც გამდიდრება.

Time4Learning-ს არ აქვს ფარული გადასახადი, გთავაზობთ 14-დღიან თანხის დაბრუნების გარანტიას სრულიად ახალი წევრებისთვის და საშუალებას აძლევს წევრებს ნებისმიერ დროს დაიწყონ, შეაჩერონ ან შეაჩერონ. სცადეთ ინტერაქტიული ან ნახეთ ჩვენი, რომ ნახოთ რა არის ხელმისაწვდომი.

დაწყებითი მათემატიკის სტრატეგიების სწავლება

ბავშვებმა უნდა შეიძინონ მათემატიკური უნარები ელემენტარული მათემატიკის აქტივობების გამოყენებით, რომლებიც ასწავლიან სასწავლო გეგმას სათანადო თანმიმდევრობით, რომელიც მიზნად ისახავს წარმატების მყარ საფუძველს. დავიწყოთ იმით, რაც, როგორც ჩანს, მარტივი მათემატიკური ფაქტია: 3 + 5 = 8

ეს ფაქტი მათემატიკის კარგ გაკვეთილად გამოიყურება, როცა ბავშვს შეუძლია დათვლა. მაგრამ "3 + 5 = 8" კონცეფციის შეფასების უნარი მოითხოვს ამ ელემენტარული მათემატიკის ცნებების გაგებას:

• რაოდენობა- გააცნობიერე, რომ ნივთების რაოდენობა შეიძლება დაითვალოს. რაოდენობა ჩვეულებრივი ცნებაა, ვითვლით თუ არა თითებს, ძაღლებს თუ ხეებს.
• ნომრის ამოცნობა- რიცხვების ცოდნა სახელის, რიცხვის, ფერწერული გამოსახულების ან ნივთების რაოდენობის მიხედვით.
• რიცხვის მნიშვნელობა- რიცხვებს შორის დაბნეულობის გადაჭრა, რომლებიც მიუთითებენ რაოდენობაზე ან პოზიციაზე მიმდევრობით (კარდინალური და რიგითი რიცხვები.
• Ოპერაციები- იმის გაგება, რომ რაოდენობები შეიძლება დაემატოს და რომ ეს პროცესი შეიძლება იყოს გამოსახული სურათებით, სიტყვებით ან ციფრებით.

უფრო ექსტრემალური სურათის დასახატად, დაბნეულობის რეცეპტი არის დაბნეულობის რეცეპტი. მხოლოდ მათემატიკის ძირითადი ცნებების დაუფლების შემდეგ უნდა სცადოს ბავშვმა უფრო მოწინავე ელემენტარული მათემატიკური აქტივობები, როგორიცაა დამატება. ელემენტარული მათემატიკის სტრატეგიების სწავლების მცდელობა მათემატიკის ძირითადი ცნებების დაუფლებამდე იწვევს დაბნეულობას, ქმნის დაკარგვის ან მათემატიკაში სუსტობის განცდას. ბავშვს შეიძლება განუვითარდეს ცუდი საკუთარი თავის იმიჯი ან ნეგატიური შეხედულება მათემატიკაზე, ეს ყველაფერი ცუდი მათემატიკის სასწავლო გეგმის გამო.

მნიშვნელოვანია მათემატიკის დაწყებითი სასწავლო გეგმის განხორციელება, რომელიც ასწავლის მათემატიკას თანმიმდევრობით, ელემენტარული მათემატიკის აქტივობების გამოყენებით, რაც ბავშვებს საშუალებას აძლევს თანდათანობით ჩამოაყალიბონ გაგება, უნარები და თავდაჯერებულობა. ხარისხიანი სწავლება და სასწავლო გეგმა მიჰყვება ხარისხის თანმიმდევრობას.

Time4Learning ასწავლის პერსონალიზებულ დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო გეგმას, რომელიც მორგებულია თქვენი შვილის უნარების ამჟამინდელ დონეზე. ეს გეხმარებათ უზრუნველყოთ, რომ თქვენს შვილს ჰქონდეს მყარი მათემატიკური საფუძველი, სანამ უფრო რთული, უფრო რთული ელემენტარული მათემატიკური სტრატეგიები დანერგავს. , რომელიც შედის სასწავლო გეგმაში, უზრუნველყოფს პრაქტიკას საფუძვლიანი უნარების სფეროებში, რაც აუცილებელია დაწყებითი სკოლის პერიოდში წარმატებისთვის. დააყენეთ თქვენი შვილი სწორ გზაზე, Time4Learning-ის სტრატეგიების შესახებ დაწყებითი მათემატიკის სწავლებისთვის.

Time4Learning-ის დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო გეგმა

Time4Learning-ის მათემატიკის სასწავლო გეგმა შეიცავს ელემენტარული მათემატიკის აქტივობების ფართო სპექტრს, რომელიც მოიცავს არა მხოლოდ არითმეტიკას, მათემატიკის ფაქტებსა და ოპერაციებს. ჩვენი დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო პროგრამა ასწავლის მათემატიკის ამ ხუთ მიმართულებას.*

• რიცხვის გრძნობა და ოპერაციები- რიცხვების წარმოდგენის ცოდნა, ჯგუფში "რამდენი" ამოცნობა და რიცხვების შედარებისა და წარმოდგენის გამოყენება გზას უხსნის რიცხვების თეორიის, ადგილის მნიშვნელობისა და მოქმედებების მნიშვნელობისა და მათი ურთიერთკავშირის საკითხს.
• Ალგებრა– ობიექტების ან რიცხვების დალაგებისა და დალაგების უნარი, ამოცნობა და მარტივი ნიმუშების საფუძველზე აგება არის მაგალითები იმისა, თუ როგორ იწყებენ ბავშვებს ალგებრის გამოცდილება. ეს ელემენტარული მათემატიკური კონცეფცია აყალიბებს საფუძველს ალგებრულ ცვლადებთან მუშაობისთვის, რადგან ბავშვის მათემატიკური გამოცდილება იზრდება.
• გეომეტრია და სივრცითი გრძნობა– ბავშვები ეყრდნობიან თავიანთ ცოდნას ძირითადი ფორმების შესახებ, რათა ამოიცნონ უფრო რთული 2-D და 3-D ფორმები ხატვით და დახარისხებით. შემდეგ ისინი სწავლობენ სივრცით მსჯელობას, რუკების კითხვას, სივრცეში ობიექტების ვიზუალიზაციას და პრობლემების გადასაჭრელად გეომეტრიული მოდელირების გამოყენებას. ბავშვებს შეეძლებათ გამოიყენონ კოორდინატთა გეომეტრია, რათა საბოლოოდ განსაზღვრონ მდებარეობები, მისცეს მიმართულებები და აღწერონ სივრცითი ურთიერთობები.
• გაზომვა– გაზომვისა და შედარების სწავლა მოიცავს სიგრძის, წონის, ტემპერატურის, სიმძლავრის და ფულის ცნებებს. დროის თქმა და ფულის გამოყენება უკავშირდება რიცხვთა სისტემის გაგებას და წარმოადგენს მნიშვნელოვან ცხოვრებისეულ უნარს.
• მონაცემთა ანალიზი და ალბათობა– როდესაც ბავშვები აგროვებენ ინფორმაციას მათ გარშემო არსებული სამყაროს შესახებ, მათთვის სასარგებლო იქნება მათი ცოდნის ჩვენება და წარმოდგენა. სქემების, ცხრილების, გრაფიკების გამოყენება მათ დაეხმარება ისწავლონ მონაცემთა გაზიარება და ორგანიზება.

დაწყებითი მათემატიკის სასწავლო გეგმები, რომლებიც მოიცავს მხოლოდ ერთ ან ორ მათემატიკის ამ ხუთი მიმართულებას, ვიწროა და იწვევს მათემატიკის სუსტ გაგებას. დაეხმარეთ თქვენს შვილს შექმნას ძლიერი, ფართო მათემატიკური საფუძველი.